一般的なポイント

代数幾何学において、代数多様体Xの一般点 P は、一般位置にある点であり、その点においてすべての一般特性が真である。一般特性とは、ほとんどすべての点に対して真である特性のことである。

古典的な代数幾何学では、次元dのアフィン代数多様体または射影代数多様体の一般点とは、その座標によって生成される体が、多様体の方程式の係数によって生成される体に対して 超越次数dを持つような点です。

スキーム理論では、整域のスペクトルは唯一の一般点、すなわち零イデアルを持つ。ザリスキ位相におけるこの点の閉包はスペクトル全体となるため、定義は一般位相に拡張され、位相空間Xの一般点とは閉包がXとなる点である。

位相空間Xの一般点とは、その閉包がX全体である点P 、つまりXに稠密な点である。^[1]

この用語は、代数集合の部分多様体の集合上のザリスキ位相の場合に由来します。代数集合が既約である（つまり、2 つの適切な代数的部分集合の和集合ではない）のは、部分多様体の位相空間が一般点を持つ場合のみです。

• 一般的な点を持つ唯一のハウスドルフ空間は、単独集合です。
• 任意の積分スキームには（一意の）一般点があります。アフィン積分スキーム（つまり、積分領域の素スペクトル）の場合、一般点は素イデアル（0）に関連付けられた点です。

アンドレ・ヴェイユが『代数幾何学の基礎』で展開した基礎的アプローチでは、一般点は重要な役割を果たしたが、異なる方法で扱われた。体K上の代数多様体Vに対して、Vの一般点は、普遍領域 Ω 内の値を取るVの点のクラス全体であり、これはK を含む代数的に閉じた体であるが、無限の新しい不定値も含む。このアプローチは、Vの位相(つまり、 K -ザリスキ位相) を直接扱う必要がなく、機能した。これは、特殊化はすべて体レベルで議論できるためである ( 1930 年代に人気があった代数幾何学への 付値論アプローチのように)。

これには、同様に一般的な点の膨大なコレクションが存在するという犠牲が伴いました。第二次世界大戦直後のサンパウロでのヴェイユの同僚であったオスカー・ザリスキは、一般的な点は一意であるべきだと常に主張しました。(これは位相学者の用語に戻すと、ヴェイユの考えはコルモゴロフ空間を与えることができず、ザリスキはコルモゴロフ商の観点から考えています。)

1950 年代の急速な基礎的変化の中で、ヴェイユのアプローチは時代遅れになった。しかし、スキーム理論では、1957 年からジェネリック点が復活した。今度はザリスキ風である。たとえば、離散付値環Rに対して、Spec ( R ) は 2 つの点、つまりジェネリック点 (素イデアル{0} から来る) と唯一の極大イデアルから来る閉点または特殊点から構成される。Spec ( R ) への射に対して、特殊点の上のファイバーは特殊ファイバーであり、これは、たとえばp を法とする還元、モノドロミー理論、その他の退化に関する理論で重要な概念である。ジェネリックファイバーも同様に、ジェネリック点の上のファイバーである。退化の幾何学は、ジェネリックファイバーから特殊ファイバーへの移行、つまり、パラメータの特殊化が問題にどのように影響するかについて主に扱っている。 (離散評価環の場合、問題の位相空間は位相学者のシェルピンスキー空間です。他の局所環は一意の一般点と特殊点を持ちますが、一般次元を表すため、スペクトルはより複雑です。離散評価の場合は、これらの目的のために、複素単位円によく似ています。)