Chern class

In mathematics, in particular in algebraic topology, differential geometry and algebraic geometry, the Chern classes are characteristic classes associated with complex vector bundles. They have since become fundamental concepts in many branches of mathematics and physics, such as string theory, Chern–Simons theory, knot theory, Gromov–Witten invariants. Chern classes were introduced by Shiing-Shen Chern (1946).

Chern classes are characteristic classes. They are topological invariants associated with vector bundles on a smooth manifold. The question of whether two ostensibly different vector bundles are the same can be quite hard to answer. The Chern classes provide a simple test: if the Chern classes of a pair of vector bundles do not agree, then the vector bundles are different. The converse, however, is not true.

In topology, differential geometry, and algebraic geometry, it is often important to count how many linearly independent sections a vector bundle has. The Chern classes offer some information about this through, for instance, the Riemann–Roch theorem and the Atiyah–Singer index theorem.

Chern classes are also feasible to calculate in practice. In differential geometry (and some types of algebraic geometry), the Chern classes can be expressed as polynomials in the coefficients of the curvature form.

There are various ways of approaching the subject, each of which focuses on a slightly different flavor of Chern class.

The original approach to Chern classes was via algebraic topology: the Chern classes arise via homotopy theory which provides a mapping associated with a vector bundle to a classifying space (an infinite Grassmannian in this case). For any complex vector bundle V over a manifold M, there exists a map f from M to the classifying space such that the bundle V is equal to the pullback, by f, of a universal bundle over the classifying space, and the Chern classes of V can therefore be defined as the pullback of the Chern classes of the universal bundle. In turn, these universal Chern classes can be explicitly written down in terms of Schubert cycles.

Mから分類空間への任意の2 つの写像f、gについて、その引き戻しが同じバンドルVである場合、写像はホモトピックでなければならないことが示されます。したがって、fまたはgのいずれかによる任意の普遍チャーン類のMのコホモロジー類への引き戻しは、同じ類でなければなりません。これは、 Vのチャーン類が明確に定義されていることを示しています。

チャーンのアプローチは、この記事で主に説明されている曲率アプローチを介して微分幾何学を使用しました。彼は、以前の定義が実際には彼の定義と同等であることを示しました。結果として得られた理論は、チャーン-ワイル理論として知られています。

アレクサンダー・グロタンディークのアプローチもあり、公理的には線束の場合のみを定義する必要があることを示しています。

チャーン類は代数幾何学で自然に生じます。代数幾何学における一般化されたチャーン類は、任意の非特異多様体上のベクトル束（より正確には、局所自由層）に対して定義できます。代数幾何学的チャーン類では、基礎となる体が特別な特性を持つことは要求されません。特に、ベクトル束は必ずしも複素数である必要はありません。

特定のパラダイムに関係なく、チャーン類の直感的な意味は、ベクトル束のセクションの「必要なゼロ」に関係しています。たとえば、毛玉を平らに梳かすことはできないという定理 (毛玉定理) などです。これは厳密に言えば実数ベクトル束に関する質問ですが(球の「毛」は実際には実数線のコピーです)、毛が複素数である場合 (以下の複素毛玉定理の例を参照)、または他の多くのフィールド上の 1 次元射影空間の場合の一般化があります。

詳しい議論については、 Chern-Simons 理論を参照してください。

( X をCW 複体のホモトピー型を持つ位相空間とします。)

Vが直線束のとき、重要な特殊なケースが発生します。その場合、唯一の非自明なチャーン類は、 Xの2番目のコホモロジー群の要素である最初のチャーン類です。これは最上位のチャーン類であるため、束の オイラー類に等しくなります。

最初のチャーン類は、位相的に言えば、複素直線束を分類するための完全な不変量であることが判明した。つまり、 X上の直線束の同型類と の元の間には一対一の関係があり、直線束に最初のチャーン類が関連付けられる。さらに、この一対一の関係は群準同型 (したがって同型) である。 複素直線束の テンソル積は、 2 番目のコホモロジー群の加算に対応する。^{[1] [2]}${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$$${\displaystyle c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');}$$

代数幾何学において、複素直線束（の同型類）を第一チャーン類で分類することは、正則直線束（の同型類）を因子の線型同値類で分類することの大まかな近似である。

1 より大きい次元の複素ベクトル束の場合、チャーン類は完全な不変量ではありません。

滑らかな多様体M上の複素階数nの複素エルミート ベクトル束 Vが与えられた場合、 Vの各チャーン類（チャーン形式とも呼ばれる）の代表は、 Vの曲率形式の特性多項式の係数として与えられます。 ${\displaystyle c_{k}(V)}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

行列式は、 M上の偶複素微分形式の可換代数に係数を持つtの多項式を要素とする行列の環上にあります。Vの曲率形式は 、 ω が接続形式 、d が外導関数であるとして定義されるか 、または ω がVのゲージ群のゲージ場である同じ式を介して定義されます。スカラーt は、ここでは行列式から和を生成するための不定値としてのみ使用され、I はn × n単位行列を表します。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$

与えられた式がチャーン類の代表であると言うことは、ここでの「類」が正確な微分形式の追加までを意味することを示しています。つまり、チャーン類は、ド・ラーム・コホモロジーの意味でコホモロジー類です。チャーン形式のコホモロジー類は、 Vの接続の選択に依存しないことがわかります。

行列の恒等式から が成り立つ場合、 となります。にマクローリン級数を適用すると 、チャーン形式について次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$${\displaystyle \ln(X+I)}$

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

チャーン類はオイラー類の観点から定義することができます。これはミルナーとスタシェフの著書におけるアプローチであり、ベクトル束の方向の役割を強調しています。

基本的な観察は、複素ベクトル束は、最終的には連結であるため、標準的な方向性を持つということです。したがって、バンドルの最上位のチャーン類をオイラー類 (基礎となる実ベクトル束のオイラー類) として定義し、下位のチャーン類を帰納的に処理します。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

正確な構築は次の通り。アイデアは、基底変換を行ってランクが 1 少ないバンドルを得るというものである。 をパラコンパクト空間B上の複素ベクトルバンドルとする。BがEにゼロセクションとして埋め込まれていると考え、 とし、新しいベクトルバンドルを定義する。 各ファイバーは、 Eの ファイバーFをF内の非ゼロベクトルvが張る直線で割った商となる ( B′の点は、EのファイバーFとF上の非ゼロベクトルによって指定される) ^[3]。すると、はEのランクより 1 低いランクを持つ。ファイバーバンドルのGysin シーケンスから、 は の同型である ことが分かる。 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle B'=E\setminus B}$$${\displaystyle E'\to B'}$$${\displaystyle E'}$${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$$${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$${\displaystyle k<2n-1}$$${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

次に、この定義に対してチャーン類の公理が満たされているかどうかを確認するために、いくらかの作業が必要になります。

トム同型性も参照してください。

をリーマン球面: 1 次元複素射影空間とします。zはリーマン球面の正則局所座標であるとします。各点で の形を持つ複素接ベクトルの束を とします。ここでaは複素数です。毛球定理の複素バージョンを証明します。V にはどこでもゼロでない断面はありません。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle a\partial /\partial z}$

このためには、次の事実が必要である：自明バンドルの最初のチャーン類はゼロである、すなわち、 $${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

これは、自明な束が常に平坦な接続を持つという事実によって証明される。そこで、 $${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

ケーラー計量を考える $${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

曲率2形式は次のように与えられることが容易にわかる。 $${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

さらに、第一チャーン類の定義により $${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

このコホモロジー類がゼロでないことを示さなければなりません。極座標 に切り替えた後、リーマン球面上で積分を計算すれば十分です 。ストークスの定理により、正確な形式は0 に積分されるため、コホモロジー類はゼロではありません。 $${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$

これは、が自明なベクトル束ではないことを証明します。 ${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$

層/束の正確な列が存在する: ^[4] ここで、は構造層(すなわち、自明な直線束)、はセールのねじれ層(すなわち、超平面束)、最後の非ゼロ項は接層/束である。 $${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$

上記のシーケンスを取得するには 2 つの方法があります。

全チャーン類の加法性（すなわち、ホイットニーの和公式）により、 ここでaはコホモロジー群の標準生成子、すなわち、トートロジー直線束の最初のチャーン類の負（注意：がEの双対である場合）である。 ${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$$${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$${\displaystyle E^{*}}$

特に、任意の については、 ${\displaystyle k\geq 0}$$${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

チャーン多項式は、チャーン類と関連する概念を体系的に扱うのに便利な方法です。定義により、複素ベクトル束Eに対して、Eのチャーン多項式 c _{t は}次のように表されます。 $${\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}$$

これは新しい不変量ではありません。形式変数tは単にc _k ( E )の次数を追跡するだけです。^[6]特に、はEの全チャーン類によって完全に決定されます。そしてその逆も同様です。 ${\displaystyle c_{t}(E)}$${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)}$

チャーン類の公理の 1 つであるホイットニーの和の公式 (下記参照) によれば、c _{t は次}のような意味で加法的である。 さて、 が(複素) 直線束の直和である場合、和の公式から次のことが導かれる。 ここで、 は最初のチャーン類である。 Eのチャーン根と呼ばれる根は、多項式の係数を決定する。すなわち、 σ _{k は}基本対称多項式である。 言い換えれば、a _{i を}形式変数と考えると、c _{k は「σ k}である」 。対称多項式に関する基本的な事実は、たとえばt _iの任意の対称多項式は、t _iの基本対称多項式の多項式であるということである。分割原理または環理論のいずれかによって、任意のチャーン多項式は、コホモロジー環を拡大した後、線形因子に因数分解される。前述の議論では、 E は直線束の直和である必要はない。 結論は次のようになる。 $${\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').}$$${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$$${\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)}$$${\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})}$${\displaystyle a_{i}(E)}$$${\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))}$$${\displaystyle c_{t}(E)}$

例:などの 多項式s _{k が} あります(ニュートンの恒等式を参照)。この和は E のチャーン指標と呼ばれ、最初の数項は次のようになります ( E は省略します)。 $${\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))}$$${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!}$$$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}$$

例: Eのトッド類は次のように与えられます。 $${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .}$$

注: チャーン類は本質的には初等対称多項式であるという観察は、チャーン類を「定義」するために使用できます。G n を n 次元複素ベクトル空間の無限グラスマン多項式とします。_この空間には、階数のトートロジーベクトルバンドル、つまりが備えられています。 は、階数ベクトルバンドルの分類空間と呼ばれます。これは、 X上の階数nの任意の複素ベクトルバンドルE が与えられたときに、 に沿ったへ の引き戻しがに同型となるような連続写像が存在し 、この写像はホモトピーを除いて一意であるためです。ボレルの定理によれば、 G _nのコホモロジー環は、初等対称多項式 σ _kの多項式である対称多項式の環とまったく同じです。したがって、 f _Eの引き戻しは次のようになります。 次に、次の式を代入します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle E_{n}\to G_{n}}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}}$$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f_{E}}$$${\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$$$${\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}$$

注意: 任意の特性類はチャーン類の多項式である。理由は次の通りである。を反変関手とし、CW 複体Xに、 X上の階数nの複素ベクトル束の同型類の集合を割り当て、写像にその引き戻しを割り当てるものとする。定義により、特性類はからコホモロジー関手への自然変換である。特性類は、コホモロジー環の環構造により環を形成する。米田の補題によれば、この特性類の環はG _nのコホモロジー環とまったく同じである。 ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}$${\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).}$$${\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}$$

E を階数rのベクトル束とそのチャーン多項式 とします。${\displaystyle c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}}$

• の双対バンドル については、. ^[7]${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$
• Lが線束ならば^{[8] [9]} であり、$${\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}}$$${\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r}$$${\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.}$$
• のチャーン根については、^[10]特に、${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle E}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}}$$${\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).}$
• 例えば、^[11]では、 ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)}$

  いつ、${\displaystyle r=2}$${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},}$

  いつ、${\displaystyle r=3}$${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.}$

(cf. Segre クラス#例 2 )

これらの抽象プロパティを使用して、 上の線束の残りのチャーン類を計算できます。 を示したことを思い出してください。次に、テンソルの累乗を使用して、任意の整数に対する のチャーン類に関連付けることができます。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$

位相空間X上の複素ベクトル束 Eが与えられたとき、Eのチャーン類はXのコホモロジーの元の列である。Eのk番目のチャーン類はc _k ( E )と表記され、整数係数を持つX のコホモロジーの元である 。また、全チャーン類を定義することもできる。 $${\displaystyle H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),}$$ $${\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .}$$

値は実係数のコホモロジーではなく整数コホモロジー群にあるため、これらのチャーン類はリーマンの例のものよりもわずかに洗練されています。^{[説明が必要]}

チャーン類は次の 4 つの公理を満たします。

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$すべてのEについて。
2. 自然性:が連続で、f*E がEのベクトル束の引き戻しである場合、 となります。${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$
3. ホイットニー和公式: が別の複素ベクトル束である場合、直和のチャーン類は次のように与えられる。${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle E\oplus F}$$${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$$${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. 正規化:上のトートロジー直線束の全チャーン類は1− Hであり、ここでHは超平面のポアンカレ双対である。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$

あるいは、アレクサンダー・グロタンディーク (1958) は、これらをわずかに小さい公理のセットに置き換えました。

• 自然度: (上記と同じ)
• 加法性: がベクトル束の正確な列である場合、 です。${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$
• 正規化: E が線束である場合、 は基礎となる実ベクトル束のオイラー類です。${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$

彼は、ルレイ・ヒルシュの定理を用いて、任意の有限階数の複素ベクトル束の全チャーン類が、トートロジー的に定義された直線束の最初のチャーン類によって定義できることを示しています。

つまり、階数n の複素ベクトル束E → Bの射影化を、任意の点における繊維が繊維E _bの射影空間であるB上の繊維束として導入する。この束の全空間には、 と表記する同義複素直線束が備わり、第 1 チャーン類は、 複素射影空間のコホモロジーを考慮して、繊維のコホモロジーを張る超平面の (ポアンカレ双対) 類をマイナスして、 各繊維に対して に制限します。 ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$

したがって、クラスは、 ファイバーのコホモロジーの基底に制限されるアンビエントコホモロジークラスの族を形成します。Leray -Hirsch の定理は、 の任意のクラスは、基底上のクラスを係数として、 1、 a、a ²、...、a ^{n −1}の線形結合として一意に表すことができることを述べています。 $${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$

特に、グロタンディークの意味でEのチャーン類を定義することができ、これはクラス を次の関係式で拡張することによって表される。 ${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$${\displaystyle -a^{n}}$$${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

次に、この代替定義が、自分が好む他の定義と一致するかどうかを確認したり、以前の公理的な特徴付けを使用したりすることができます。

実際、これらのプロパティはチャーン類を独自に特徴づけます。それらは、とりわけ次のことを意味します。

• n がVの複素階数である場合、すべてのk > nに対して成り立ちます。したがって、全体のチャーン類は終了します。${\displaystyle c_{k}(V)=0}$
• Vの上位チャーン類（つまり、nはVの階数）は、常に基礎となる実ベクトル束のオイラー類に等しい。${\displaystyle c_{n}(V)}$

コホモロジー環の代数幾何的な類似体であるチョウ環の値を取るチャーン類の別の構成もあります。

を次元 の非特異な準射影多様体とする。チャーン類と呼ばれる要素に代数的ベクトル束を割り当て、チャーン多項式 を満たす唯一のチャーン類理論が存在し、次の式を満たすことが示される（グロタンディークの公理的アプローチに類似）。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$${\displaystyle c_{t}(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}}$

1. カルティエ因子 の場合、 となり、 となります。${\displaystyle D}$${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$${\displaystyle c_{t}(E)=1+Dt}$
2. が射ならば、 です。${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle c_{i}(f^{*}E)=f^{*}c_{i}(E)}$
3. が上のベクトル束の正確な列である場合、ホイットニーの和の公式が成り立ちます。${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E')c_{t}(E'')}$

射影空間の特性類を計算することは、多くの特性類計算の基礎となる。なぜなら、任意の滑らかな射影部分多様体に対して、短い完全列が存在するからである。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

例えば、 の非特異五次三次多様体を考える。その正規束は で与えられ、短完全列 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}$$

における超平面類をと表すと、ホイットニーの和の公式は次式を与える。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))=(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}}$$

超曲面のチャウ環を計算するのは難しいので、この列を の連接層の列として考えることにする。これにより、 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=\left(1+5h+10h^{2}+10h^{3}\right)\left(1-5h+25h^{2}-125h^{3}\right)\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$$

ガウス・ボネの定理を使用して、クラスを積分してオイラー特性を計算することができます。伝統的に、これはオイラークラスと呼ばれます。これは、 クラスが5 つの点 (ベズーの定理による) で表すことができるためです。オイラー特性は、オイラー特性の定義とレフシェッツの超平面定理を使用して、 コホモロジーのベッティ数を計算するために使用できます。${\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})}$$${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}$$${\displaystyle h^{3}}$${\displaystyle X}$

が 次滑らかな超曲面である場合、関係式を与える短い正確な数列が得られ、これを として計算して、 全チャーン類を与えることができます。特に、 が偶数である場合は がスピン 4 多様体であること が分かるので、 次 の滑らかな超曲面はすべてスピン多様体です。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0}$$$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle 4-d}$${\displaystyle 2k}$

チャーン類は、空間の位相的K理論からその有理コホモロジー（の完備化）への環の準同型を構成するために使用できる。直線束Lに対して、チャーン指標chは次のように定義される。

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

より一般的には、直線束の直和の場合、第一チャーン類を用いてチャーン指標は加法的に定義される。 ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

これは次のように書き直すことができる: ^[13]

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

この最後の表現は、分割原理を適用することで正当化され、任意のベクトル束Vの定義ch(V)として解釈されます。

基底が多様体であるときに接続を使用してチャーン類を定義する場合（つまり、チャーン-ヴェイユ理論）、チャーン指標の明示的な形式は次のようになります 。ここで、Ωは接続の 曲率です。$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$

チャーン キャラクタは、テンソル積のチャーン クラスの計算を容易にするため、便利です。具体的には、次の恒等式に従います。

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

上で述べたように、チャーン類のグロタンディーク加法公理を使用すると、これらの恒等式の最初のものは一般化されて、 chはK 理論K ( X )からXの有理コホモロジーへのアーベル群の準同型であると述べることができます。2 番目の恒等式は、この準同型がK ( X )の積も尊重するという事実を確立し、したがってch は環の準同型です。

チャーン指標はヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理で使用されます。

次元 の有向多様体で作業する場合、全次数 のチャーン類の積（つまり、積内のチャーン類のインデックスの合計は になる）は、方向ホモロジー類と組み合わせる（または「多様体上で積分する」）ことで整数、つまりベクトル束のチャーン数を得ることができます。たとえば、多様体の次元が 6 の場合、 、 、 で示される 3 つの線形独立なチャーン数が存在します。一般に、多様体の次元が の場合、可能な独立なチャーン数の数はの分割数です。 ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{1}^{3}}$${\displaystyle c_{1}c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$

複素数（またはほぼ複素数）多様体の接束のチャーン数は多様体のチャーン数と呼ばれ、重要な不変量です。

チャーン類の理論の一般化があり、通常のコホモロジーが一般化されたコホモロジー理論に置き換えられます。このような一般化が可能な理論は、複素有向と呼ばれます。チャーン類の形式的な性質は同じままですが、重要な違いが 1 つあります。それは、因子の最初のチャーン類に関して直線束のテンソル積の最初のチャーン類を計算する規則は、(通常の) 加算ではなく、形式的な群法則であるということです。

代数幾何学には、ベクトル束のチャーン類の同様の理論があります。チャーン類がどのグループに属するかによって、いくつかのバリエーションがあります。

• 複素多様体の場合、チャーン類は上記のように通常のコホモロジー内の値を取ることができます。
• 一般体上の多様体の場合、チャーン類はエタールコホモロジーやl 進コホモロジーなどのコホモロジー理論で値を取ることができます。
• 一般体上の多様体Vに対して、チャーン類はチョウ群CH(V) の準同型で値を取ることもできます。たとえば、多様体V上の直線束の最初のチャーン類は、次数を 1 減らすCH( V ) から CH( V ) への準同型です。これは、チョウ群がホモロジー群の一種の類似体であり、コホモロジー群の元はキャップ積を使用するホモロジー群の準同型として考えることができるという事実に対応します。

チャーン類の理論は、ほぼ複素多様体に対するコボルディズム不変量を生み出します。

Mが概複素多様体である場合、その接束は複素ベクトル束である。したがって、 Mのチャーン類は、その接束のチャーン類として定義される。Mもコンパクトで次元が 2 dである場合、チャーン類の全次数 2 dの各単項式は、 Mの基本類とペアにすることができ、整数、つまりMのチャーン数を与える。M ′ が同じ次元の別の概複素多様体である場合、 M ′のチャーン数がMのチャーン数と一致する場合のみ、Mは M と共形である。

この理論は、互換性のあるほぼ複素構造を介することで、実シンプレクティック ベクトル束にも拡張されます。特に、シンプレクティック多様体は明確に定義されたチャーン類を持ちます。

（アラケロフ幾何学を参照）

• ポントリャーギン級
• スティフェル・ホイットニー級
• オイラークラス
• セグレクラス
• シューベルト計算
• 量子ホール効果
• 局所化されたChernクラス