不変量の完全なセット

数学では、分類問題における不変量の完全な集合は、写像の集合である。

${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$

（ここで は、何らかの同値関係 を除いて分類されるオブジェクトの集合であり、 は何らかの集合である）、すべての に対してとなる場合、かつその場合に限る。言い換えると、2 つのオブジェクトが同等である場合、かつその場合に限って、すべての不変量が等しいということである。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle x\sim x'}$${\displaystyle f_{i}(x)=f_{i}(x')}$${\displaystyle i}$

象徴的に言えば、不変量の完全な集合は次のような写像の集合である。

${\displaystyle \left(\prod f_{i}\right):(X/\sim )\to \left(\prod Y_{i}\right)}$

は単射です。

不変量は定義により、同値なオブジェクト上で等しいため、不変量の等価性は同値性の必要条件です。不変量の完全な集合とは、これらの等価性が同値性にも十分である集合です。グループ アクションのコンテキストでは、これは次のように表現できます。不変量は共変量(同値類、軌道) の関数であり、不変量の完全な集合は共変量を特徴付けます (共変量を定義する方程式の集合です)。

• 2次元閉多様体の分類では、オイラー特性（または種数）と向き付け可能性は不変量の完全なセットです。
• 行列のジョルダン標準形は共役までの行列に対して完全な不変量ですが、固有値（重複値を含む）はそうではありません。

不変量の完全な集合は、直ちに分類定理を導き出すわけではない。不変量のすべての組み合わせが実現されるわけではない。記号的に、

${\displaystyle \prod f_{i}:X\to \prod Y_{i}.}$