ゴレンシュタインリング

可換代数において、ゴレンシュタイン局所環は、 R加群として有限の入射次元を持つ可換ノイザン 局所環 Rです。同値な条件は多数あり、そのいくつかを以下に挙げます。これらは、ゴレンシュタイン環が何らかの意味で 自己双対であることを示すことが多い条件です。

ゴレンシュタイン環は、グロタンディークが1961年のセミナーで導入した（Hartshorne 1967に掲載）。名前はゴレンシュタイン（1952）が研究した特異平面曲線の双対性に由来する （ゴレンシュタインはゴレンシュタイン環の定義を理解していないとよく主張していた^[要出典]）。0次元の場合はマコーレー（1934）が研究していた。セール（1961）とバス（1963）がゴレンシュタイン環の概念を公表した。

フロベニウス環は、ゼロ次元ゴレンシュタイン環の非可換類似体です。ゴレンシュタインスキームは、ゴレンシュタイン環の幾何学的バージョンです。

ネーター局所環の場合、次の包含連鎖が存在する。

普遍カテナリー環⊃ コーエン・マコーレー環⊃ゴレンシュタイン環⊃完全交差環⊃正則局所環

ゴレンシュタイン環は可換ノイザン環であり、素イデアルにおける各局所化は、以下に定義されるようにゴレンシュタイン局所環である。ゴレンシュタイン環は特にコーエン・マコーレー環である。

基本的な特徴付けの 1 つは、次元0のネーター局所環R (同値で、有限長のR をR加群とする) がゴレンシュタイン環となるための必要十分条件は、 Hom _R ( k , R ) がkベクトル空間として次元 1 を持つ場合である(ここでkはRの剰余体)。同値で、R はR加群として単純ソクルを持つ。^[1]より一般的には、ネーター局所環Rがゴレンシュタイン環となるための必要十分条件は、Rの極大イデアルに正則列a ₁ ,..., a _nが存在して、商環R /( a ₁ ,..., a _n ) が次元 0 のゴレンシュタイン環となる場合である。

例えば、R が体k上の可換次数代数で、 R がkベクトル空間として有限次元を持つ場合、 R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m、Rがゴレンスタインであるための必要十分条件は、ポアンカレ双対性を満たす場合、つまり最上位の次数部分R _{m が}次元 1 を持ち、積R _a × R _{m − a} → R _{m が}任意のaに対して完全ペアリングであることです。^[2]

必ずしも次数付きではない環に対する双対性の一種としてのゴレンシュタイン性質の別の解釈は、体Fに対して、 Fベクトル空間としての有限次元（したがって環としては次元が 0）の可換F代数Rがゴレンシュタインであるための必要十分条件は、 F線型写像e : R → Fが存在して、R （ Fベクトル空間として）上の対称双線型形式( x , y ) := e ( xy )が非退化である場合である。^[3]

クルル次元nの可換ノイザン局所環( R , m , k )に対して、以下は同値である: ^[4]

• R はR加群として有限の入射次元を持ちます。
• R はR加群としてn の入射次元を持ちます。
• i ≠ nのExt群 では、${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$あるi > nについて;
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$すべてのi < nに対して、${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• R はn次元ゴレンシュタイン環です。

環R (必ずしも可換ではない) は、 R が左R加群としても右R加群としても有限の入射次元を持つ場合、ゴレンシュタイン環と呼ばれます。 Rが局所環である場合、 Rは局所ゴレンシュタイン環であると言われます。

• 任意の局所完全交差環、特に任意の正則局所環はゴレンシュタインである。
• 環R = k [ x , y , z ]/( x ² , y ² , xz , yz , z ² − xy ) は 0 次元ゴレンシュタイン環ですが、完全な交差環ではありません。詳しく言うと、kベクトル空間としてのRの基底は次のように与えられます。Rがゴレンシュタイン環であるのは、その基底がkベクトル空間として次元 1 を持ち、それをz ²が張っているからです。あるいは、 R をx、y、zがすべて同じ次数である次数付き環と見なすと、ポアンカレ双対性を満たすことがわかります。最後に、 R は3 つの生成元と 5 つの関係 (3 つではない) の最小セットを持つため、完全な交差ではありません。${\displaystyle \{1,x,y,z,z^{2}\}.}$

• 環R = k [ x , y ]/( x ² , y ² , xy ) は 0 次元のコーエン・マコーレー環ですが、ゴレンスタイン環ではありません。詳しく言うと、kベクトル空間としてのRの基底は次のように与えられます。Rは、 xとyで張られるkベクトル空間として、基底が 2 次元 (1 次元ではありません) であるため、ゴレンスタイン環ではありません。${\displaystyle \{1,x,y\}.}$

• ネーター局所環がゴレンシュタインであるのは、その完備化がゴレンシュタインである場合に限る。^[5]

• ゴレンシュタイン局所環Rの標準加群はRと同型である。幾何学的に言えば、体上のゴレンシュタイン方式Xの標準双対複体は、単に線束（次数 −dim( X )の複体として見たもの）である。この線束はXの標準束と呼ばれる。標準束を使用すると、ゴレンシュタイン方式のセール双対性は、滑らかな場合と同じ形になる。

次数付き環Rの文脈では、ゴレンシュタイン環Rの標準加群は、ある程度の次数シフトでRと同型である。^[6]

• n次元のゴレンシュタイン局所環 ( R , m , k ) に対して、グロタンディーク局所双対性は次の形を取る。^[7] E ( k ) をR加群としての留数体kの入射包とする。すると、任意の有限生成R加群Mと整数iに対して、局所コホモロジー群は次の意味で と双対である。${\displaystyle H_{m}^{i}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R)}$

${\displaystyle H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R),E(k)).}$

• スタンレーは、体k上の有限生成可換次数RであってRが整域であるものに対して、ゴレンシュタインの性質はヒルベルト級数とともにコーエン・マコーレーの性質のみに依存することを示した。

${\displaystyle f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.}$

すなわち、次数付き領域Rがゴレンシュタインとなるのは、それがコーエン・マコーレーであり、ヒルベルト級数が次の意味で対称である場合に限ります。

${\displaystyle f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)}$

ある整数sに対して、nはRの次元である。^[8]

• ( R , m , k ) を埋め込み余次元cのノイザン局所環とし、 c = dim _k ( m / m ² ) − dim( R )とする。幾何学的に言えば、これは余次元cの部分スキームの局所環が正則スキーム内にある場合に成り立つ。c が2 以下である場合、セールはRがゴレンシュタインであるためにはそれが完全交差であることが必要であることを示した。^[9]また、バックスバウムとアイゼンバッドは、歪対称行列のパフィアンに関して余次元 3 のゴレンシュタイン環の構造定理を導いている。^[10] 2011 年に、マイルズ・リードはこの構造定理を余次元 4 の場合に拡張した。^[11]

• Bass、Hyman (1963)、「ゴレンシュタイン環の遍在性について」、Mathematische Zeitschrift、82 : 8–28、CiteSeerX  10.1.1.152.1137、doi :10.1007/BF01112819、ISSN  0025-5874、MR  0153708
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993)、Cohen–Macaulay 環、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、第 39 巻、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-41068-7、MR  1251956
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、代数幾何学に向けた可換代数、Graduate Texts in Mathematics、vol. 150、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007 / 978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• ゴレンスタイン、ダニエル(1952)、「随伴平面曲線の算術理論」、アメリカ数学会誌、72 : 414–436、doi : 10.2307/1990710、ISSN  0002-9947、JSTOR  1990710、MR  0049591
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• ハーツホーン、ロビン(1967)、「局所コホモロジー」。A. グロタンディークによるセミナー、ハーバード大学、1961 年秋、数学講義ノート、第 41 巻、ベルリン-ニューヨーク: シュプリンガー出版、MR  0224620
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• ラム、ツィット・ユエン（1999）、モジュールとリングに関する講義、Graduate Texts in Mathematics、vol. 189、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4612-0525-8、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294
• マコーレー、フランシス・ソーワービー（1934）、「現代代数学と多項式イデアル」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、30（1）：27–46、Bibcode：1934PCPS...30...27M、doi：10.1017/S0305004100012354、ISSN  0305-0041、JFM  60.0096.02
• 松村秀之（1989）『可換環論』、ケンブリッジ高等数学研究（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6、MR  0879273
• リード、マイルズ（2011 年 11 月）、ジョンカイ アルフレッド チェン（編）、ゴレンシュタインの余次元 4 – 一般構造理論（PDF）、純粋数学の高度研究、第 65 巻：東アジアの代数幾何学 – 台北 2011、pp. 201–227
• Serre、Jean-Pierre (1961)、Sur les modules projectifs、Séminaire Dubreil。 Algebre et théorie des nombres、vol. 14、1–16ページ
• スタンレー、リチャード P. (1978)、「次数代数のヒルベルト関数」、数学の進歩、28 (1): 57–83、doi : 10.1016/0001-8708(78)90045-2、MR  0485835

• 可換代数
• リング理論
• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明