乗法群

数学および群論において、乗法群という用語は、以下のいずれかの概念を指します。

• 体、^{[ 1 ]}環、またはその他の構造の可逆要素の乗算による群で、その演算の 1 つが乗算と呼ばれる。体Fの場合、群は( F ∖ {0}, •)であり、0 はFの零元を指し、二項演算• は体乗算である。
• 代数トーラスGL(1)。

• nを法とする整数の乗法群は、次の可逆要素の乗法に関する群である。${\displaystyle \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$nが素数でない場合、0以外の要素で逆元を持たないものがある。
• 正の実数の乗法群$\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$は、単位元が 1 であるアーベル群である。対数は、この群から実数の加法群への群同型写像である。${\displaystyle \mathbf {R} }$。
• 体の乗法群${\displaystyle F}$は、ゼロ以外のすべての要素の集合です。${\displaystyle F^{\times }=F\smallsetminus \{0\}}$乗算演算の下で。${\displaystyle F}$は位数qの有限数である(例えばq = p は素数であり、${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$) の場合、乗法群は巡回群となる。${\displaystyle F^{\times }\cong \mathrm {C} _{q-1}}$。

1のn乗根の群スキームは、定義により、乗法群GL(1)上のn乗写像の核であり、群スキームとして考えられます。つまり、任意の整数n > 1に対して、 n乗を取る乗法群上の射を考え、スキームの適切なファイバー積を取り、射eを恒等写像として用いることができます。

結果として得られる群スキームはμ _n (または${\displaystyle \mu \!\!\mu _{n}}$^{[ 2 ]} )。体K上でこのスキームを取ると、Kの標数がn を割り切らない場合に限り、縮小スキームが得られます構造層に冪零元を持つスキーム) の重要な例がいくつか生まれます。たとえば、任意の素数pに対してpを持つ有限体上のμ_{p など}。

この現象は、代数幾何学の古典的な言語では容易に表現できない。例えば、標数pにおけるアーベル多様体の双対性理論（ピエール・カルティエの理論）を表現する上で、この現象は非常に重要な意味を持つ。この群スキームのガロアコホモロジーは、クンマー理論を表現する一つの方法である。

• nを法とする整数の乗法群
• 添加剤グループ

• Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。グバレニ、ナデジダ・ミハイロヴナ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)、代数、環とモジュール、第 1 巻。 1、シュプリンガー、ISBN 1-4020-2690-0
• ジェームズ・S・ミルン（1980年）。エタール コホモロジー。プリンストン大学出版局。