セカント多様体

代数幾何学において、射影多様体の割線多様体 （せきせんたんたそう）あるいは弦多様体（こくのたねのたそう）とは、 Vにおけるすべての割線（弦）の和集合のザリスキー閉包である。^[1]${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$

${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)=\bigcup _{x,y\in V}{\overline {xy}}}$

（ の場合、直線は接線である。）これはまた、入射多様体の 閉包Zの投影による像でもある。${\displaystyle x=y}$${\displaystyle {\overline {xy}}}$${\displaystyle p_{3}:(\mathbb {P} ^{r})^{3}\to \mathbb {P} ^{r}}$

${\displaystyle \{(x,y,r)|x\wedge y\wedge r=0\}}$。

Z には次元があり、したがって次元は最大 であることに注意してください。 ${\displaystyle 2\dim V+1}$${\displaystyle \operatorname {Sect} (V)}$${\displaystyle 2\dim V+1}$

より一般的には、セカント多様体は、 上の k+1 個の点の集合によって張られる線型空間の和集合のザリスキ閉包です。 と表記されることもあります。上記のセカント多様体は、最初のセカント多様体です。 でない限り、 は常に に沿って特異ですが、他の特異点を持つことがあります。 ${\displaystyle k^{th}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Sigma _{k}}$${\displaystyle \Sigma _{k}=\mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle \Sigma _{k-1}}$

の次元がdである場合、 の次元は最大でも です。セカント多様体の次元を計算するための便利なツールは、テラチーニの補題です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \Sigma _{k}}$${\displaystyle kd+d+k}$

割線多様体を使うと、滑らかな 射影曲線を射影 3 次元空間に次のように埋め込むことができるという事実を示すことができます。^[2]を滑らかな曲線とします。割線多様体SからCへの次元は最大で 3 なので、 であれば、 S上にない点p が上に存在し、したがってpから超平面Hへの射影が得られ、これにより埋め込み が得られます。ここで繰り返します。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle r>3}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle \pi_{p}}$${\displaystyle \pi _{p}:C\hookrightarrow H\simeq \mathbb {P} ^{r-1}}$

が超平面上にない曲面であり、 の場合、S はヴェロネーゼ曲面である。^[3]${\displaystyle S\subset \mathbb {P} ^{5}}$${\displaystyle \operatorname {Sect} (S)\neq \mathbb {P} ^{5}}$

• アイゼンバッド、デイビッド、ジョー、ハリス（2016）、3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry、CUP、ISBN 978-1107602724
• グリフィス、P. ;ハリス、J. (1994)。代数幾何学の原理。ワイリークラシックスライブラリー。ワイリーインターサイエンス。p. 617。ISBN 0-471-05059-8。
• ジョー・ハリス『代数幾何学入門』（1992年）Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 0-387-97716-3