平坦射影

数学、特に代数幾何学のスキーム理論において、スキームXからスキームYへの平坦射fとは、あらゆる茎上の誘導写像が環の平坦写像となるような射である。すなわち、

${\displaystyle f_{P}\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}}$

は、 XのすべてのPに対する平坦写像である。^[1]環の写像は、それがB を平坦A -加群にする準同型である場合に平坦と呼ばれる。スキームの射影は、それが全射かつ平坦である場合に忠実平坦と呼ばれる。 ^[2]${\displaystyle A\to B}$

平坦射に関する 2 つの基本的な直感は次のとおりです。

• 平坦性は一般的な特性であり、
• 平坦性の破綻は射のジャンピングセット上で発生します。

最初のものは可換代数から来ています。 fのいくつかの有限性条件に従って、 Yの空でない開部分スキームが存在し、f をY ′に制限すると平坦射（一般的な平坦性）になることが示されます。ここで、「制限」は、 fに適用されたスキームのファイバー積と、Yへのの包含写像によって解釈されます。 ${\displaystyle Y'}$${\displaystyle Y'}$

2 つ目の考え方は、代数幾何学における射影は、平坦性によって検出される種類の不連続性を示す可能性があるというものです。たとえば、代数曲面の双有理幾何学におけるブローダウン操作により、他のすべてのファイバーが 0 次元であるときに、1 次元のファイバーが1つ生成されます。射影における平坦性は、この種の半連続性、つまり片側ジャンプの制御に直接関係していることが (後から) わかっています。

平坦射は、平坦トポス（の複数のバージョン）と、そこからの層の平坦コホモロジー を定義するために使用されます。これは深い理論であり、扱いが容易ではないことが分かっています。エタール射の概念（およびエタールコホモロジー）は、平坦射の概念に依存しています。エタール射は平坦で、有限型で、非分岐です。

アフィンスキームの射影を考える

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

代数の射から誘導される

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t.\\\end{cases}}}$

この射の平坦性を証明するには、^{[3]を計算する必要があるため、}

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right),}$

複素数を解く

${\displaystyle {\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}}$

そして、テンソルを、我々のスキームを表すモジュールで表すと、-モジュール のシーケンスが得られる。${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

${\displaystyle 0\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}{\xrightarrow {\cdot t}}{\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\to 0}$

t は零因子ではないので、自明な核を持ち、したがってホモロジー群は消滅します。

^{平坦射の他の例は、「奇跡の平坦性」 [4]}を使って見つけることができます。これは、コーエン・マコーレー方式と等次元ファイバーを持つ正則方式との間の射がある場合、それは平坦であると述べています。この簡単な例としては、楕円ファイバー、滑らかな射、および各層で奇跡の平坦性を満たす 層状多様体への射があります。${\displaystyle f\colon X\to Y}$

スキームの平坦射の普遍的な例はヒルベルトスキームによって与えられる。これは、ヒルベルトスキームが平坦射の普遍的なクラスをパラメータ化し、すべての平坦射が何らかのヒルベルトスキームからの引き戻しであるためである。すなわち、が平坦であれば、可換図式が存在する。 ${\displaystyle f\colon X\to S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S\end{matrix}}}$

へのすべての平坦射のヒルベルトスキームに対して となります。は平坦なので、ファイバーはすべて同じヒルベルト多項式 を持ちます。したがって、上記のヒルベルトスキームに対して 同様に記述できます。${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }}$

非例の1つのクラスは、拡大マップによって与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{I}X\to X.}$

簡単な例として、の点の爆発が挙げられます。原点を取ると、これは射影によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}}$送信${\displaystyle x\mapsto x,y\mapsto y,}$

ここで、点上のファイバーは のコピーであり、すなわち、 ${\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} ,}$

これは

${\displaystyle M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}.}$

しかし については、同型性が得られる。 ${\displaystyle a=b=0}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t].}$

これが平坦でない理由は、局所的に確認できるミラクル平坦性補題によるものです。

平坦射の単純な非例はこれで ある。${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k.}$

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k}$

は無限複素数であり、kの平坦な分解をとることで見つけることができる。

${\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k}$

そしてkで解像度をテンソル化すると、次のようになる。

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]}$

射が平坦ではあり得ないことを示す。平坦射の別の非例としては、平坦射は必ず等次元のファイバーを持つため、 爆発がある。

をスキームの射とする。射 に対して、およびとする。射fが平坦であるための必要十分条件は、任意のgに対して、引き戻しが準連接 - 加群のカテゴリから準連接- 加群のカテゴリへの正確な関数となることである。^[5]${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$${\displaystyle f'=(f,1_{Y'})\colon X'\to Y'.}$${\displaystyle f'^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y'}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X'}}$

およびがスキームの射であり、f がXにおいてxで平坦であると仮定する。このとき、 gが平坦であるためには、gf がxで平坦でなければならない。^[6]特に、fが忠実平坦であれば、gが平坦または忠実平坦であるためには、gfが平坦または忠実平坦でなければならない。^[7]${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$${\displaystyle f(x)}$

• 2つの平坦射の合成は平坦である。^[8]
• 2つの平坦射または忠実平坦射のファイバー積は、それぞれ平坦射または忠実平坦射である。^[9]
• 平坦性と忠実平坦性は基底変換によって保存される：fが平坦または忠実平坦であり、の場合、ファイバー積はそれぞれ平坦または忠実平坦である。^[10]${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$${\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$
• 射（局所的に有限表現）が平坦となる点の集合は開いている。^[11]
• fが忠実平坦かつ有限表現であり、gfが有限型または有限表現である場合、gはそれぞれ有限型または有限表現である。^[12]

がスキームの平坦射であると 仮定します。${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• F がY上の有限表示の準連接層である場合（特に、Fが連接している場合）、およびJ がY上のFの消滅子である場合、包含写像の引き戻しは注入であり、におけるの像はX上の の消滅子である。^[13]${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle f^{*}J}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle f^{*}F}$
• fが忠実平坦でGが準コヒーレントな-加群であれば、大域セクション上の引き戻し写像は単射である。^[14]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$

が平坦であると仮定します。XとY をSスキームとし、 とをhによる基底変化とします。 ${\displaystyle h\colon S'\to S}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y'}$

• が準コンパクトかつ優勢である場合、その基底変化は準コンパクトかつ優勢である。^[15]${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f'\colon X'\to Y'}$
• hが忠実に平坦であれば、プルバックマップは単射である。^[16]${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')}$
• が準コンパクトかつ準分離であると仮定する。ZをXの閉像とし、を標準射影とする。すると、基底変換によって決定される閉部分スキームは の閉像となる。^[17]${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle j\colon Z\to Y}$${\displaystyle j'\colon Z'\to Y'}$${\displaystyle X'}$

が平坦である場合、次のすべての特性を持ちます。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Xのあらゆる点xとy = f ( x )のあらゆる一般化y ′に対して、 y ′ = f ( x ′)となるようなxの一般化x ′が存在する。^[18]
• Xのあらゆる点xに対して、. ^[19]${\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$
• Yのあらゆる既約閉部分集合Y ′に対して、f ⁻¹ ( Y ′)のあらゆる既約成分はY ′を支配する。^[20]
• ZとZ ′がYの2つの既約閉部分集合でZがZ ′に含まれる場合、f ⁻¹ ( Z )のあらゆる既約成分Tに対して、 Tを含むf ⁻¹ ( Z ′)の既約成分T ′が存在する。^[21]
• Xのあらゆる既約成分Tに対して、 f ( T )の閉包はYの既約成分である。^[22]
• Yが一般点yと既約で、f ⁻¹ ( y )が既約なら、Xは既約である。^[23]
• fも閉じている場合、 Xのすべての連結成分の像はYの連結成分である。^[24]
• Yの任意のプロ構成可能部分集合Zに対して、. ^[25]${\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}}$

f が平坦かつ局所的に有限表示である場合、 fは普遍的に開である。^[26]しかし、f が忠実平坦かつ準コンパクトである場合、XとYがネーターであっても、fが開いているというのは一般には真ではない。^[27]さらに、この命題の逆は成り立たない。f が縮約されたスキームX _redからXへの標準写像である場合、f は普遍同相であるが、Xが非縮約かつネーターである場合、f は決して平坦ではない。^[28]

が忠実に平坦である場合、次のようになります。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Y上の位相はfに対する商位相である。^[29]
• fも準コンパクトで、 ZがYの部分集合である場合、ZがYの局所的に閉じたプロ構成可能部分集合であるためには、f ⁻¹ ( Z )がXの局所的に閉じたプロ構成可能部分集合である必要がある。^[30]

fが平坦かつ局所的に有限表示である場合、以下の各特性Pに対して、 fがPを持つ点の集合は開集合である: ^[31]

• セールの条件 S _k (任意の固定kに対して)。
• 幾何学的に規則的。
• 幾何学的には正常です。

さらにfが適切であれば、以下の各特性についても同様である: ^[32]

• 幾何学的に縮小されます。
• 幾何学的に縮小され、k 個の幾何学的連結成分を持ちます (任意のkに固定)。
• 幾何学的に積分。

および が局所的にネーターであると仮定し、 とします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• x をXの点とし、y = f ( x )とする。fが平坦であれば、dim _x X = dim _y Y + dim _x f ⁻¹ ( y )となる。^{[33]逆に、この等式がすべての}xに対して成り立ち、Xがコーエン・マコーレー、Yが正則で、さらにf が閉点を閉じた点に写像する場合、fは平坦となる。^[34]
• fが忠実平坦ならば、Yの各閉部分集合Zに対してcodim _Y ( Z ) = codim _X ( f ⁻¹ ( Z ))が成り立つ。^[35]
• fが平坦で、F がY上の準コヒーレント加群であるとする。F の射影次元が最大でnであれば、 の射影次元は最大でnである。^[36]${\displaystyle f^{*}F}$

• f がXのxにおいて平坦であると仮定する。X がxにおいて縮小または正規であれば、Y はf ( x )においてそれぞれ縮小または正規である。 ^[37]逆に、fも有限表示であり、f ⁻¹ ( y ) がxにおいてそれぞれ縮小または正規であれば、X はxにおいてそれぞれ縮小または正規である。^[38]
• 特に、fが忠実に平坦である場合、X が縮小または正規であることは、それぞれYが縮小または正規であることを意味します。f が忠実に平坦で有限表現である場合、fのすべてのファイバーが縮小または正規であることは、それぞれXが縮小または正規であることを意味します。
• fがXのxで平坦であり、Xがxで整列または整閉であるならば、Yはf ( x )でそれぞれ整列または整閉である。^[39]
• fが忠実平坦で、Xが局所整列であり、Yの位相空間が局所ノイザンである場合、Yは局所整列である。^[40]
• fが忠実平坦かつ準コンパクトであり、Xが局所的にネーターである場合、Yも局所的にネーターである。^[41]
• fが平坦で、XとY が局所的にネーターであると仮定する。Xがxで正則であれば、Y はf ( x )で正則である。逆に、Y がf ( x )で正則で、f ⁻¹ ( f ( x )) がxで正則であれば、X はxで正則である。^[42]
• fが平坦で、XとY が局所的にネーターであると仮定する。Xがxで正規ならば、Y はf ( x )で正規である。逆に、Yがf ( x )で正規で、f ⁻¹ ( f ( x )) がxで正規ならば、X はxで正規である。^[43]

g  : Y ′→ Yを忠実平坦とする。FをY上の準コヒーレント層とし、F ′をFからY ′への引き戻しとする。するとF ′がY ′上で平坦である場合に限り、FはY上で平坦である。^[44]

f は忠実平坦かつ準コンパクトであると仮定する。GをY上の準コヒーレント層とし、F をXへの引き戻しを表すものとする。すると、G が対応する性質を持つ場合のみ、Fは有限型、有限表示、または局所的にランクnから自由である。^[45]

f  : X → Y がSスキームのS射であるとする。g  : S ′ → Sが忠実平坦かつ準コンパクトであり、X ′、Y ′、f ′ がgによる基底変化を表すものとする。すると、以下の各特性Pに対して、 f ′ がP を持つ場合、f はP を持つ。^[46]

• 開ける。
• 閉店しました。
• 準コンパクトであり、その像への同相写像である。
• 同相写像。

さらに、以下の各性質Pに対して、fがPを持つのは、 f ′がPを持つ場合のみである。^[47]

• 普遍的にオープン。
• 全体的に閉鎖。
• 普遍同相写像。
• 準コンパクト。
• 準コンパクトで優勢。
• 準コンパクトかつ普遍的に二連続。
• 分離しました。
• 準分離。
• 局所的に有限型。
• 有限のプレゼンテーションのローカル。
• 有限型。
• 有限プレゼンテーション。
• ちゃんとした。
• 同型性。
• モノモーフィズム。
• オープンな没入感。
• 準コンパクトな没入感。
• 密閉された浸水。
• アフィン。
• 準アフィン。
• 有限。
• 準有限。
• 積分。

f ′が局所同型であってもfが局所浸漬でなくても可能である。 ^[48]

fが準コンパクトでL がX上の可逆層である場合、Lがf -豊富またはf -非常に豊富であるためには、その引き戻しL ′ がそれぞれf ′-豊富またはf ′-非常に豊富である必要があります。^[49]しかし、fが射影的であるためにはf ′ が射影的である必要がある、というのは正しくありません。fが適切でf ′ が射影的である場合にfが準射影的である、というのも正しくありません。なぜなら、 X ′ 上にXに下降しないf ′-豊富な層を持つことができるからです。^[50]

• fpqc モルフィズム
• 相対有効カルティエ因子、平坦射の例
• 退化（代数幾何学）

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