ゴレンシュタイン計画

代数幾何学において、ゴレンシュタインスキームは局所環がすべてゴレンシュタインである局所ノイザン スキームである。^[1]標準直線束は体上の任意のゴレンシュタインスキームに対して定義され、その特性は滑らかなスキームの特殊な場合とほぼ同じである。

有限型の体上のゴレンシュタインスキームXに対して、 f : X → Spec( k ) 、X上の双対複体f ^! ( k ) は、次数 −dim( X )の複体として見たときの線束（標準バンドルK _Xと呼ばれる）です。^[2] X がk上n次元で滑らかである場合、標準バンドルK _{X は}最高次微分形式の線束 Ω ⁿと同一視できます。^[3]

標準バンドルを使用すると、セール双対性は、滑らかなスキームの場合と同じように、ゴレンスタイン スキームに対しても同じ形式になります。

X を体k上の有限型の正規スキームとする。このとき、X は余次元が少なくとも 2の閉部分集合の外側では正則である。U をXが正則である開部分集合とすると、標準バンドルK _Uは線バンドルになる。因子類群Cl( X ) から Cl( U ) への制限は同型であり、( U は滑らかであるため) Cl( U ) はピカール群Pic( U )と同一視できる。結果として、K _{U は}X上のWeil 因子の線型同値類を定義する。このような因子はいずれも標準因子K _Xと呼ばれる。正規スキームXについて、 Weil 因子K _Xの正の倍数がCartierである場合、標準因子K _XはQ-Cartierであると言われる。 (この特性は、その線型同値類におけるヴェイユ因子の選択には依存しない。) あるいは、K _X Q-カルティエを伴う正規スキームX は、 Q-ゴレンスタインであると言われることもある。

正規スキームXについて、その標準因子K _XがCartierであるものを考えることも有用である。このようなスキームは、指数 1 の Q-Gorensteinと呼ばれることもある。(この特性を「Gorenstein」と呼ぶ著者もいるが、これは混乱を招く可能性がある。) 正規スキームXが Gorenstein (上記の定義) であるためには、K _Xが Cartier であり、X がCohen–Macaulayである必要がある。^[4]

• 局所完全交差特異点を持つ代数多様体、例えば滑らかな多様体内の任意の超曲面はゴレンシュタインである。 ^[5]
• 特性0の体上の商特異点を持つ多様体X はコーエン・マコーレーであり、K _{X は}Q -カルティエです。有限群Gの線型作用によるベクトル空間Vの商多様体は、 Gが行列式1の線型変換の部分群 SL( V ) に写像される場合、ゴレンスタインです。対照的に、X がスカラーによって作用する位数nの巡回群によるC ²の商である場合、n ≥ 3 に対してK _{X は}カルティエではありません (したがってXはゴレンスタインではありません) 。
• 前の例を一般化すると、特性ゼロの体上のklt （川又対数終端）特異点を持つすべての多様体Xはコーエン・マコーレーであり、KX_はQ-カルティエである。^[6]
• 多様体Xが対数正準特異点を持つ場合、K _XはQ-カルティエであるが、Xはコーエン・マコーレーである必要はない。例えば、アーベル多様体Y上の任意のアフィン円錐^{[曖昧さ回避必要]} Xは対数正準であり、K _Xはカルティエであるが、Yが少なくとも2次元を持つとき、 Xはコーエン・マコーレーではない。^[7]

• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、代数幾何学に向けた可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• ハーツホーン、ロビン（1966）、剰余と双対性、数学講義ノート、第20巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-03603-6、MR  0222093
• Kollár、János (2013)、Singularities of the Minimal Model Program、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-03534-8、MR  3057950
• Kollár, ヤーノス州;森重文(1998)、Birational Geometry of Algebraic Varieties、Cambridge University Press、ISBN 0-521-63277-3、MR  1658959

• スタックス プロジェクト 著者、スタックス プロジェクト