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代数幾何学において、体上の滑らかなスキームとは、任意の点の近傍でアフィン空間によってよく近似されるスキームのことである。滑らかさは、特異点を持たないスキームの概念を厳密に定義する一つの方法である。体上の滑らかな多様体の概念は、その特殊な場合である。滑らかなスキームは、位相幾何学における多様体の代数幾何学において重要な役割を果たす。
まず、X を体k上の有限型のアフィン スキームとする。言い換えれば、X はある自然数nに対して、 k上のアフィン空間A nへの閉じた埋め込みを持つ。このとき、Xはいくつかの方程式g 1 = 0, ..., g r = 0で定義される閉じた部分スキームであり、各g iは多項式環k [ x 1 ,..., x n ] に属する。アフィン スキームXは、各点の近傍で少なくともmの次元を持ち、導関数行列 (∂ g i /∂ x j ) のランクがX上のどこでも少なくともn − mである場合、 k上のm次元の滑らかさを持つ。[ 1 ] (したがって、X は各点の近傍でmの次元を持つ。) 滑らかさは、 Xのアフィン空間への埋め込みの選択に依存しない。
導関数行列に関する条件は、導関数行列のすべての ( n − m ) × ( n − m )個の小行列式がゼロとなるXの閉部分集合が空集合であることを意味する。言い換えれば、すべてのg iとそれらの小行列式によって生成される多項式環のイデアルは、多項式環全体である。
幾何学的に言えば、 Xの点pにおける導関数行列 (∂ g i /∂ x j ) は、線形写像F n → F rを与える。ここでFはpの留数体である。この写像の核は、点pにおけるXのザリスキー接空間と呼ばれる。X の滑らかさは、ザリスキー接空間の次元が各点付近のXの次元と等しいことを意味する。特異点では、ザリスキー接空間は大きくなる。
より一般的に、体k上のスキームX は、 Xの各点が k 上のある次元の滑らかなアフィン スキームである開近傍を持つ場合、k上で滑らかである。特に、k上の滑らかなスキームは、局所的に有限型である。
スキームの滑らかな射という、より一般的な概念があり、これはおおよそ滑らかなファイバーを持つ射のことである。特に、スキームX が体k 上で滑らかであるのは、射X → Spec kが滑らかである場合に限る。
体上の滑らかなスキームは正則であり、したがって正規である。特に、体上の滑らかなスキームは縮約されている。
体k上の多様体を、 k上の有限型の整分離スキームと定義する。すると、 k上の任意の滑らかな分離スキームは、k上の滑らかな多様体の有限個の非交和となる。
複素数体上の滑らかな多様体Xに対して、古典的な（ユークリッド）位相を用いると、Xの複素点の空間X ( C ) は複素多様体となる。同様に、実数体上の滑らかな多様体Xに対して、実点の空間X ( R ) は実多様体となり、場合によっては空集合となる。
体k上の局所的に有限型のスキームXに対して、 X上に微分値のコヒーレント層Ω 1が存在する。スキームXがk上で滑らかであるのは、Ω 1が各点付近でXの次元に等しいランクのベクトル束である場合に限る。[ 2 ]この場合、Ω 1はXの余接束と呼ばれる。k上の滑らかなスキームの接束は、双対束TX = (Ω 1 ) *として定義できる。
滑らかさは幾何学的性質であり、kの任意の体拡大Eに対して、スキームXがk上で滑らかであるのは、スキームX E := X × Spec k Spec EがE上で滑らかである場合に限る。完全体kの場合、スキームX がk上で滑らかであるのは、 X がk上で局所的に有限型であり、かつX が正則である場合に限る。
スキームXは、 k上のn次元で滑らかな開稠密部分集合をX が含む場合、 k上のn次元で一般的に滑らかであると言われます。完全体 (特に代数的に閉じた体) 上のすべての多様体は、一般的に滑らかです。[ 3 ]