一意の因数分解領域

数学において、一意分解領域（UFD ）（ブルバキの用語に従って階乗環とも呼ばれる）とは、算術の基本定理に類似した命題が成り立つ環のことである。具体的には、UFDは、任意の2つの非ゼロ要素の積が非ゼロとなる非自明な可換環である整域であり、その整域では、すべての非ゼロ非単位要素が、位数と単位を除いて一意に既約要素の積として表すことができる。

UFDの重要な例としては、整数や、係数が整数または体から得られる1つ以上の変数の多項式環が挙げられます。

固有の因数分解領域は、以下のクラス包含の連鎖に現れます。

rngs ⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃最大公約数域⊃一意分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数閉体

形式的には、一意分解領域は、Rの非ゼロ要素x がRの既約要素p _iの有限積として表せるような、Rの整数領域 として定義される。

x = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n ( n ≥ 1)

そしてこの表現は次の意味で一意である：q ₁、 ...、q _mがRの既約要素である場合、

x = q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m ( m ≥ 1 )

するとm = nとなり、i ∈ {1, ..., n }に対してp _{i が}q _{φ ( i )}に関連付けられるような全単射写像φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m }が存在する。

初等数学でよく知られている環のほとんどはUFDである。

• すべての主イデアル整域、すなわちすべてのユークリッド整域は、UFD（統一整域）である。特に、整数（算術の基本定理も参照）、ガウス整数、およびアイゼンシュタイン整数はUFDである。
• Rが UFD であるならば、 R [ X ] もUFD である。RはRの係数を持つ多項式の環である。Rが体でない限り、 R [ X ] は主イデアル整域ではない。帰納法により、任意の UFD (特に体上または整数上) 上の任意の数の変数を持つ多項式環は UFD である。
• 体K上の形式的冪級数環K [[ X ₁ , ..., X _n ]] (またはより一般的にはPID のような正則UFD 上) は UFD です。一方、UFD 上の形式的冪級数環は、UFD が局所的であっても、必ずしも UFD であるとは限りません。たとえば、Rが素イデアル( x , y , z )におけるk [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ )の局所化である場合、Rは UFD である局所環ですが、形式的冪級数環R [[X]] over Rは UFD ではありません。
• アウスランダー・ブックスバウムの定理は、すべての正則局所環はUFDであると述べている。
• ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} {\bigl [}e^{2\pi i/n}{\bigr ]}}$これは、 1 ≤ n ≤ 22 のすべての整数に対して UFD であるが、n = 23に対してはそうではない。これは、円分体の整数環である。${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{2\pi i/n})}$他の数体の整数環については、「クラス番号1の数体のリスト」を参照してください。
• 森は、ザリスキ環の完備化（例えば、ネーター局所環）が UFD であれば、その環も UFD であることを示した。^{[ 1 ]この逆は真ではない。UFD であるが完備化がそうでないネーター局所環が存在する。いつこれが}起こるかという問題は微妙である。例えば、素イデアル (x, y, z) でのk [ x , y, z]/(x2 + y3 + z5)の局所化では、局所環と^その完備化の^両方がUFDである^{[ 2 ] [ 3 ]}が、一見似ているように見える素イデアル( x , y , z )でのk [ x , ^{y, z]/(x2} + y3 + z7)の局所化では、局所^環はUFD であるが^{[ 4 ]}完備化はそうではない。
• させて${\displaystyle R}$2以外の任意の特性を持つ体とする。クラインと永田は、 QがXsの非特異二次形式でnが5以上であるとき、環R [ X ₁ , ..., X _n ]/ QがUFDであることを示した。n = 4の場合、環はUFDである必要はない。例えば、R [ X , Y , Z , W ]/( XY − ZW )はUFDではない。なぜなら、要素XYは要素ZWと等しく、 XYとZWは同じ要素の既約要素への2つの異なる因数分解だからである。
• 環Q [ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1)は UFD ですが、環Q ( i )[ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1)はUFD ではありません。一方、環Q [ x , y ]/( x ² + y ² − 1)は UFD ではありませんが、環Q ( i )[ x , y ]/( x ² + y ² − 1)は UFDです。^{[ 5 ]}同様に、2 次元実球の座標環R [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1)は UFD ですが、複素球の座標環C [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1)は UFD ではありません。
• 変数X _iに重みw _iが与えられ、F ( X ₁ , ..., X _n )が重​​みwの同次多項式であると仮定します。このとき、cがwと互いに素であり、 Rが UFD であり、R上のすべての有限生成射影加群が自由であるか、またはcが 1 mod wである場合、環R [ X ₁ , ..., X _n , Z ]/( Z ^c − F ( X ₁ , ..., X _n ))は UFD です。^{[ 6 ]}

整数に対して定義された概念の中には、UFD（ユニバーサル・データ・ディスクリプタ）にも一般化できるものがある。

• UFD では、すべての既約元は素元です。（任意の整域では、すべての素元は既約ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。たとえば、要素z ∈ K [ x , y , z ]/( z ² − xy )は既約ですが、素元ではありません。）この逆は部分的に成り立つことに注意してください。ACCPを満たす領域が UFD であるのは、すべての既約元が素元である場合のみです。
• UFD の任意の 2 つの要素は、最大公約数と最小公倍数を持ちます。ここで、 aとbの最大公約数とは、 aとbの両方を割り切り、かつ aとbの他のすべての公約数がdを割り切る要素dのことです。aとbのすべての最大公約数は関連付けられています。
• 任意の UFD は整閉体である。言い換えれば、R が商体Kを持つ UFD であり、 Kの要素kがRの係数を持つ単多項式の根であるならば、kはRの要素である。
• S を、0 を含まない UFD A の乗法的に閉じた部分集合とする。このとき、局所化S ⁻¹ Aは UFD である。これに対する部分的な逆も成り立つ。以下を参照のこと。

ネーター整域がUFDであるのは、高さ1の素イデアルがすべて主イデアルである場合に限る（証明は最後に示す）。また、デデキント整域がUFDであるのは、そのイデアル類群が自明である場合に限る。この場合、実際には主イデアル整域である。

一般に、整数領域Aに対して、以下の条件は同等である。

1. AはUFDです。
2. Aのゼロでない素イデアルはすべて素元を含む。^{[ 8 ]}
3. Aは主イデアルに関する昇連鎖条件（ACCP）を満たし、局所化S ^{− 1} AはUFDである。ここでSは素元によって生成されるAの乗法的に閉じた部分集合である。（永田判定条件）
4. AはACCPを満たし、すべての既約数は素数である。
5. Aは原子であり、すべての既約数は素数である。
6. AはACCPを満たすGCD領域である。
7. Aはシュライアー領域^{[ 9 ]}であり、原子である。
8. Aはシュライアー前領域であり、原子です。
9. Aは、すべての約数が主約数であるという約数理論を持つ。
10. Aは、すべての除法イデアルが主イデアルであるクルル領域である（実際、これはブルバキにおけるUFDの定義である）。
11. Aはクルル領域であり、高さ1のすべての素イデアルは主イデアルである。^{[ 10 ]}

実際には、（2）と（3）が最も有用なチェック条件です。例えば、（2）から、PID は UFD であることがすぐにわかります。なぜなら、すべての素イデアルは PID の素元によって生成されるからです。

別の例として、高さ 1 の素イデアルがすべて主イデアルであるようなネーター整域を考えてみましょう。すべての素イデアルは有限の高さを持つので、主イデアルである高さ 1 の素イデアル (高さに関する帰納法) が含まれます。(2) より、この環は UFD です。

• パラファクトリアルローカルリング
• 非可換な一意分解領域