モジュールの束

数学において、O加群の層、ま​​たは単に環空間( X、O )上のO加群とは、 Xの任意の開部分集合 U に対して、 F ( U )がO ( U ) 加群であり、制限写像F ( U ) →  F ( V ) が制限写像O ( U ) →  O ( V ) と互換性があるような層Fのことである。つまり、 fがO ( U )に、sがF ( U )にそれぞれ存在する場合、 fsの制限はsの制限の fの制限倍になる。

標準的なケースは、X がスキームで、O がその構造層である場合です。O が定数層である場合、O モジュールの層はアーベル群の層(つまり、アーベル層) と同じです。${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

X が環Rの素スペクトルである場合、任意のR加群は自然な方法でO _X加群（付随層と呼ばれる）を定義します。同様に、 R が次数付き環でX がRの投影である場合、任意の次数付き加群は自然な方法でO _X加群を定義します。このようにして生じるO加群は準連接層の例であり、実際、アフィンまたは射影スキームでは、すべての準連接層はこのようにして得られます。

環空間上の加群の層はアーベル圏を形成する。^[1]さらに、この圏には十分な数の入射項があり、^{[2]結果として、}層コホモロジーを 大域セクション関数のi番目の右導来関数として定義することができる。^[3]${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

• 環空間 ( X、O ) が与えられ、F がOのO部分加群である場合、 Xの各開部分集合Uに対してF ( U )は環O ( U )のイデアルであるため、これはイデアル層またはOのイデアル層と呼ばれます。
• X をn次元の滑らかな多様体とします。このとき、Xの接層は余接層の双対であり、標準層は のn番目の外冪 (行列式)です。 ${\displaystyle \Omega_{X}}$ ${\displaystyle \omega_{X}}$${\displaystyle \Omega_{X}}$
• 代数の層は、環の層でもあるモジュールの層です。

( X , O ) を環空間とする。FとGがO加群であれば、それらのテンソル積は

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$または、${\displaystyle F\otimes G}$

は、前層に関連付けられた層であるO-加群です（層化が避けられないことを確認するには、 O（1）が射影空間上のセールのねじれ層であるときのグローバルセクションを計算します）。 ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$

同様に、FとGがO加群であれば、

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

はO加群を表し、それは層である。^[4]特に、O加群 ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

はFの双対加群と呼ばれ、 と表記される。注意: 任意のO加群E、Fに対して、標準準同型が存在する。 ${\displaystyle {\check {F}}}$

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$、

これは、 E が有限ランクの局所自由層の場合には同型となる。特に、L がランク 1 の局所自由層である場合 (このようなLは可逆層または線束と呼ばれる)、^[5]は次のように表される:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

は可逆層の同型類が群を形成することを意味する。この群はXのピカール群と呼ばれ、（チェフコホモロジーとの標準的な議論により）最初のコホモロジー群と標準的に同一視される。 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$

E が有限ランクの局所自由層である場合、ペアリングによって与えられるO線型写像が存在し、これはEのトレース写像と呼ばれます。 ${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$

任意のO加群Fに対して、Fのテンソル代数、外積代数、対称代数は同様に定義される。例えば、k番目の外積冪

${\displaystyle \bigwedge^{k}F}$

は前層 に関連付けられた層です。Fが局所的に階数nから自由である場合、 はFの行列式直線束(技術的には可逆層)と呼ばれ、 det( F ) と表記されます。自然な完全ペアリングが存在します。 ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{nr}F\to \det(F).}$

f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) を環空間の射とする。 F がO加群であれば、直像層は 自然写像O ' → f _* Oを通じてO '加群となる（このような自然写像は環空間の射のデータの一部である）。 ${\displaystyle f_{*}F}$

GがO '加群である場合、 Gの加群逆像は加群のテンソル積として与えられる O加群である。${\displaystyle f^{*}G}$

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

ここで、 はGの逆像層であり、から加法によって得られます。 ${\displaystyle f^{-1}G}$${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$${\displaystyle O'\to f_{*}O}$

と の間には随伴関係がある。任意のOモジュールFとO'モジュールGに対して、 ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

アーベル群として。射影公式も存在する：O加群Fと有限階数の局所自由O'加群Eに対して、

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

( X , O ) を環空間とする。O加群F は、O加群の全射が存在する場合、大域切断によって生成されると言われる。

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

明示的には、これは、 Fのグローバルセクションs _{i が}存在し、各茎F _x内のs _iの像がO _xモジュール としてF _{x を}生成することを意味します。

そのような層の例としては、代数幾何学においてR加群Mに関連付けられている層があり、R は任意の可換環で、環 Spec ( R ) のスペクトル上に存在する。別の例として、カルタンの定理 Aによれば、スタイン多様体上の任意のコヒーレント層は、大域セクションで張られる。(下記のセールの定理 A を参照。)スキームの理論では、関連する概念は、豊富な直線束である。(たとえば、L が豊富な直線束である場合、そのいくつかのべきは大域セクションによって生成される。)

入射的なO加群はフラスク層である（すなわち、すべての制限写像F ( U ) → F ( V ) は射影的である）。^[6]フラスク層はアーベル層のカテゴリでは非巡回であるため、これはO加群のカテゴリにおける大域セクション関数のi番目の右導来関数が、アーベル層のカテゴリにおける通常のi番目の層コホモロジーと一致することを意味する。 ^[7]${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

を環上の加群とする。 をと書き表す。 の各ペアに対して、局所化の普遍的性質により、自然な写像が存在する。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

という性質を持つ。すると ${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

は、集合D ( f )をオブジェクトとし、集合のアーベル群のカテゴリへの包含を射とするカテゴリからの反変関手です。^[8]は 、それが実際にB 層(つまり、接着公理を満たす) であることが示され、したがって、Mに関連付けられた層と呼ばれるX上の層を定義します。 ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

最も基本的な例は、X上の構造層、すなわち です。さらに、は-モジュールの構造を持つため、 Mod _{A （} A上のモジュールのカテゴリ）から上のモジュールのカテゴリへの正確な関数を取得します。 これは、 Mod _AからX上の準連接層のカテゴリへの同値を定義し、その逆関数はグローバルセクション関数です。Xがネーターである場合、関数は、有限生成A -モジュールのカテゴリからX上の連接層のカテゴリへの同値です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

この構成は次のような性質を持つ：任意のA加群M、N、および任意の射に対して、 ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$^[9 ]
• Aの任意の素イデアルpに対して、O _p = A _p -モジュールとなります。${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$^[10 ]
• Mが有限提示される場合、. ^[10]${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$なぜなら、Mod _AとX上の準連接層のカテゴリは同値であるからです。
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^[11]特に、直和と〜の交換を取る。
• A加群の列が正確であるためには、 による誘導列が正確である必要があります。特に、 です。${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$

前のセクションの構成と同値性の次数付き類似物があります。R を次数 1 の元によってR ₀代数として生成される次数付き環( R _{0 は}次数 0 の部分を意味します) とし、M を次数付きR加群とします。X をR の射影とします(したがって、Rがノイザンである場合、X は射影スキームです)。 このとき、 O加群が存在し、 Rの正次数の任意の同次元fに対して、自然同型 ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

アフィンスキーム上の加群の層として定義される。^[12]実際、これは接着によって定義される。 ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

例: R (1)をR (1) _n = R _{n +1}で与えられる次数付きR加群とします。このとき、はセールのねじり層と呼ばれ、 R が次数 1 で有限生成される場合のトートロジー直線束の双対になります。 ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$

F がX上のO加群である場合、 と書くと、標準準同型が存在する。 ${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

これは、 Fが準整合で ある場合に限り同型である。

層コホモロジーは計算が難しいことで知られています。このため、次の一般的な事実はあらゆる実用的な計算の基本となります。

セールの消失定理^[13]によれば、 Xが射影多様体でFがその上の連接層であるとき、十分に大きいnに対してセールツイスト F ( n )は有限個の大域的切断によって生成される。さらに、

1. 各iに対して、 H ⁱ ( X , F ) はR ₀上で有限生成され、
2. Fに依存する整数n ₀が存在し、 $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[14] [15] [16]}

( X , O ) を環空間とし、F、H をX上のO -加群の層とする。FによるHの拡張はO -加群 の短完全列である。

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

群の拡大と同様に、FとH を固定すると、 FによるHの拡大の同値類はすべてアーベル群を形成します( Baer 和を参照)。これはExt 群と同型であり、ここで の単位元は自明な拡大に対応します。 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$

HがOの場合、任意のi ≥ 0に対して、

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

両辺は同じ関数の右導来関数なので${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

注: Hartshorne など一部の著者は下付き文字Oを省略します。

X がネーター環上の射影スキームであると仮定する。F 、G をX上の連接層とし、i を整数とする。すると、n ₀が存在し、

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$^[17 ]

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$は、局所自由分解を用いて任意のコヒーレント層に対して容易に計算できる： ^[18]複素数 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

それから

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

したがって

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

次数の滑らかな超曲面を考える。すると、解像度を計算することができる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

そして、

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

計画を検討する

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

ここで、は滑らかな完全交差であり、 である。複素数 ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$${\displaystyle \deg(f)=d}$${\displaystyle \deg(g_{i})=e_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

これを解決して計算に使用できます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$

• D 加群( Oの代わりに、微分作用素の層であるDも考慮できます。)
• 分数理想
• 正則ベクトル束
• 一般的な自由度

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• コスタ、ローラ。ミロ＝ロイグ、ローザ・マリア。ポンス＝ロピス、ジョアン（2021）。ウルリッヒバンドル。土井：10.1515/9783110647686。ISBN 9783110647686。
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