仮想基礎クラス

数学、特に列挙幾何学 において、空間の仮想基本類 ^{[1] [2]}は、そのチャウ環における古典基本類の置き換えであり、検討中の列挙問題に関してよりよい振る舞いをする。このようにして、五次三次多様体上の次数有理曲線の数など、特定の列挙問題に答えるために使用できるサイクルが存在する。例えば、グロモフ・ウィッテン理論では、コンツェビッチ・モジュライ空間^[3]${\displaystyle [X]_{E^{\bullet }}^{\text{vir}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [X]\in A^{*}(X)}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

のスキームとクラスに対して、それらの振る舞いは境界で大きく変わることがある。例えば、^{[4] pg 503}では境界で主空間よりも高次元の成分を持つ。そのような例の1つはモジュライ空間である。${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle A_{1}(X)}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,n}(\mathbb {P} ^{2},1[H])}$

の直線のクラス。非コンパクトな「滑らかな」成分は空であるが、境界には曲線のマップが含まれる。${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{2}}$

そのコンポーネントは、点に収縮する 1 つの次数 3 の曲線で構成されます。このファミリ内の曲線の数を数えるために使用できる仮想基本クラスがあります。

^{仮想基本類[5] 10 ページ}の定義の動機は、単純なケース (滑らかな完全な交差など) でどのような状況をエミュレートするかを考えることで理解できます。階数ベクトル束のセクションによって周囲の滑らかな空間から切り取られた多様体(何らかのモジュライ問題 の粗い空間を表す) があるとします。すると は「仮想次元」を持ちます( はの次元)。が横断セクションである場合はこれが当てはまりますが、 が横断セクションではなく、 が横断セクションであるサブバンドル内にある場合は、上の余核バンドルのオイラー類を調べることでホモロジー サイクルを取得できます。このバンドルはの通常のバンドルとして機能します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r}$${\displaystyle E\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (nr)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E'\subset E}$${\displaystyle E/E'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

さて、この状況は、フルトン・マクファーソン交差理論で、誘導円錐を見て、誘導円錐上の誘導断面とゼロ断面の交差を見て、 上のサイクルを与えることによって扱われます。埋め込みがある明らかな周囲空間がない場合、基本クラスを表すモジュライ空間上にこのサイクルを構成するために変形理論の手法に頼らなければなりません。を切り取る断面がある場合、4項の正確なシーケンスがあります。${\displaystyle E|_{X}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle s:Y\to E}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to T_{Y}|_{X}\xrightarrow {ds} E|_{X}\to {\text{ob}}\to 0}$

ここで最後の項は「障害層」を表す。一般的なケースでは、正確なシーケンスが存在する。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{1}\to E_{1}\to E_{2}\to {\mathcal {T}}_{2}\to 0}$

ここで、 は接線層および障害層と同様に機能します。Behrend-Fantechiの構成は、上記の具体的な例^{[6] 44ページ}で与えられた正確なシーケンスの双対化であることに注意してください。 ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$${\displaystyle T_{Y}|_{X},E|_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1},{\mathcal {T}}_{2}}$

仮想基本類には複数の定義があり、^{[2] [7] [8] [9]}それらはすべて、内在的正規錐と完全妨害理論を使用したDeligne-Mumford スタックの射の定義に包含されますが、最初の定義は、さまざまな次元のコンポーネントを持つスキームなど、特定の種類のスキームの低レベルの例を構築するのに適しています。このようにして、仮想基本類の構造はより透明になり、その動作と構造に対する直感が向上します。

仮想基本クラス^{[2]の最初の定義の1つは、}次のようなケースである。あるスキームを滑らかなスキームに埋め込むと仮定する。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$

そしてベクトル束（障害束と呼ばれる）

${\displaystyle \pi :E_{X/Y}\to X}$

で与えられる場合、通常の円錐は以上に埋め込まれます。このような障害バンドルの自然な候補の1つは、${\displaystyle C_{X/Y}}$${\displaystyle E_{X/Y}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{X/Y}=\bigoplus _{j=1}^{r}i^{*}{\mathcal {O}}_{Y}(-D_{j})}$

をイデアルの非ゼロ生成子集合に付随する因子として定義します。次に、合成によって与えられる一般化されたギシン射を用いて、の仮想基本クラスを構築できます。${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X/Y}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle A_{*}(Y)\xrightarrow {\sigma } A_{*}(C_{X/Y})\xrightarrow {i_{*}} A_{*}(E_{X/Y})\xrightarrow {0_{E_{X/Y}}^{!}} A_{*-r}(X)}$

と表記され、ここでマップは次のように与えられる。${\displaystyle f_{E_{X/Y}}^{!}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ([V])=[C_{V\cap X}V]}$

は平坦な引き戻し同型の逆である${\displaystyle 0_{E_{X/Y}}^{!}}$

${\displaystyle \pi ^{*}:A_{k-r}(X)\to A_{k}(E_{X/Y})}$。

ここでは、ベクトル束の零断面に対応するマップのを使用します。すると、前の設定の仮想基本クラスは次のように定義されます。${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [X]_{E_{X/Y}}^{\text{vir}}:=f_{E_{X/Y}}^{!}([Y])}$

これは の基本クラスの一般化された Gysin 写像です。 ${\displaystyle Y}$

ギシン射の定義における最初の写像は、正規円錐^{[10] pg 89への特殊化に対応しており、これは本質的には、フルトン[10] pg 90}で定義されている標準ギシン射の最初の部分です。しかし、ここでは滑らかな多様体を扱っていないので、 を与えるためフルトンの円錐構成は機能せず、したがって、正規束は障害束として働くことができます。このように、正規円錐の特殊化を使用する中間ステップでは、多様体 に関連する の交差理論的データのみが保持されます。 ${\displaystyle C_{X/Y}\cong N_{X/Y}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

• スタックのチャウグループ

• 仮想基本類、大域正規錐、フルトンの標準類