退化（代数幾何学）

代数幾何学において、退化（または特殊化）とは、多様体の族の極限をとる行為である。正確には、射

${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to C,}$

原点0の曲線C （例えばアフィン線分や射影直線）に多様体（またはスキーム）を当てはめると、繊維は

${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$

はC上の多様体の族を形成します。このとき、ファイバーはの極限として考えることができます。このとき、族は特殊ファイバーに退化すると言えます。 が平坦射である場合、極限過程は適切に動作し、その場合、退化は平坦退化と呼ばれます。多くの著者は退化が平坦であると仮定しています。 ${\displaystyle \pi^{-1}(0)}$${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$${\displaystyle t\to 0}$${\displaystyle \pi^{-1}(t),t\neq 0}$ ${\displaystyle \pi^{-1}(0)}$${\displaystyle \pi}$

族が特殊ファイバーから離れて自明である場合、つまり（コヒーレントな）同型まで独立である場合、それは一般ファイバーと呼ばれます。 ${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$${\displaystyle t\neq 0}$${\displaystyle \pi^{-1}(t),t\neq 0}$

曲線のモジュライの研究では、モジュライの境界を理解することが重要な点であり、それは曲線の退化を理解することに等しい。

被支配性は特化する。正確には、マツサカの定理は言う。

X を離散値環上の通常の既約射影スキームとします。ジェネリック ファイバーがルール化されている場合、特殊ファイバーの各既約成分もルール化されます。

D = k [ ε ] を体k上の双対数環とし、Y をk上の有限型のスキームとする。 Yの閉部分スキームX が与えられた場合、定義により、Xの埋め込まれた1次微小変形はY × _{Spec( k )} Spec( D )の閉部分スキームX 'であり、射影X ' → Spec  D は平坦であり、 X を特殊ファイバーとして 持つ。

Y = Spec AおよびX = Spec( A / I ) がアフィンである場合、埋め込まれた無限小変形はA [ ε ]のイデアルI 'に相当し、 A [ ε ]/ I 'はD上で平坦であり、 A = A [ ε ]/ εにおけるI 'の像はIです。

一般に、尖ったスキーム ( S , 0) とスキームXが与えられたとき、スキームπ : X ' → Sの射は、それが平坦であり、 Sの特定の点 0 上のそのファイバーがXである場合に、スキームXの変形と呼ばれます。したがって、上記の概念は、 S = Spec Dであり、埋め込みの選択肢がある 場合の特別なケースです。

• 変形理論
• 微分次数リー代数
• 小平・スペンサー地図
• フロベニウス分割
• 相対有効カルティエ除数

• M. アルティン、特異点の変形に関する講義 – タタ基礎研究所、1976 年
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• E. セルネシ:代数スキームの変形
• M. グロス、M. シーバート、トーリック変性症への招待
• M. Kontsevich、Y. Soibelman: アフィン構造と非アルキメデス解析空間、The unity of mathematical (P. Etingof、V. Retakh、IM Singer 編)、321–385、Progr. Math. 244、Birkh ̈auser 2006。
• Karen E Smith、「素特性局所代数による消失、特異点、有効境界」
• V. Alexeev, Ch. Birkenhake, K. Hulek, Prym多様体の退化, J. Reine Angew. Math. 553 (2002), 73–116.

• http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations