小平－スペンサー地図

数学において、小平邦彦とドナルド・C・スペンサーによって導入された小平-スペンサー写像は、スキームまたは複素多様体Xの変形に関連付けられた写像であり、変形空間の点の接空間をX上のベクトル場の層の第一コホモロジー群に写像する。

意味

歴史的動機

小平・スペンサー写像はもともと複素多様体の設定で構築された。複素解析多様体が与えられた場合 $M$ 図表付き $U_{i}$ 双正則写像 $f_{jk}$ 送信中 $z_{k}\to z_{j}=(z_{j}^{1},\ldots ,z_{j}^{n})$ チャートを貼り合わせることで、変形理論の考え方はこれらの遷移マップを置き換えることです $f_{jk}(z_{k})$ パラメータ化された遷移マップによる $f_{jk}(z_{k},t_{1},\ldots ,t_{k})$ 何らかのベースの上に $B$ （これは実際の多様体である可能性がある）座標を持つ $t_1, ..., t_k$ 、したがって $f_{jk}(z_{k},0,\ldots ,0)=f_{jk}(z_{k})$ これは、パラメータを意味します $t_i$ 元の複素多様体の複雑な構造を変形させる $M$ すると、これらの関数はコサイクル条件も満たさなければならず、これにより 1-コサイクルが得られます。 $M$ 接束に値を持つ。基底は多円盤であると仮定できるため、このプロセスは基底の接空間からへの写像を与える。 $H^{1}(M,T_{M})$ 小平-スペンサー地図と呼ばれる。^{[ 1 ]}

元の定義

より厳密には、小平-スペンサー写像は^[²^]である。

KS:T_{0}B\to H^{1}(M,T_{M})

どこ

$\displaystyle {\mathcal {M}}\to B}$ 複素空間間の滑らかな適切な写像である^[³^] （すなわち、特殊ファイバーの変形） $M={\mathcal {M}}_{0}$ ）
$KS$ は、全射の長い完全コホモロジー列を取ることによって得られる連結準同型である。 $T{\mathcal {M}}|_{M}\to T_{0}B\otimes {\mathcal {O}}_{M}$ その核は接束である $T_{M}$ 。

もし $v$ は $T_{0}B$ するとその画像 $KS(v)$ 小平-スペンサー級と呼ばれる $v$ 。

備考

変形理論は、スキーム理論における変形や環状トポスなど、他の多くの文脈にも拡張されているため、これらの文脈における小平-スペンサー写像の構成法が存在する。

基底体上のスキーム理論において $k$ 特徴 $0$ 同型クラス間には自然な全単射が存在する ${\mathcal {X}}\to S=\operatorname {Spec} (k[t]/t^{2})$ そして $H^{1}(X,TX)$ 。

建設

無限小を用いる

変形に対するコサイクル条件

過剰な特性 $0$ ^{小平-スペンサー写像[ 4 ]}の構成は、コサイクル条件の無限小解釈を用いて行うことができる。複素多様体の場合、 $X$ 有限個のチャートでカバーされる ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ 座標付き $z_{\alpha }=(z_{\alpha }^{1},\ldots ,z_{\alpha }^{n})$ 遷移関数

$f_{\beta \alpha }:U_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}\to U_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}$ どこ $f_{\alpha \beta }(z_{\beta })=z_{\alpha }$

変形は可換図式によって与えられることを思い出してください。

${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} )&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])\end{matrix}}$

どこ $\mathbb {C} [\varepsilon ]$ は双対数の環であり、垂直写像は平坦である。変形はコホモロジー的解釈を持ち、コサイクルとなる。 ${\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )$ の上 $U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])$ どこ

$z_{\alpha }={\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )=f_{\alpha \beta }(z_{\beta })+\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })$

もし ${\tilde {f}}_{\alpha \beta }$ コサイクル条件を満たし、変形に接着する ${\mathfrak {X}}$ これは次のように読むことができます。

${\begin{aligned}{\tilde {f}}_{\alpha \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon )={}&{\tilde {f}}_{\alpha \beta }({\tilde {f}}_{\beta \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon ),\varepsilon )\\={}&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\&+\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\end{aligned}}$

双対数の性質、すなわち $g(a+b\varepsilon )=g(a)+\varepsilon g'(a)b$ 、我々は持っています

${\begin{aligned}f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))&=f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon {\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}(z_{\beta })b_{\beta \gamma }(z_{\gamma })\\\end{aligned}}$

そして

${\begin{aligned}\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })\end{aligned}}$

したがって、コサイクル条件は $U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])$ 以下の2つのルール

$b_{\alpha \gamma }={\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}b_{\beta \gamma }+b_{\alpha \beta }$
$f_{\alpha \gamma }=f_{\alpha \beta }\circ f_{\beta \gamma }$

ベクトル場のコサイクルへの変換

変形のコサイクルは、ベクトル場のコサイクルに容易に変換できる。 $\theta =\{\theta _{\alpha \beta }\}\in C^{1}({\mathcal {U}},T_{X})$ 以下のように：コサイクルが与えられた場合 ${\tilde {f}}_{\alpha \beta }=f_{\alpha \beta }+\varepsilon b_{\alpha \beta }$ ベクトル場を形成できます

$\theta _{\alpha \beta }=\sum _{i=1}^{n}b_{\alpha \beta }^{i}{\frac {\partial }{\partial z_{\alpha }^{i}}}$

これは 1-コチェインです。次に、遷移マップのルールは次のようになります。 $b_{\alpha \gamma }$ この1-コチェーンは1-コサイクルとして扱われるため、クラス $[\theta ]\in H^{1}(X,T_{X})$ 。

ベクトル場を使用する

このマップの元の構成の一つは、微分幾何学と複素解析の枠組みでベクトル場を用いたものでした。^{[ 1 ]}上記の表記法を用いると、変形からコサイクル条件への遷移は次元1の小さな基底上では透明であるため、パラメータは1つだけです。 $t$ すると、コサイクル条件は次のように読み取ることができます。

$f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)=f_{ij}^{\alpha }(f_{kj}^{1}(z_{k},t),\ldots ,f_{kj}^{n}(z_{k},t),t)$

次に、 $f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)$ に関して $t$ 前の式から計算すると次のようになります。

${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

メモしてください $z_{j}^{\beta }=f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)$ そして $z_{i}^{\alpha }=f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)$ すると導関数は次のように表される。

${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

これらの偏微分を係数とする前の正則ベクトル場の部分の座標変換により、次のように書くことができる。

${\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}$

したがって、上記の式はベクトル場の次の式として書き表すことができます。

${\begin{aligned}\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}=&\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}\\&+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}\\\end{aligned}}$

これをベクトル場として書き直す

$\theta _{ik}(t)=\theta _{ij}(t)+\theta _{jk}(t)$

どこ

$\theta _{ij}(t)={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}$

コサイクル条件を与える。したがって $\theta _{ij}$ 関連クラスがあります $[\theta _{ij}]\in H^{1}(M,T_{M})$ 元の変形から ${\tilde {f}}_{ij}$ の $f_{ij}$ 。

スキーム理論において

滑らかな変形^{[ 5 ]}

${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])\end{matrix}}$

コホモロジー的に構成された小平-スペンサー類を持つ。この変形に関連して、短完全系列がある。

$0\to \pi ^{*}\Omega _{{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])}^{1}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\to \Omega _{{\mathfrak {X}}/S}^{1}\to 0$

（どこ ${\displaystyle \pi$ ) テンソルを ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ -モジュール ${\mathcal {O}}_{X}$ 短い正確なシーケンスを与える

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X}^{1}\to 0$

派生カテゴリを使用すると、次の要素が定義されます。

${\begin{aligned}\mathbf {R} {\text{Hom}}(\Omega _{X}^{1},{\mathcal {O}}_{X}[+1])&\cong \mathbf {R} {\text{Hom}}({\mathcal {O}}_{X},T_{X}[+1])\\&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}_{X},T_{X})\\&\cong H^{1}(X,T_{X})\end{aligned}}$

小平・スペンサー写像を一般化する。これは任意の滑らかな写像に一般化できることに注意。 $f:X\to Y$ で ${\text{Sch}}/S$ コタンジェント列を使用して、 $H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))$ 。

環状トポイの

小平-スペンサー地図の最も抽象的な構成の一つは、環状トポスの地図の合成に関連する余接複体から得られる。

$X\xrightarrow {f} Y\to Z$

そして、この構成には際立った三角形が関連付けられている。

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/Z}\to \mathbf {L} _{X/Z}\to \mathbf {L} _{X/Y}\xrightarrow {[+1]}$

そしてこの境界マップは小平-スペンサーマップ^{[ 6 ]}（またはコホモロジークラス、表記は $K(X/Y/Z)$ ) 合成内の 2 つのマップがスキームの滑らかなマップである場合、このクラスは、 $H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))$ 。

例

分析的な細菌とともに

解析的芽を考慮した場合の小平-スペンサー写像は、変形理論における接線コホモロジーとその普遍変形を用いて容易に計算できる。^{[ 7 ]}例えば、多項式の芽が与えられた場合 $f(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}=H$ 変形空間はモジュールによって与えられる

$T^{1}={\frac {H}{df\cdot H^{n}}}$

例えば、 $f=y^{2}-x^{3}$ すると、その普遍的な変形は次のように与えられる。

$T^{1}={\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y,x^{2})}}$

したがって、任意の変形は次のように与えられる。 $F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x$ 。次に、ベクトルについて $v\in T_{0}(\mathbb {C} ^{2})$ 基礎となる

${\frac {\partial }{\partial a_{1}}},{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}$

そこに地図がある $KS:v\mapsto v(F)$ 送信中

${\begin{aligned}\phi _{1}{\frac {\partial }{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}\mapsto &\phi _{1}{\frac {\partial F}{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial F}{\partial a_{2}}}\\&=\phi _{1}+\phi _{2}\cdot x\end{aligned}}$

コタンジェント複体を持つアフィン超曲面について

アフィン超曲面の場合 $i:X_{0}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{n}\to {\text{Spec}}(k)$ 野原を越えて $k$ 多項式で定義される $f$ 関連する基本三角形があります

$i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\xrightarrow {[+1]}$

次に、適用します $\mathbf {RHom} (-,{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ 長い正確なシーケンスを与える

${\begin{aligned}&{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\leftarrow &{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\end{aligned}}$

同型写像が存在することを思い出してください。

${\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$

導来圏の一般理論から、ext群は1階変形を分類する。次に、一連の還元を通して、この群を計算することができる。まず、 $\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\cong \Omega _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{1}$ 無料モジュールです。 ${\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])=0$ また、 $\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\cong {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1]$ 同型写像が存在する

${\begin{aligned}{\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1],{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Ext}}^{0}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Hom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\mathcal {O}}_{X_{0}}\end{aligned}}$

最後の同型写像は同型写像から来ています ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\cong {\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}}$ 、そして

${\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X_{0}}}({\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ 送信 $[gf]\mapsto g'g+(f)$

目的の同型写像を与える。余接列から

${\frac {(f)}{(f)^{2}}}\xrightarrow {[g]\mapsto dg\otimes 1} \Omega _{\mathbb {A} ^{n}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X_{0}}\to \Omega _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}^{1}\to 0$

（基本三角形の切り詰められたバージョンである）長完全数列の接続マップは、 $[g]\mapsto dg\otimes 1$ 同型写像を与える

${\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong {\frac {k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{\left(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}}$

この計算は、余接数列を使用して計算することで実行できます。 ${\text{Ext}}^{1}(\Omega _{X_{0}}^{1},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ ^{[ 8 ]}次に、小平-スペンサー写像は変形を送る。

${\frac {k[\varepsilon ][x_{1},\ldots ,x_{n}]}{f+\varepsilon g}}$

要素へ $g\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ 。

参考文献

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↑ Huybrechts 2005、6.2.6 。
↑複素多様体と複素空間の主な違いは、後者には冪零性が許容される点です。
↑アルバレロ;コルナルバ;グリフィス(2011)。代数曲線の幾何学 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。スプリンガー。172 ～ 174ページ。ISBN 9783540426882。
↑ Sernesi. 「古典的変形理論の概要」（PDF）。2020年4月27日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。
↑ Illusie, L. Complexe cotangent ; application a la theorie des deformations (PDF) . 2020年11月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2020年4月27日に取得。
↑パラモドフ (1990). 「複素空間の変形」.多変数複素数 IV . 数学科学百科事典. 第 10 巻. 138, 130頁. doi : 10.1007/978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6。
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ハイブレヒト、ダニエル(2005)。複雑な幾何学: 入門。スプリンガー。ISBN 3-540-21290-6。
小平邦彦(1986)、複雑多様体と複雑構造の変形、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数理科学の基礎]、vol. 283、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-96188-0MR 0815922
Mathoverflow の投稿で、変形とヤコビアン環の関係について説明しています。

[:0-1] 1 2小平（2005）.複素多様体と複素構造の変形. 数学古典シリーズ. pp. 182–184 , 188–189 . doi : 10.1007/b138372 . ISBN 978-3-540-22614-7。

[2] Huybrechts 2005、6.2.6 。

[3] 複素多様体と複素空間の主な違いは、後者には冪零性が許容される点です。

[4] アルバレロ;コルナルバ;グリフィス(2011)。代数曲線の幾何学 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。スプリンガー。172 ～ 174ページ。ISBN 9783540426882。

[5] Sernesi. 「古典的変形理論の概要」（PDF）。2020年4月27日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。

[6] Illusie, L. Complexe cotangent ; application a la theorie des deformations (PDF) . 2020年11月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2020年4月27日に取得。

[7] パラモドフ (1990). 「複素空間の変形」.多変数複素数 IV . 数学科学百科事典. 第 10 巻. 138, 130頁. doi : 10.1007/978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6。

[8] Talpo, Mattia; Vistoli, Angelo (2011-01-30). "ファイバー圏の観点からの変形理論". pp. 25、演習 3.25. arXiv : 1006.0497 [ math.AG ].

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小平-スペンサー写像[ 4 ]

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