トルソル（代数幾何学）

代数幾何学において、トルソルまたは主バンドルは、代数位相幾何学における主バンドルの類似物である。ザリスキ位相には開集合がほとんどないため、エタール位相または他の平坦位相におけるトルソルを考慮することがより一般的である。この概念は、抽象代数のガロア拡大を一般化するものである。トルソルの他の概念は、より一般的なコンテキスト（たとえば、スタック上）で知られているが、この記事では、トルソルが考え出された元の設定であるスキーム上のトルソルに焦点を当てる。トルソルという言葉は、フランス語のtorseurに由来する。それらは、たとえばミシェル・ドゥマズールとピエール・ガブリエルの有名な著書Groupes algébriques, Tome Iで広く議論されている。^[1]

をグロタンディーク位相、スキーム とする。さらにを上の群スキーム、上の-トルソー (または主-バンドル)を とする。位相(または文脈から位相が明らかな場合は単に-トルソー) はスキームのデータであり、 上の-不変 (右)作用を持つ射は において局所的に自明である。つまり、上の基底変換が自明なトルソーに同型であるような被覆が存在する^[2]${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f:P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle U_{i}\times _{X}P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U_{i}\times G\to U_{i}}$

エタール位相(resp. fpqcなど)が、エタール位相のトルソルの代わりにエタール-トルソル(resp. fpqc-トルソルなど) である場合もあります。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

ザリスキ位相とは異なり、多くのグロタンディーク位相では、トルサーがそれ自体被覆になることがあります。これは、fpqc 位相、 fppf位相、エタール位相(およびそれほど有名ではない多くの位相)などの最も一般的なグロタンディーク位相の一部で発生します。したがって、 をそれらの位相 (エタール、fpqc、fppf) のいずれかとします。を 上のスキームとグループスキームとします。この とき、 が -トルサーであるためには、上が上の自明なトルサーに同型である必要があります。この場合、トルサーが自明化するとよく言われます (トルサーを 上に戻したときに自明なトルサーになるため)。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\times _{X}P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P\times G}$${\displaystyle P}$

与えられたスキーム上で、上のベクトル束(つまり、局所自由層) と-トルソーの間には一対一の関係があり、ここでは のランクです。 -トルソーの構造を持つ局所同型の (表現可能な) 層を取ることができます。 であることは簡単に証明できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {GL}_{n}}$${\displaystyle n=rk(V)\in \mathbb {N} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Isom(V,{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})}$${\displaystyle Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})\simeq GL_{n,X}}$

-torsorが自明な torsor と同型なのは、が空でない場合、つまり、射が少なくとも 1 つのセクション を許容する場合のみです。実際、セクション が存在する場合、 は同型です。一方、 が自明な -torsor と同型な場合、 であり、恒等要素によって 必要なセクション が得られます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle f:P\to X}$${\displaystyle P(X)=\operatorname {Mor} (X,P)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s:X\to P}$${\displaystyle s:X\to P}$${\displaystyle X\times G\to P,(x,g)\mapsto s(x)g}$${\displaystyle f:P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\simeq X\times G}$${\displaystyle 1_{G}\in G}$${\displaystyle s=id_{X}\times 1_{G}}$

• が有限ガロア拡大である場合、 は-トルソーです(大まかに言うと、ガロア群は根に対して単純に推移的に作用するためです)。表記法の乱用により、抽象群 に関連付けられた上の有限定数群スキームによって依然として表記されています。この事実は、ガロア降下の基礎となります。一般化については、積分拡大を参照してください。${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} L\to \operatorname {Spec} K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$
• が体上のアーベル多様体である場合、 による乗算は、有限群スキームの作用下での fpqc 位相のトルサーです。 これは、たとえば が楕円曲線である場合に発生します。${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n_{X}:X\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ker(n_{X})}$${\displaystyle X}$
• アーベル トルソー、アーベル多様体である -トルソー。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

をエタール位相の -トルサーとし、を定義のようにを自明化する被覆とします。自明なトルサーはセクションを許容します。したがって、元 が存在します。そのようなセクション を固定すると、を用いて 上で一意に と書くことができます。 の異なる選択は、コホモロジーにおける 1-コ境界に相当します。つまり、 は層コホモロジー（より正確には、層係数を持つチェフコホモロジー）群におけるコホモロジー類を定義します。^[3]自明なトルサーは単位元に対応します。逆に、 の任意の類が上で -トルサーを定義し、一意な同型を除いて一意であることが容易にわかります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{i}\in P(U_{i})}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}g_{ij}=s_{j}}$${\displaystyle U_{ij}}$${\displaystyle g_{ij}\in G(U_{ij})}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle H^{1}(X,G)}$${\displaystyle H^{1}(X,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

この文脈では、トルソルはfpqc 位相でとられる必要がある。をデデキント スキーム (たとえば、体のスペクトル) と、局所的に有限型の忠実に平坦な射 とするとします。には のセクション があると仮定します。の普遍トルソルと呼ばれる、 の原有限で平坦な-トルソルが存在し、そのセクションがであり、任意の有限-トルソルがセクションを持つ場合、を に送るトルソルの一意の射が存在するとき、 は基本群スキームを持つといいます。Alexander Grothendieckによって予想されたその存在は、体のスペクトルに対してMadhav V. Nori ^{[4] [5] [6]}によって証明され、 が次元 1 のデデキント スキームであるとき、 Marco Antei、Michel Emsalem および Carlo Gasbarriによって証明されています。 ^{[7] [8]}${\displaystyle S}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X(S)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

縮約積は、与えられたトルサーから新しいトルサーを構築できるようにする操作であり、プッシュ フォワードとも呼ばれる特定の手順でその構造を膨張または収縮させます。構築はより広い一般性で提示できますが、ここでは次のより簡単で非常に一般的な状況のみを示します。右-トルサーとグループ スキーム モルフィズムが与えられます。次に、左乗算を介してに左に作用します。2 つの要素と が同値であるとは、 となるようなが存在する場合をいいます。軌道の空間は、を介したの縮約積と呼ばれます。要素は と表されます。縮約積はスキームであり、作用 が提供されると右 -トルサーの構造を持ちます。もちろん、すべての操作は関数的に意図される必要があり、理論的に設定されるべきではありません。縮約積という名前はフランス語のproduit contractéに由来し、代数幾何学では位相的等価な push forward よりも好まれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle f:P\to X}$${\displaystyle u:G\to M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g\star m:=u(g)m}$${\displaystyle (p,m)\in P\times M}$${\displaystyle (p',m')\in P\times M}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle (pg^{-1},g\star m)=(p',m')}$${\displaystyle P\times ^{G}M:={\frac {P\times M}{G}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle u:G\to M}$${\displaystyle p\wedge m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (p\wedge m)*m':=p\wedge (mm')}$

および をそれぞれ、あるグロタンディーク位相における(右) -トルソルと (右) -トルソルとします。ここで、および は-群スキームです。からへの (トルソルの) 射は、が-射であり が群スキーム射である射のペアであり、 および はそれぞれへの の作用と への の作用です。 ${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle h:T\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a:Y\to T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b:G\to H}$${\displaystyle \sigma _{H}\circ (a\times b)=a\circ \sigma _{G}}$${\displaystyle \sigma _{G}}$${\displaystyle \sigma _{H}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$

このようにして、 は縮約された積 と同型であることが証明できます。 射が閉じた浸漬である場合、 はのサブトーサーであると言われます。 また、位相幾何学の言語を継承して、は からへの構造群スキームの縮小を許容すると言うこともできます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle Y\times ^{G}H}$${\displaystyle b:G\to H}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

ウラジミール・ドリンフェルドとカルロス・シンプソンによる重要な結果は次の通りである。を代数的に閉じた体 上の滑らかな射影曲線、半単純で分割された単連結な代数群（群スキーム）、および上の -トルソー （有限生成 -代数）とする。 このとき、の構造群スキームを のボレル部分群スキームに還元できるようなエタール射影が存在する。^{[9] [10]}${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X_{R}=X\times _{\operatorname {Spec} k}\operatorname {Spec} R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R\to R'}$${\displaystyle P\times _{X_{R}}X_{R'}}$${\displaystyle G}$

• トルソルは、グループ スキームだけでなく、より一般的にはグループ層(たとえば、fppf グループ層)に対しても考慮されるのが一般的です。
• 固定された基底上のトルソルのカテゴリはスタックを形成します。逆に、プレスタックはトルソルのカテゴリ（プレスタック上）を取ることでスタック化できます。
• が有限体上の連結代数群である場合、上の任意の -torsor は自明です。(ラングの定理)${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$

P が連結ファイバーを持つ滑らかなアフィン群スキームGの放物型部分群である場合、 で表されるその不安定度は、X上のベクトル束としてのリー代数の次数です。 Gの不安定度は です。 Gが代数群でE がG -torsorである場合、 Eの不安定度は、E (これはX上の群スキームです)によって誘導されるGの内部形式の次数です。つまり、 です。Eが のとき半安定であるとされ、のとき安定であるとされます。 ${\displaystyle \deg _{i}(P)}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (P)}$${\displaystyle \deg _{i}(G)=\max\{\deg _{i}(P)\mid P\subset G{\text{ parabolic subgroups}}\}}$ ${\displaystyle {}^{E}G=\operatorname {Aut} _{G}(E)}$${\displaystyle \deg _{i}(E)=\deg _{i}({}^{E}G)}$${\displaystyle \deg _{i}(E)\leq 0}$${\displaystyle \deg _{i}(E)<0}$

ジョン・バエズによれば、エネルギー、電圧、位置、量子力学的波動関数の位相はすべて日常物理学におけるトルソルの例である。それぞれの場合において、相対的な比較しか測定できず、絶対値を意味のあるものにするには参照点を任意に選択する必要がある。しかし、相対エネルギー、電圧差、変位、位相差の比較値はトルソルではなく、実数、ベクトル、角度などのより単純な構造で表すことができる。^[11]

基礎微積分では、不定積分がトルソルの例として挙げられている。^[11]

• ボーヴィル・ラズロの定理
• 主バンドルのモジュライスタック
• コックスリング

• Behrend, K. 主束のモジュライスタックの Lefschetz トレース公式。博士論文。
• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006)。「代数スタック」。2008-05-05 にオリジナルからアーカイブ。
• ミルン、ジェームズ S. (1980)。エタールコホモロジー。プリンストン数学シリーズ。第 33 巻。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08238-7. MR  0559531。

• Brian Conrad、[http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cosetfinite.pdf 関数体上の代数群の有限性定理]