ねじれた立方体

数学において、ねじれ三次曲線（ねじれさんじゅうきょう、英: Twisted cubic）は、3次元射影空間P ³における滑らかな3次有理曲線 Cである。これは歪んだ曲線の基本的な例である。これは射影変換を除いて本質的に唯一である（したがって、ねじれ三次曲線）。代数幾何学において、ねじれ三次曲線は、線型でも超曲面でもない、実際は完全な交差でもない射影多様体の単純な例である。これは有理正規曲線の3次元の場合であり、射影直線上の3次ベロネーゼ写像の像である。

ねじれ立方体は、マップのイメージとして パラメトリックに表すのが最も簡単です。

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}}$

同次座標 に値を 割り当てる${\displaystyle [S:T]}$

${\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].}$

射影空間の1つの座標パッチでは、マップは単にモーメント曲線である。

${\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})}$

つまり、アフィン曲線の無限遠点における単一の点による閉包です。 ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3})}$

ねじれ三次多様体は射影多様体であり、3つの二次曲面の交わりとして定義される。P 3上の^同次座標では、ねじれ三次多様体は3つの同次多項式の消滅によって定義される閉部分スキームである。${\displaystyle [X:Y:Z:W]}$

${\displaystyle F_{0}=XZ-Y^{2}}$

${\displaystyle F_{1}=YW-Z^{2}}$

${\displaystyle F_{2}=XW-YZ.}$

上記の明示的なパラメータ化を使用すると、これら 3 つの二次形式が同じように消えることを確認できます。つまり、 Xの代わりにx ^{3 を}代入するなどです。

さらに強く言うと、ねじれ立方体Cの同次イデアルは、これら 3 つの 2 次同次多項式によって生成されます。

ねじれ立方体には次の特性があります。

• これは、との集合論的完全交差ですが、スキーム論的またはイデアル論的完全交差ではありません。つまり、多様体のイデアルは 2 つの多項式だけでは生成できないということです。最低でも 3 つ必要です。(2 つの多項式のみを使用しようとすると、結果として得られるイデアルは根号 ではなくなります。なぜなら、 はその中に含まれますが、 は含まれないから です) 。${\displaystyle XZ-Y^{2}}$${\displaystyle Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)}$${\displaystyle (YW-Z^{2})^{2}}$${\displaystyle YW-Z^{2}}$
• C上の任意の 4 点はP ³に広がります。
• P ³に共平面の 4 つの点がない 6 つの点がある場合、それらを通過する唯一のねじれた 3 次曲線が存在します。
• ねじれのある 3 次曲線Cの接線と割線の和(割線多様体)はP ³を満たし、曲線自体の点を除いて、線は互いに素です。実際、任意の非平面の滑らかな代数曲線の接線と割線の和は3 次元です。さらに、長さ 4 の部分スキームがすべてP ³を張るという性質を持つ任意の滑らかな代数多様体は、多様体自体の点を除いて、接線と割線が互いに素であるという性質を持ちます。
• Cの接線上の点からCを平面に投影すると、尖頭三次曲線が得られます。
• Cの割線上の点からの投影は、節点三次曲線を生成します。
• C上の点からの投影は円錐曲線になります。

• ハリス、ジョー（1992）、代数幾何学入門、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-97716-3。