不連続和集合

不連続和集合

タイプ	集合演算
分野	集合論
象徴的な声明	$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}}$$

数学では、集合AとBの非結合和集合(または判別和集合)は、 AとBの要素に、それらの要素が属する集合の名前でラベル (インデックス) を付けて形成された集合です。したがって、 AとB の両方に属する要素は、非結合和集合に 2 度現れ、2 つの異なるラベルが付きます。 ${\displaystyle A\sqcup B}$

インデックス付き集合族の非結合和集合は、各 をに注入して、これらの注入の像がの分割を形成する（つまり、 の各要素がこれらの像の 1 つにのみ属する）集合で、によってしばしば表されます。ペアワイズ非結合集合族の非結合和集合は、それらの和集合です。 ${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$${\displaystyle A,}$${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

圏論では、非素和は集合の圏の余積であり、したがって一対一まで定義されます。この文脈では、表記法がよく使用されます。 ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$

2 つの集合と の互いに素な和集合は、中置記法でと表されます。著者によっては、代替記法として または を(対応するまたはとともに) 使用する人もいます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\sqcup B}$${\displaystyle A\uplus B}$${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$

分離和集合を構築する標準的な方法は、を となる順序付きペアの集合として定義し、を となる射影として定義することです。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x,i)}$${\displaystyle x\in A_{i},}$${\displaystyle A_{i}\to A}$${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

集合を考えてみると、関連する集合を形成することによって集合の起源に従って集合の要素をインデックス付けすることが可能です。 ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

ここで、各ペアの 2 番目の要素は、原点セットの添え字と一致します (たとえば、の はの添え字と一致します)。分離した和集合は次のように計算できます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle (5,0)}$${\displaystyle A_{0},}$${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$$${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

正式には、 がでインデックス付けされたセットのインデックス付きファミリであるとします。このファミリの非結合和はセット です 。 非結合和の要素は順序付きペアです。ここで は、要素がどこから来たのかを示す補助インデックスとして機能します。 ${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$${\displaystyle I.}$$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ ${\displaystyle (x,i).}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle x}$

各集合は集合 に正準同型です 。この同型性により、 は非結合和に正準埋め込まれている と考えることができます。集合と は、集合と が非結合であっても、非結合です。 ${\displaystyle A_{i}}$$${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\neq j,}$${\displaystyle A_{i}^{*}}$${\displaystyle A_{j}^{*}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{j}}$

のそれぞれがそれぞれに対してある固定された集合に等しい極端な場合、分離した和集合はとの直積です。 ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

時々、この表記法は 集合族の非結合和、または2 つの集合の非結合和を表すのに使用されます。この表記法は、非結合和の基数が集合族内の項の基数の合計であるという事実を示唆することを目的としています。これを集合族の直積の表記法と比較してください。 $${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$${\displaystyle A+B}$

圏論の言語では、素和は集合の圏における余積です。したがって、関連する普遍的性質を満たします。これはまた、素和が直積構成の圏的双対であることを意味します。詳細については、 余積を参照してください。

多くの目的において、補助インデックスの特定の選択は重要ではなく、表記法 を簡略化して乱用すると、インデックス付きファミリは単にセットのコレクションとして扱うことができます。この場合、は のコピーと呼ばれ、表記法が使用されることもあります。 ${\displaystyle A_{i}^{*}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

圏論では、分離和は集合の圏における 余積として定義されます。

このように、非結合和は同型性まで定義され、上記の定義は、他の定義の中でも、余積の 1 つの実現にすぎません。集合がペアごとに非結合である場合、通常の和は余積の別の実現です。これにより、リードの 2 番目の定義が正当化されます。

分離和のこのカテゴリカルな側面により、余積を表すためにではなく が頻繁に使用される理由が説明されます。 ${\displaystyle \coprod }$${\displaystyle \bigsqcup ,}$

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• ラング、セルジュ（2004）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（訂正第4刷、改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 60、ISBN 978-0-387-95385-4
• ワイスタイン、エリック・W.「バラバラな結合」。マスワールド。