リングのスペクトル

すべての可換環に対して${\displaystyle R}$位相空間​${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$は、構造層と呼ばれる可換環の層を自然に備えており、一般に と表記される。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$⁠。これにより⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$環状空間、アフィンスキームとも呼ばれ、また次のように表記される。${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠ .

指輪の束${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$位相空間上${\displaystyle X}$リングのファミリーから構成される${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$（別の表記法：${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$) 開集合によってインデックス付けされる${\displaystyle U}$の​​${\displaystyle X}$各包含について${\displaystyle U\subset V}$開集合の⁠には、標準的な環準同型が存在する⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)}$これらの正準準同型写像は、いくつかの互換性条件を満たさなければならない。

最初の互換性条件は、正準準同型が包含関係の構成に関して期待どおりに振る舞うことです。これは、もし⁠${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は、包含関係を射とする開集合の圏であり、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$⁠は⁠の反変関手です${\displaystyle {\mathcal {U}}}$指輪のカテゴリーへ。

2つ目の互換性条件は、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$から一意に復元できます${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$もし​​${\displaystyle \textstyle U=\bigcup _{i\in C}U_{i}}$⁠は開いたカバーです⁠${\displaystyle U}$技術的には、これは次のように表現できます。$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\varprojlim _{i\in C}U_{i},}$$どこで${\displaystyle \varprojlim }$は逆極限を表します。

アフィンスキームの場合${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$指輪​​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$は、まず次の形式の主開集合に対して定義されます。${\displaystyle D_{f}}$ローカライズとして​$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}=S^{-1}R,}$$どこ${\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}}$はの整数乗の集合です${\displaystyle f}$⁠。次のようなことが観察される。${\displaystyle D_{g}\subseteq D_{f}\iff g\in {\sqrt {(f)}},}$となることによって${\displaystyle g^{n}=rf}$ある正の整数に対して${\displaystyle n}$そして​${\displaystyle r\in R}$⁠、そして⁠${\displaystyle f}$はで可逆です${\displaystyle R_{g}}$これにより、正準準同型が可能になります。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\to {\mathcal {O}}_{X}(D_{g})}$⁠ローカライゼーションとして定義される${\displaystyle R_{f}\to R_{g}}$マッピング​${\displaystyle a/f^{m}\mapsto ar^{m}/g^{nm}.}$

その他のオープンセットについては、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$は次のように定義されます。$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\textstyle \varprojlim _{D_{f}\subseteq U}R_{f},}$$そして、それに応じて標準的な環準同型が定義される。これらの定義は、主開集合ではない可能性のある開集合に対しては、これらの定義が実質的に環の層を定義することを証明する場合を除いて、実際にはほとんど使用されない。

環状空間の場合${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$⁠、茎の先端が${\displaystyle x}$は直接的な限界です$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\textstyle \varinjlim _{x\in U}{\mathcal {O}}_{X}(U),}$$どこで${\displaystyle U}$⁠開集合上を走る⁠${\displaystyle X}$含有​​${\displaystyle x}$アフィンスキームの場合${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$茎​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ある時点で${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in X}$ローカルリングです​${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$したがって、アフィンスキームは局所的に環状の空間である。茎の要素は 芽と呼ばれる。${\displaystyle x}$要素の局所的かつ微小な挙動を捉える${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$周辺​${\displaystyle x}$⁠ .

要素​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$構造層のセクションとして知られています。${\displaystyle U}$セクションのリング${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$アフィンスキームの場合${\displaystyle X}$は、開部分集合上の正則関数の環の一般化と考えることができる。${\displaystyle T\subseteq V}$アフィン多様体の${\displaystyle V\subseteq k^{N}}$⁠ (${\displaystyle k={\overline {k}}}$代数的に閉じた体）、およびセクション${\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}$通常の関数の一般化と考えることができます。つまり、関数${\displaystyle f:T\to k}$すべての に対して${\displaystyle p\in T}$⁠、開部分集合が存在する${\displaystyle W\subseteq T}$含む​${\displaystyle p}$そのため${\displaystyle f(w)=g(w)/h(w)}$一部の人にとって${\displaystyle g,h\in k[V],\ h(w)\neq 0,}$すべての人々のために${\displaystyle w\in W.}$ ここ、${\displaystyle k[V]}$は、上の多項式関数の環です。${\displaystyle V}$⁠、その座標環として知られています。${\displaystyle \operatorname {I} (V)}$は、上でゼロとなるすべての多項式のイデアルである。${\displaystyle V}$⁠、それから${\displaystyle k[V]=k[x_{1},\dots ,x_{N}]/\operatorname {I} (V).}$アフィン多様体の開部分集合上の正則関数の環は、実際には、${\displaystyle k}$-代数であり、これは多様体の構造層と呼ばれます。アフィンスキームの構造層はこの構成を一般化したものです。詳細は、アフィン多様体#構造層を参照してください。

アフィン多様体の理論から得られる2つの基本的な事実は、アフィンスキームのグローバル切断環がどのようなものであるべきかを示唆している。1) グローバル正則関数の環${\displaystyle f:V\to k}$アフィン多様体の${\displaystyle V}$⁠は座標環です${\displaystyle k[V];}$2)ヌルシュテルンザッツは、アフィン多様体の点間に一対一の対応関係を確立する。${\displaystyle V}$そしてその座標環の最大イデアル${\displaystyle k[V]}$したがって、座標環は${\displaystyle k[V]}$⁠ は、許可されているすべてのグローバル関数を ⁠ 提供します。${\displaystyle V}$⁠、その最大理想の集合は${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (k[V])}$⁠は、⁠と関連付けられる可能性がある${\displaystyle V}$それ自体。座標環（すなわち、既約、有限生成）だけでなく任意の可換環を考慮することによって${\displaystyle k}$-代数）と、極大イデアルだけでなく環のすべての素イデアルを取るという事実は、アフィンスキームのグローバル切断環を定義する動機となる。${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ただ存在するだけ${\displaystyle R}$⁠ :${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (R)}(\operatorname {Spec} (R))=R.}$

一般的には、アフィンスキームの構造層のセクションは${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$真の「関数」とは見なせない。とはいえ、要素について考えることは有用である。${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X}(X)=R}$上の「関数」に類似した振る舞いをするオブジェクトとして${\displaystyle X}$⁠その値を次のように定義することによって${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$分数の分野で${\displaystyle \operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})}$として

${\displaystyle f({\mathfrak {p}})={\frac {f\operatorname {mod} {\mathfrak {p}}}{1}}.}$

特別な場合${\displaystyle R=\mathbb {C} [x]}$スペクトル付き${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{{\mathfrak {m}}_{a}:a\in \mathbb {C} \}\cup \{(0)\},}$評価${\displaystyle f\in R}$最大理想値において${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x-a)}$この定義では、次の多項式評価に対応します。${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle f\mapsto f(a)}$予想通りだ 。

この値割り当て${\displaystyle f({\mathfrak {p}})}$これにより、主開部分集合の定義を書き換えることができます。${\displaystyle X}$⁠として

${\displaystyle D_{f}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):f({\mathfrak {p}})\neq 0\},}$

これは明らかにアフィン多様体の主開部分集合の定義に類似している。${\displaystyle V}$⁠ :${\displaystyle D_{V,f}=\{x\in V:f(x)\neq 0\}.}$規則関数の環${\displaystyle D_{V,f}}$は${\displaystyle k[V]_{f},}$のローカライズ​​${\displaystyle k[V]}$⁠で${\displaystyle \{1,f,f^{2},\ldots \}.}$類推すると、${\displaystyle a/f^{n}\ (a\in R)}$で${\displaystyle R_{f}}$は、許可された「機能」とみなすことができる${\displaystyle D_{f},}$課題の動機付け${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}}$これは、前の節で述べたアフィンスキームの構造層の抽象的な定義の出発点となる。

値${\displaystyle f({\mathfrak {p}})}$さまざまな分野に携わる可能性がある${\displaystyle \operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})}$地点によって異なる${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$さらに、ゼロでない⁠${\displaystyle f\in R}$⁠ は、あらゆる点でゼロの値を持つ可能性があります${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in X;}$より一般的には、${\displaystyle f}$は値によって決定されません。したがって、${\displaystyle f\in R}$（そしてより一般的には、セクション${\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}$) は、特別な場合を除き、真の「関数」として解釈することはできません。代わりに、 の要素は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$は、各ポイント周辺のセクションの局所的な動作を捉える「関数の断片」のように振る舞う、特定の許容されるオブジェクトの集合として定義できます。具体的には、セクションは${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$局所的に適合する細菌の集合体であり、細菌から構成される。${\displaystyle s_{\mathfrak {p}}\in R_{\mathfrak {p}}}$各${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U}$ここで、ローカル互換性とは、各周辺で${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U,}$セクションの芽${\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ある地域のあらゆる芽と一致して${\displaystyle t_{\alpha }\in R_{f_{\alpha }}}$主開部分集合上${\displaystyle D_{f_{\alpha }}}$含まれる${\displaystyle U}$および含有${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$セクションを構築する${\displaystyle (s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U},}$主開部分集合${\displaystyle \{D_{f_{\alpha }}\}}$および地域セクション${\displaystyle \{t_{\alpha }\}}$は、${\displaystyle D_{f_{\alpha }}}$カバー${\displaystyle U}$そして${\displaystyle t_{\alpha }}$発芽に対して一貫した単一の選択を誘発する${\displaystyle s_{\mathfrak {p}}}$各${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U.}$正式には、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {O}}_{X}(U)={\Big \{}s=(s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\ \ \ {\Big |}\ \ \ &\forall {\mathfrak {p}}\in U,\ \exists {\big (}(D_{f_{\alpha }}\!\!\ni {\mathfrak {p}})\subseteq U\ \;\mathrm {and} \ \;t_{\alpha }\!\in R_{f_{\alpha }}{\big )}\\&\mathrm {s.t.} \ \ \ \forall {\mathfrak {q}}\in D_{f_{\alpha }},\ s_{\mathfrak {q}}=(t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}{\Big \}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle (t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}\in R_{\mathfrak {q}}}$は${\displaystyle t_{\alpha }}$自然地図の下で${\displaystyle R_{f_{\alpha }}\to R_{\mathfrak {q}}.}$この定義から次のことが示される。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\cong R_{f},}$以前の構成と一致して。${\displaystyle U'\subseteq U}$正準準同型${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U')}$単純に次のように与えられる${\displaystyle s\mapsto s|_{U'}}$どこ${\displaystyle (s|_{U'})_{\mathfrak {p}}=s_{\mathfrak {p}}}$すべての人々のために${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U'.}$

価値${\displaystyle s({\mathfrak {p}})}$は、${\displaystyle s_{\mathfrak {p}}}$自然地図の下で${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}},}$どこ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$は局所環の最大イデアルである${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

もし${\displaystyle R}$分数体を持つ整域である。${\displaystyle K=\operatorname {Frac} (R),}$そうすれば、リングを説明できます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$より具体的に言うと次のようになります。要素${\displaystyle f}$で${\displaystyle K}$ある時点で規則的である${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$で${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {R}}$分数で表せる場合${\displaystyle f=a/b}$と${\displaystyle b\notin {\mathfrak {p}}.}$これは代数幾何学における正則関数 の概念と一致することに注意してください。この定義を用いると、次のように記述できます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$要素の集合として正確に${\displaystyle K}$あらゆる点で規則的${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$で${\displaystyle U,}$あるいは、より具体的に言うと、

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\{a/b\in K\ |\ \forall {\mathfrak {p}}\in U,\ b\notin {\mathfrak {p}}\}.}$

これは、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ローカルリングの交点として${\textstyle \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}}$各ローカルリングとともに${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$埋め込まれている⁠${\displaystyle K}$⁠ .

アフィンスキームは、射が環空間の射であるような圏を形成する。この文脈では、${\displaystyle \operatorname {Spec} }$は可換環の圏からアフィンスキームの圏への反変関手である。逆に、アフィンスキームが与えられた場合、定義環は次のように復元できる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$これは反対方向のファンクターを定義し、これら2つのファンクターによって2つのカテゴリは双対的に同値になります。

アフィン代数多様体は、アレクサンドル・グロタンディークがスキーム理論を導入した際に、古典的な多様体理論では不適切に扱われていた問題を明確かつ正確に再定式化し解決するための枠組みを提供したという意味で、アフィンスキームの基礎的な例となる。取り組まれた課題には、多重度への対処、座標に依存しないアプローチの開発、代数的に閉じていない体上の有理点の研究、アフィン、射影、抽象代数多様体のための単一の枠組みの確立などが含まれる。

アフィン代数集合${\displaystyle V}$複素数体上で${\displaystyle \mathbb {C} }$は の共通ゼロの集合です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$多項式の集合の⁠${\displaystyle n}$不定元、つまり多項式${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$⁠ . ^{[ b ]}多項式を理想関数に置き換えても、共通零点の集合は同じままです。${\displaystyle I}$それらは生成する。商環${\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$⁠、上の正則関数の環と呼ばれる⁠${\displaystyle V}$⁠ は、の値をとる多項式関数の環と同型である。${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠、等号まで定義⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$実際、ヒルベルトのヌルシュテルンザッツは、ザリスキー位相の点間の同相写像を確立する。${\displaystyle V}$そして、の最大の理想${\displaystyle R}$⁠、つまり、の閉点⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠。つまり、 ⁠${\displaystyle V}$は、の最大の理想と同一視される可能性がある。${\displaystyle R}$⁠、そして正規関数は、 ⁠の要素の評価から構成される。${\displaystyle R}$スペクトルの閉じた点において。

要するに、アフィン代数集合とアフィン代数多様体に関するあらゆる記述は、アフィンスキームの言語に翻訳できる。これには多くの利点がある。特に、以下の点が挙げられる。

• 基底体が代数的に閉じていると仮定する必要はなく、基底体の存在を仮定する必要もない（ を扱う場合）${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠、したがって、次のように仮定する必要はありません。${\displaystyle R}$フィールドが含まれています。
• と想定する必要はない${\displaystyle R}$は、古典的な代数幾何学では通常そうであるように、整域です。特に、2 つのアフィン多様体の交点は、一般に多様体ではなく、重複度 を持つ代数集合です。たとえば、円 の交点はです。${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$そしてその線${\displaystyle x=1}$⁠は⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} ([x,y]/\langle y^{2}\rangle )}$⁠、そして交差はアフィンスキームでは符号化されているが、代数的集合の集合論的定義では符号化されていない。

相対仕様は、原点を通る線群をパラメータ化するための正しいツールです。${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$以上${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$代数の層を考えてみよう${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$そして${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$理想の束である${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$次に相対仕様${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$目的のファミリーをパラメータ化します。実際、ファイバーオーバー${\displaystyle [\alpha$ :\beta ]} は、${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ポイントを含む${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$仮定すると${\displaystyle \alpha \neq 0,}$繊維は、プルバック図の構成を調べることで計算できる。

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

下向き矢印の構成

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha$ :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}

点を含む線${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$そして原点。この例は、原点を通る線族をパラメータ化するように一般化できます。${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$以上${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$許可することによって${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$そして${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$