アフィン空間

数学において、アフィン空間は、ユークリッド 空間のいくつかの特性を、距離や角度の概念から独立し、平行線分の平行性と長さの比に関連する特性のみを保持するように一般化した幾何学的構造です。アフィン空間は、アフィン幾何学の舞台です。

ユークリッド空間と同様に、アフィン空間の基本オブジェクトは点と呼ばれ、空間内のサイズや形状を持たない位置、つまり 0次元であると考えられます。任意の 2 つの点を介して、1 次元の点の集合である無限直線を描くことができます。また、同一線上にない任意の 3 点を介して、2 次元平面を描くことができます。さらに、一般に、一般的な位置にあるk  + 1個の点を介して、k次元の平面またはアフィン部分空間を描くことができます。アフィン空間は、同じ平面内にあるが互いに交わることのない 2 つの平行線の概念によって特徴付けられます (同じ平面内の非平行線は1 つの点で交差します)。任意の線が与えられた場合、その線に平行な線は空間内の任意の点を介して描くことができ、平行線の同値類は方向を共有すると言われます。

ベクトル空間のベクトルとは異なり、アフィン空間には原点となる特定の点はありません。点を加算または乗算したり、点にスカラー数を乗算したりするという定義済みの概念はありません。ただし、任意のアフィン空間について、開始点と終了点の差から関連するベクトル空間を構築できます。これは、自由ベクトル、変位ベクトル、移動ベクトル、または単に移動と呼ばれます。^[1]同様に、変位ベクトルをアフィン空間の点に追加して、そのベクトルによって開始点から移動された新しい点を生成することは理にかなっています。点は任意に追加することはできませんが、点のアフィン組み合わせ、つまり数値係数を持つ重み付き合計が 1 になり、別の点が生成されることは意味があります。これらの係数は、点を通る平面の 重心座標系を定義します。

任意のベクトル空間は、アフィン空間として見ることができます。これは、ゼロベクトルが果たす特別な役割を「忘れる」ことに相当します。この場合、ベクトル空間の要素は、アフィン空間の点、または変位ベクトルまたは並進として見ることができます。点として考えた場合、ゼロベクトルは原点と呼ばれます。ベクトル空間の線形部分空間(ベクトル部分空間)の要素に固定ベクトルを追加すると、ベクトル空間のアフィン部分空間が生成されます。このアフィン部分空間は、線形部分空間を並進ベクトル (線形空間のすべての要素に追加されるベクトル) で (原点から離れて) 移動することによって取得されたとよく言われます。有限次元では、このようなアフィン部分空間は、非同次線形システムの解集合です。そのアフィン空間の変位ベクトルは、対応する同次線形システム (線形部分空間) の解です。対照的に、線形部分空間には、ベクトル空間の原点が常に含まれます。

アフィン空間の次元は、その変換のベクトル空間の次元として定義されます。次元1 のアフィン空間はアフィン直線です。次元2 のアフィン空間はアフィン平面です。アフィン空間または次元nのベクトル空間内の次元n – 1のアフィン部分空間はアフィン超平面です。

通常の正式な定義よりも、次の特徴付けの方が理解しやすいかもしれません。アフィン空間とは、ベクトル空間のどの点が原点であるかを忘れた後に残るものです（フランスの数学者マルセル・ベルジェの言葉を借りれば、「アフィン空間とは、線形写像に平行移動を加えることによって、原点を忘れようとするベクトル空間に他なりません」 ^[2]）。アリスはある点が実際の原点であることを知っているが、ボブは別の点（これをpと呼ぶ）が原点だと考えているとします。2 つのベクトルaとbを加算します。ボブは点pから点aへの矢印と点pから点bへの矢印を描き、ボブがa + bだと考えているものを見つけるために平行四辺形を完成させますが、アリスは実際に計算した

p + ( a − p ) + ( b − p )です。

同様に、アリスとボブは、 aとbの線形結合、または任意の有限ベクトル集合を評価し、通常は異なる答えを得ます。ただし、線形結合の係数の合計が 1 の場合、アリスとボブは同じ答えを得ます。

アリスが旅行する場合

λa + (1 − λ) b である。

ボブも同様に旅行できる

p + λ( a − p ) + (1 − λ)( b − p ) = λ a + (1 − λ) b。

この条件下では、すべての係数λ + (1 − λ) = 1に対して、アリスとボブは異なる原点を使用しているにもかかわらず、同じ線形結合で同じ点を表します。

アリスだけが「線形構造」を知っていますが、アリスとボブの両方が「アフィン構造」 、つまり係数の合計が 1 になる線形結合として定義されるアフィン結合の値を知っています。アフィン構造を持つ集合はアフィン空間です。

アフィン空間は、ユークリッドの『原論』で暗示されているユークリッド空間の定義と同様に公理的に定義できますが (以下の § 公理を参照)、便宜上、ほとんどの現代の資料では、よく発達したベクトル空間理論に基づいてアフィン空間を定義しています。

アフィン空間は、集合Aとベクトル空間 、および集合Aへの加法群の推移的かつ自由な作用を組み合わせたものである。^{[3]アフィン空間}Aの要素は点と呼ばれる。ベクトル空間はアフィン空間に関連付けられていると言われ、その要素はベクトル、変換、または自由ベクトルと呼ばれることもある。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

明示的には、上記の定義は、アクションがマッピングであり、一般的には加算として表されることを意味します。

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}}$

次のような性質を持つ。^{[4] [5] [6]}

1. 正しいID :

   ${\displaystyle \forall a\in A,\;a+0=a}$、ここで0は零ベクトルである。${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

2. 結合性:

   ${\displaystyle \forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)}$（ここで最後の+は加算です）${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

3. 自由行為と推移行為：

   任意の に対して、マッピングは全単射です。${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v}$

最初の 2 つの特性は、単に (右) グループ動作の定義特性です。3 番目の特性は、自由動作と推移動作を特徴づけます。推移性からオントロジー特性が生まれ、動作が自由であることからインジェクティブ特性が生まれます。上記の 1、2 から 4 番目の特性が生まれます。

4. 一対一翻訳の存在

すべての に対して、マッピングは全単射です。${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle A\to A\colon a\mapsto a+v}$

プロパティ 3 は、次の同等の形式 (5 番目のプロパティ) で使用されることが多いです。

5. 減算:

Aの任意のa、bに対して、を満たす唯一の（ b – aと表記）が存在します。${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle b=a+v}$

定義を別の方法で表現すると、アフィン空間はベクトル空間の加法群の作用に対する主同次空間です。同次空間は定義により推移的な群作用を備えており、主同次空間の場合、そのような推移的な作用は定義により自由です。

群作用の性質により、 A内の任意の点の順序付きペア( b , a )に対する減算の定義が可能になり、ベクトル が生成されます。このベクトルはまたは と表記され、 における唯一のベクトルとして定義され、 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle b-a}$${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle a+(b-a)=b.}$

存在は行為の推移性から生じ、一意性は行為が自由であるために生じます。

この減算にはワイルの公理と呼ばれる次の2つの性質がある: ^[7]

1. ${\displaystyle \forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}}$、次のような唯一の点が存在する。${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle b-a=v.}$
2. ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.}$

平行四辺形の性質はアフィン空間で満たされ、次のように表現される。4つの点が与えられたとき、等式と等号は同値である。これは、ワイルの第二公理から導かれる。${\displaystyle a,b,c,d,}$${\displaystyle b-a=d-c}$${\displaystyle c-a=d-b}$${\displaystyle d-a=(d-b)+(b-a)=(d-c)+(c-a).}$

アフィン空間は、点集合A、ベクトル空間、およびワイルの公理を満たす減算として同値に定義できます。この場合、点へのベクトルの加算は、ワイルの公理の最初のものから定義されます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

アフィン空間Aのアフィン部分空間(文脈によっては、線型多様体、平坦、または実数上の線型多様体とも呼ばれる) Bは、点 が与えられたときにベクトルの集合がの線型部分空間となるようなAの部分集合です。この特性はaの選択には依存せず、 Bがアフィン空間であり、その関連するベクトル空間が であることを意味します。${\displaystyle a\in B}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

Aのアフィン部分空間は、Aの次の形の 部分集合である。

${\displaystyle a+V=\{a+w:w\in V\},}$

ここで、a はAの点、V はの線形部分空間です。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

アフィン部分空間に関連付けられた線型部分空間は、しばしばその方向 であり、同じ方向を共有する 2 つの部分空間は平行。

これは、プレイフェアの公理の次の一般化を意味します。方向Vが与えられた場合、 Aの任意の点aに対して、 aを通過する方向Vのアフィン部分空間、つまり部分空間a + Vが 1 つだけ存在します。

すべての変換は、任意のアフィン部分空間を平行部分空間にマッピングします。 ${\displaystyle A\to A:a\mapsto a+v}$

平行という用語は、一方の方向が他方の方向に含まれるような 2 つのアフィン部分空間にも使用されます。

2つのアフィン空間AとBがあり、その関連するベクトル空間がとであるとすると、AからBへのアフィン写像またはアフィン準同型写像は写像である。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

${\displaystyle f:A\to B}$

そのような

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}}$

は明確に定義された線型写像です。明確に定義されているとは、 b – a = d – cであればf ( b ) – f ( a ) = f ( d ) – f ( c )となることを意味します 。 ${\displaystyle f}$

これは、点とベクトルに対して、 ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).}$

したがって、 A内の任意のbに対して、唯一のvに対してb = a + v となるため、f は単一の点上の値と関連する線型写像によって完全に定義されます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$

アフィン変換またはアフィン空間の自己準同型写像は、その空間からその空間自体へのアフィン写像です。重要な例の 1 つは、変換です。ベクトル が与えられたとき、 の任意のに対してを変換する変換写像は、アフィン写像です。もう 1 つの重要な例の 1つは、原点を中心とする線型写像です。点と線型写像が与えられたとき、の 任意の に対して による アフィン写像を定義できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$${\displaystyle T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A}$${\displaystyle a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L_{M,b}:A\rightarrow A}$$${\displaystyle L_{M,b}(a)=b+M(a-b)}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

原点を選択した後、任意のアフィン写像は、 を中心とする平行移動と線型写像の組み合わせとして一意に表すことができます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

あらゆるベクトル空間Vは、それ自身のアフィン空間とみなすことができます。つまり、Vのあらゆる要素は、点としてもベクトルとしてもみなすことができます。このアフィン空間は、Vの要素の二重の役割を強調するために、( V , V )と表記されることがあります。点としてみなされる場合、ゼロベクトルは一般にo (または、点を表すために大文字が使用される場合はO ) と表記され、原点と呼ばれます。

A が同じベクトル空間上の別のアフィン空間 (つまり ) である場合、A内の任意の点a を選択すると、一意のアフィン同型が定義されます。これはVの恒等写像であり、a をoに写します。言い換えると、A内の原点aを選択すると、標準同型までAと( V , V )を同一視できます。この特性に対応するのは、アフィン空間A が「原点の場所が忘れられている」 ベクトル空間Vと同一視されることです。${\displaystyle V={\overrightarrow {A}}}$

ユークリッド空間（初等幾何学で一般的に研究される 1 次元の直線、2 次元の平面、3 次元の空間、および高次元の類似物を含む）はアフィン空間です。

実際、ほとんどの現代的な定義では、ユークリッド空間はアフィン空間として定義され、関連するベクトル空間は有限次元の実内積空間、つまり正定値2次形式 q ( x )を持つ実数上のベクトル空間です。2つのベクトルxとyの内積は、対称双線型形式の値です。

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).}$

2点AとBの間の通常のユークリッド距離は

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.}$

合成幾何学によるユークリッド空間の古い定義では、ベクトルは、同値性の下での点の順序付き対の同値類として定義されます（点A 、 B 、 D 、 C が（この順序で）平行四辺形を形成する場合、対（A、B）と（C 、D）は同値です）。ベクトルがベクトル空間を形成し、ユークリッド距離の2乗がベクトル空間上の2次形式であり、ユークリッド空間の2つの定義が同値であることは簡単に検証できます。

ユークリッド幾何学において、「アフィン特性」という一般的な語句は、アフィン空間で証明できる特性、つまり、二次形式とその関連する内積を使用せずに証明できる特性を指します。言い換えれば、アフィン特性は長さと角度を含まない特性です。典型的な例としては、平行性、接線の定義などがあります。例に当てはまらないのは、法線の定義です。

同様に、アフィン特性は、ユークリッド空間の アフィン変換に対して不変である特性です。

a ₁ , ..., a _{n を}アフィン空間内のn点の集合とし、基底体のn要素とする。 ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

と仮定する。任意の2点oとo'に対して、 ${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.}$

したがって、この和は原点の選択とは無関係であり、結果として得られるベクトルは次のように表される。

${\displaystyle \lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

のとき、ポイントの減算の定義を取得します。 ${\displaystyle n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1}$

今度は、体の要素が を満たすと仮定します。原点oの何らかの選択に対して、 を唯一の点 として表し、${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.}$

はoの選択とは無関係であることを示すことができる。したがって、 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,}$

書くこともできる

${\displaystyle g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

点は、重み に対するの重心と呼ばれます。 は、係数 を持つのアフィン結合であるとも言えます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

• 子どもたちが数直線上で右または左に数えて4 + 3や4 − 2などの合計の答えを見つけるとき、彼らは数直線を 1 次元のアフィン空間として扱っています。
• 時間は、1 次元のアフィン空間としてモデル化できます。特定の時点 (カレンダーの日付など) はアフィン空間内の点であり、期間 (日数など) は変位です。
• エネルギー空間は のアフィン空間です。絶対エネルギーについて話すことは意味がないことが多いですが、エネルギーの差について話すことは意味があります。真空エネルギーは定義されると、標準的な原点を選択します。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 物理空間は、非相対論的設定では のアフィン空間として、相対論的設定では のアフィン空間としてモデル化されることが多い。ベクトル空間と区別するために、これらはユークリッド空間や と呼ばれることもある。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle {\text{E}}(3)}$${\displaystyle {\text{E}}(1,3)}$
• ベクトル空間の部分空間Vの任意の剰余類は、その部分空間上のアフィン空間です。
• 特に、平面上の原点を通らない直線は、それが継承する演算に関してベクトル空間ではないアフィン空間であるが、原点に最も近い点を零ベクトルとして選ぶことで、標準的なベクトル空間構造を与えることができる。高次元および任意のノルムベクトル空間でも同様である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Tが行列で、b がその列空間にある場合、方程式T x = bの解の集合は、T x = 0の解の部分空間上のアフィン空間です。
• 非同次線型微分方程式の解は、対応する同次線型方程式の解の上にアフィン空間を形成します。
• 上記すべてを一般化すると、T  : V → Wが線型写像でy がその像内にある場合、方程式T x = yの解の集合x ∈ VはT の核の剰余類であり、したがってKer  T上のアフィン空間になります。 
• ベクトル空間W内のベクトル部分空間Vの (線型)補部分空間の空間は、Hom( W / V , V )上のアフィン空間です。つまり、0 → V → W → X → 0がベクトル空間の短完全列である場合、完全列のすべての分割空間は自然にHom( X , V )上のアフィン空間の構造を持ちます。
• 接続の空間（ベクトルバンドル から見て、 は滑らかな多様体）は、値1 形式のベクトル空間 のアフィン空間です。接続の空間（主バンドルから見て）は、値 1 形式のベクトル空間 のアフィン空間です。 は関連する随伴バンドルです。${\displaystyle E\xrightarrow {\pi } M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{End}}(E)}$ ${\displaystyle P\xrightarrow {\pi } M}$${\displaystyle {\text{ad}}(P)}$${\displaystyle {\text{ad}}(P)}$

アフィン空間Aの任意の空でない部分集合Xに対して、それを含む最小のアフィン部分空間が存在し、これをXのアフィンスパンと呼びます。これはX を含むすべてのアフィン部分空間の交差であり、その方向はX を含むアフィン部分空間の方向の交差です。

Xのアフィン範囲は、Xの点のすべての（有限の）アフィン組み合わせの集合であり、その方向は、Xのxとyに対するx − yの線形範囲です。特定の点x _{0を選択した場合、} Xのアフィン範囲の方向は、Xのxに対するx – x ₀の線形範囲でもあります。

また、 Xのアフィン スパンはXによって生成され、Xはそのアフィン スパンの生成集合であるとも言えます。

アフィン空間の点の集合Xは、アフィン独立、または単に独立とは、 Xの厳密な部分集合のアフィン範囲がXのアフィン範囲の厳密な部分集合である。アフィン空間のアフィン基底または重心フレーム（下記の § 重心座標を参照）は、独立でもある生成集合（つまり、最小生成集合）です。

アフィン空間の次元は、それに関連付けられたベクトル空間の次元であることを思い出してください。有限次元nのアフィン空間の基底は、 n + 1個の要素の独立部分集合、または、同値として、 n + 1個の要素の生成部分集合です。同様に、{ x ₀ , ..., x _n } がアフィン空間のアフィン基底となるのは、 { x ₁ − x ₀ , ..., x _n − x ₀ } が関連付けられたベクトル空間の 線形基底である場合のみです。

アフィン空間上で定義できる、 密接に関連した 2 種類の座標系があります。

A を体k上のn次元のアフィン空間とし、をAのアフィン基底とする。アフィン基底の性質は、Aの任意のxに対して、 kの唯一の( n + 1) -組の元が存在し、 ${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$

${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

そして

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

は、アフィン基底上のxの重心座標と呼ばれます。x _{i を}重さ (または質量) を持つ物体と見なすと、点x はx _iの重心となり、これが重心座標という用語の由来です。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

重心座標は、アフィン空間Aと、式によって定義されるk ^{n + 1}のアフィン部分空間との間のアフィン同型を定義します。 ${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

無限次元のアフィン空間の場合、有限の合計のみを使用して同じ定義が適用されます。つまり、各点について、有限個の座標のみがゼロ以外になります。

アフィンフレームは、アフィン空間の座標フレームであり、原点と呼ばれる点と、関連するベクトル空間の線型基底で構成されます。より正確には、関連するベクトル空間を持つアフィン空間Aの場合、原点oはAに属し、線型基底は の基底( v ₁、...、v _n )です(表記を簡単にするために、有限次元の場合のみを考慮しますが、一般的な場合も同様です)。 ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

Aの各点pに対して、基底場の要素の 一意の列が存在し、${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

または同等

${\displaystyle {\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.}$

これらは_、アフィンフレーム( o、v1、...、_vn )上のpのアフィン座標と呼ばれます。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$

例:ユークリッド幾何学では、直交座標は正規直交フレームに対するアフィン座標です。正規直交フレームとは、 ( v ₁ , ..., v _n )が正規直交基底となるアフィンフレーム( o , v ₁ , ..., v _n )のことです。

重心座標とアフィン座標は密接に関連しており、同等と見なすことができます。

実際、重心フレームを考えると

${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n}),}$

アフィンフレームはすぐに導き出される

${\displaystyle (x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),}$

そして、もし

${\displaystyle \left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

が重心座標系上の点の重心座標である場合、アフィン座標系上の同じ点のアフィン座標は

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

逆に、

${\displaystyle \left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)}$

はアフィンフレームなので、

${\displaystyle \left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)}$

は重心フレームです。

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

がアフィン座標系上の点のアフィン座標である場合、その重心座標系上の重心座標は

${\displaystyle \left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

したがって、重心座標とアフィン座標はほぼ同等です。ほとんどのアプリケーションでは、独立した座標が少ないため、アフィン座標が好まれます。ただし、研究対象の問題の重要なポイントがアフィン独立である状況では、次の例のように、重心座標の方が計算が簡単になる可能性があります。

非平面三角形の頂点はユークリッド平面のアフィン基底を形成します。重心座標により、角度や距離を含まない三角形の要素を簡単に特徴付けることができます。

頂点は、重心座標(1, 0, 0)、 (0, 1, 0)、 (0, 0, 1)の点です。辺を支える線は、ゼロ座標を持つ点です。辺自体は、ゼロ座標が 1 つと非負の座標が 2 つある点です。三角形の内部は、座標がすべて正の点です。中線は、2 つの座標が等しい点であり、重心は座標( ⁠1/3⁠、⁠1/3⁠、⁠1/3⁠ )。

重心座標は、ある基底から別の基底に簡単に変更できます。と をAのアフィン基底とします。Aの任意のxに対して 、${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}}$${\displaystyle \{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}}$

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

同様に、最初の基底からのすべての基底に対して、2番目の基底では ${\displaystyle x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}}$

ある組について。これで、最初の基底での式を2番目の基底での式として書き直すことができる。 ${\displaystyle \{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$

${\displaystyle \,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,}$

2 番目の基底の座標をタプルとして提供します。 ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

アフィン座標も、ある基底から別の基底に簡単に変更できます。、、をAのアフィンフレームとします。 Aの各点pに対して、基底体の元の 一意のシーケンスが存在し、${\displaystyle o}$${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$${\displaystyle o'}$${\displaystyle \{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}}$${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

同様に、最初の基底からのすべての基底に対して、2番目の基底では ${\displaystyle v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$

${\displaystyle o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,}$

${\displaystyle v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}}$

タプルとタプルの場合。これで、最初の基底の式を2番目の基底の式として書き直すことができます。 ${\displaystyle \{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}}$${\displaystyle \{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}}$

2 番目の基底の座標をタプルとして提供します。 ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

アフィン変換は、特別な^[8]第4列を持つ4行4列の行列によって、の射影空間上で実行される。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}}$

点 が含まれるため、変換は線形ではなくアフィン変換になります。点 の変換された出力はアフィンシフトを示します。 ${\displaystyle (0,0,0)}$

させて

${\displaystyle f\colon E\to F}$

アフィン準同型であり、

${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$

関連する線型写像。fの像はFのアフィン部分空間で、関連するベクトル空間として を持ちます。アフィン空間には零元がないので、アフィン準同型には核がありません。しかし、線型写像には核 があり、の任意の点xに対して、xの逆像は方向が であるEのアフィン部分空間です。このアフィン部分空間はxのファイバーと呼ばれます。 ${\displaystyle f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})}$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$${\displaystyle K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}}$${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)}$${\displaystyle K}$

重要な例としては、ある方向に平行なアフィン部分空間への射影が挙げられます。この例の重要性は、ユークリッド空間がアフィン空間であり、この種の射影がユークリッド幾何学において基本的であるという事実にあります。

より正確には、アフィン空間Eとそれに関連するベクトル空間が与えられたとき、F を方向 のアフィン部分空間とし、D をにおけるの相補部分空間とする（これは、 のすべてのベクトルがの要素とDの要素の和として一意に分解できることを意味する）。Eのすべての点xに対して、Dに平行なFへの射影は、 Fにおける唯一の点p ( x )であり、 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$

${\displaystyle p(x)-x\in D.}$

これはアフィン準同型であり、それに関連する線型写像は次のように定義される。 ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),}$

Eのxとyについて。

この投影の像は Fであり、そのファイバーは方向 Dの部分空間です。

アフィン空間では核は定義されていませんが、商空間は定義されています。これは、「アフィン準同型の同じファイバーに属する」ことが同値関係であるという事実から生じます。

E をアフィン空間とし 、 D を関連するベクトル空間の線型部分空間とする。Eを Dで 割った商E / Dは、 Eを 同値関係で割った商であり、xとyは次の式で同値となる。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

${\displaystyle x-y\in D.}$

この商はアフィン空間であり、関連するベクトル空間を持ちます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}/D}$

あらゆるアフィン準同型に対して、その像はE を関連する線型写像の核で割った商に同型である 。これはアフィン空間の 最初の同型定理である。${\displaystyle E\to F}$

アフィン空間は、通常、座標、または同等のベクトル空間を使用した解析幾何学によって研究されます。公理を書き出すことによって合成幾何学として研究することもできますが、このアプローチはあまり一般的ではありません。アフィン空間には、いくつかの異なる公理体系があります。

コクセター (1969、p. 192) は、デザルグの定理のアフィン形式と、平面上では与えられた点を通り、与えられた直線と交わらない直線は最大で 1 本しかないという公理 とともに、実数上のアフィン幾何学の特殊なケースを順序付き幾何学として公理化した。

アフィン平面は次の公理を満たします (Cameron 1991、第 2 章)。(2 つの線が等しいか互いに交わっていない場合、その線は平行と呼ばれます)。

• 任意の 2 つの異なる点は、一意の直線上にあります。
• 点と直線が与えられたとき、その点を含み直線と平行な直線は1つだけ存在する。
• 同一直線上にない点が 3 つ存在します。

体 (または分割環)上のアフィン平面と同様に、これらの公理を満たす非デザルグ平面も多数存在します。 (Cameron 1991、第 3 章) は、高次元アフィン空間の公理を与えます。

純粋に公理的なアフィン幾何学はアフィン空間よりも一般的であり、別の記事で扱われます。

アフィン空間は射影空間に含まれます。たとえば、任意の射影平面から1 本の直線とその上のすべての点を削除することでアフィン平面を得ることができます。また逆に、任意のアフィン平面を使用して、点が平行線の同値類に対応する無限遠直線を追加することで、閉包として射影平面を構築できます。同様の構成は、高次元でも当てはまります。

さらに、アフィン空間を保存する射影空間の変換（つまり、集合 として無限遠における超平面を 不変のままにする変換）は、アフィン空間の変換をもたらします。逆に、任意のアフィン線型変換は射影線型変換に一意に拡張されるため、アフィン群は射影群の部分群です。たとえば、メビウス変換（複素射影直線またはリーマン球面の変換）は、点 を無限遠に固定する場合に限り、アフィン（複素平面の変換）です。

代数幾何学において、アフィン多様体（または、より一般的には、アフィン代数集合）は、アフィン空間 の部分集合として定義され、アフィン空間 は、いわゆる多項式関数の集合の共通零点の集合である。アフィン空間 上の多項式関数を定義するには、アフィンフレーム を選択する必要があります。多項式関数とは、任意の点の像がその点の座標の多変数多項式関数の値となるような関数です。アフィン座標の変化は座標の線形関数（より正確にはアフィン関数）で表現できるため、この定義は特定の座標の選択とは無関係です。

体k上のn次元のアフィン空間に対するアフィン座標系の選択は、とアフィン座標空間k ⁿの間にアフィン同型を誘導する。これは、単純化のために多くの教科書が と書き、アフィン代数多様体をk ⁿ上の多項式関数の共通零点として導入する理由を説明しています。^[9]${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}}$

アフィン空間全体は零多項式の共通零点の集合なので、アフィン空間はアフィン代数多様体です。

上記の定義により、アフィン空間のアフィンフレームを選択すると、上の多項式関数をn変数の多項式と同一視することができます。ここで、 i番目の変数は、点をそのi番目の座標にマップする関数を表します。したがって、上の多項式関数の集合はk代数 (と表記)であり、多項式環と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$ ${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$

座標を変更すると、との間の同型性もそれに応じて変化し、 の自己同型性が誘導され、各不定値を 1 次多項式にマッピングします。したがって、全次数はのフィルタリングを定義しますが、これは座標の選択とは無関係です。全次数は目盛りも定義しますが、アフィン座標の変更によって不定値が非同次多項式にマッピングされる場合があるため、目盛りは座標の選択に依存します。 ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$

実数や複素数などの位相体上のアフィン空間は、自然な位相を持ちます。任意の体上のアフィン空間に対して定義されるザリスキ位相により、どのような場合でも位相的手法を使用できます。ザリスキ位相は、閉集合がアフィン代数集合（つまり、アフィン集合上の多項式関数の共通零点の集合）であるアフィン空間上の唯一の位相です。位相体上では多項式関数は連続であるため、通常の位相に対しては、すべてのザリスキ閉集合が閉じています（存在する場合）。言い換えると、位相体上では、ザリスキ位相は自然な位相よりも 粗いです。

アフィン空間からその多項式関数の環の素イデアルの集合（つまりスペクトル）への自然な単射関数が存在する。アフィン座標が選択されると、この関数は座標点を最大イデアルに写像する。この関数は、関数の像へのアフィン空間の同相写像（アフィン空間のザリスキ位相と多項式関数の環のスペクトルのザリスキ位相に対して）である。 ${\displaystyle \left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle }$

代数幾何学では、代数的に閉じた基底体の場合は特に重要です。なぜなら、この場合、上記の同相写像は、アフィン空間と関数環のすべての極大イデアルの集合との間の写像だからです (これはヒルベルトの零点定理です)。

これは、グロタンディークのスキーム理論の出発点であり、代数多様体を研究するために、アフィン空間の点だけでなく、スペクトルのすべての素イデアルも「点」として考えるというものです。これにより、多様体の場合にチャートが貼り合わされて多様体を構築するのと 同様の方法で、代数多様体を貼り合わせることができます。

すべてのアフィン多様体と同様に、アフィン空間上の局所データは常に大域的につなぎ合わせることができます。つまり、アフィン空間のコホモロジーは自明です。より正確には、すべてのコヒーレント層Fと整数に対してです。この特性は、他のすべてのアフィン多様体でも実現されます。しかし、アフィン空間上のエタールコホモロジー群もすべて自明です。特に、すべての直線束は自明です。より一般的には、キラン・ススリン定理は、アフィン空間上の すべての代数的ベクトル束が自明であることを意味します。${\displaystyle H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0}$ ${\displaystyle i>0}$

• アフィン包 – 部分集合を含む最小のアフィン部分空間
• 複素アフィン空間 – 複素数上のアフィン空間
• 次元解析 § 幾何学：位置と変位
• 異次元アフィン空間 – 複素アフィン空間と同型ではない偶数次元の実アフィン空間
• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的な集合
• 重心座標系 – ベクトルではなく点で定義される座標系

• ベルガー、マルセル (1984)、「アフィン空間」、幾何学の問題、シュプリンガー出版、ISBN 978-0-387-90971-4
• ベルガー、マルセル（1987）、幾何学I、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 3-540-11658-3
• キャメロン、ピーター J. (1991)、射影空間と極空間、QMW 数学ノート、第 13 巻、ロンドン: クイーン メアリー アンド ウェストフィールド カレッジ スクール オブ 数学、MR  1153019
• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド（1969年）、幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-471-50458-0、MR  0123930
• ドルガチェフ、IV ; シロコフ、AP (2001) [1994]、「アフィン空間」、数学百科事典、EMS プレス
• ハーツホーン、ロビン(1977)。代数幾何学。シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-90244-9.ZBL0367.14001  。​
• 野水 憲一、佐々木 誠(1994)、アフィン微分幾何学（新版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-44177-3
• スナッパー、エルンスト、トロイヤー、ロバート J. (1989)、『メトリック アフィン幾何学』（ドーバー版、1989 年初版発行）、ドーバー出版、ISBN 0-486-66108-3
• Reventos Tarrida、Agustí (2011)、「Affine space」、Affine Maps、Euclidean Motions and Quadrics、Springer、ISBN 978-0-85729-709-9