局所的均一化

代数幾何学において、局所的均一化は特異点の解決の弱い形式であり、多様体は任意の値の近くで非特異化できること、言い換えれば配列のザリスキ・リーマン空間はある意味で非特異であることを示しています。局所的均一化はザリスキ (1939, 1940) によって導入され、彼は多様体の特異点を解決する問題を局所的均一化の問題と局所的均一化を大域的非特異化に結合する問題に分離しました。

関数体の付値における多様体の局所的一様化とは、付値の中心が非特異であるような多様体の射影モデルを見つけることです。これは特異点の解決よりも弱いものです。特異点の解決がある場合、これはすべての付値の中心が非特異であるモデルです。Zariski (1944b) は、多様体の局所的一様化を示すことができれば、すべての付値がこれらのモデルの少なくとも 1 つに非特異な中心を持つような有限数のモデルを見つけることができることを証明しました。特異点の解決の証明を完了するには、これらの有限モデルを 1 つのモデルに組み合わせることができることを示すだけで十分ですが、これはかなり難しいようです。(付値における局所的一様化は、付値の中心での解決を直接意味するわけではありません。大まかに言えば、この点の近くの一種の「くさび」での解決を意味するだけであり、異なるくさびの解決を 1 点での解決に組み合わせることは難しいようです。)

Zariski (1940) は、標数 0 の体上の任意の次元における多様体の局所一様化を証明し、これを使って、標数 0 で次元が 3 以下である多様体の特異点の解決を証明した。正の標数における局所一様化ははるかに難しいようである。Abhyankar (1956, 1966) は、曲面のすべての標数と 3 次元多様体では少なくとも 7 の標数において局所一様化を証明し、これからこれらの場合の特異点の大域的解決を演繹することができた。Cutkosky (2009) は、Abhyankar の長い証明を簡略化した。Cossart と Piltant (2008, 2009) は、Abhyankar の 3 次元多様体の局所一様化の証明を、残りの標数 2、3、5 に拡張した。Temkin (2013) は、関数体の純粋に分離不可能な拡張をとった後、任意の付値の局所一様化を見つけることが可能であることを示した。

少なくとも 4 次元の多様体に対する正特性の局所均一化は (2019 年現在) 未解決の問題です。

• アビヤンカール、シュリーラム (1956)、「特性p ≠ 0の基底体上の代数面上の局所均一化」、数学年報、第 2 シリーズ、63 (3): 491–526、doi :10.2307/1970014、JSTOR  1970014、MR  0078017
• アビヤンカール、シュリーラム S. (1966)、「埋め込み代数面の特異点の解決」、Springer Monographs in Mathematics、Acad. Press、doi :10.1007/978-3-662-03580-1、ISBN 3-540-63719-2（1998年第2版）
• コサート、ヴィンセント、ピルタン、オリヴィエ (2008)、「正特性の 3 次元多様体の特異点の解決。I. アルティン・シュライアー被覆と純粋に分離不可能な被覆上の局所均一化への還元」、代数ジャーナル、320 (3): 1051–1082、doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.03.032、MR  2427629
• コサート、ヴィンセント、ピルタン、オリヴィエ (2009)、「正特性における 3 次元多様体の特異点の解決。II」(PDF)、代数ジャーナル、321 (7): 1836–1976、doi :10.1016/j.jalgebra.2008.11.030、MR  2494751
• Cutkosky, Steven Dale (2009)、「正特性の 3 次元多様体の特異点の解決」、Amer. J. Math.、131 (1): 59–127、arXiv : math/0606530、doi :10.1353/ajm.0.0036、JSTOR  40068184、MR  2488485、S2CID  2139305
• Temkin、Michael (2013)、「分離不可能な局所均一化」、J. Algebra、373 : 65–119、arXiv : 0804.1554、doi :10.1016/j.jalgebra.2012.09.023、MR  2995017、S2CID  115167009
• ザリスキ、オスカー(1939)、「代数面の特異点の縮小」、数学年報、2、40 ( 3): 639–689、doi :10.2307/1968949、JSTOR  1968949
• ザリスキ、オスカー (1940)、「代数多様体上の局所的均一化」、数学年報、2、41 (4): 852–896、doi :10.2307/1968864、JSTOR 1968864  、MR  0002864
• ザリスキ、オスカー(1944a)、「代数関数の抽象体のリーマン多様体のコンパクト性」、アメリカ数学会誌、50 (10): 683–691、doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08206-2、ISSN  0002-9904、MR  0011573
• ザリスキ、オスカー(1944b)、「代数的 3 次元多様体の特異点の縮小」、Ann. of Math.、2、45 ( 3): 472–542、doi :10.2307/1969189、JSTOR  1969189、MR  0011006

• 「局所均一化」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]