補助処方

数学、特に代数幾何学と複素多様体理論において、随伴公式は多様体の標準束とその多様体内部の超曲面を関連付ける。これは、射影空間などの行儀のよい空間に埋め込まれた多様体に関する事実を演繹したり、帰納法によって定理を証明したりするためによく使用される。

X を滑らかな代数多様体または滑らかな複素多様体とし、 YをXの滑らかな部分多様体とする。Y → X の包含写像をiで表し、YのXにおけるイデアル層を で表す。 iに対するコノーマル完全列は ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to i^{*}\Omega _{X}\to \Omega _{Y}\to 0,}$

ここでΩは余接束を表す。この厳密な列の行列式は自然同型である。

${\displaystyle \omega _{Y}=i^{*}\omega _{X}\otimes \operatorname {det} ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^ {\vee },}$

ここで は線束の双対を表します。 ${\displaystyle \vee}$

D がX上の滑らかな因子であるとする。その正規束はX上の直線束に拡張され、Dのイデアル層はその双対 に対応する。この共正規束は であり、これを上の式と組み合わせると次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D)}$${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

標準的なクラスの観点から言えば、

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

これら 2 つの式は両方とも付加式と呼ばれます。

滑らかな次数超曲面が与えられれば、その標準バンドルと反標準バンドルを付加公式を使って計算することができる。これは次のように表される。${\displaystyle d}$${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d)}$

これは と同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d)}$

次数 の 滑らかな完全交差に対して、余正規バンドルはに同型なので、行列式バンドルは であり、その双対は であり、次数 が${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})}$

${\displaystyle \omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{ 1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2})。 }$

これは、すべての完全な交差に対して同じように一般化されます。

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$を、特異でない対称行列から来る2次多項式の消失軌跡によって与えられる2次曲面として埋め込みます。 ^[1]次に、 上の曲線に注目することができます。 の余接バ​​ンドルは、各 上の余接バンドルの直和を使用して計算できるため、 となります。次に、標準層は によって与えられ、これはベクトルバンドルの直和のウェッジの分解を使用して見つけることができます。次に、付加公式を使用して、セクション の消失軌跡によって定義される曲線は、次のように計算できます 。${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,0)\oplus {\mathcal {O}}(0,-2)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,-2)}$${\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(a,b))}$

${\displaystyle \omega _{C}\,\cong \,{\mathcal {O}}(-2,-2)\otimes {\mathcal {O}}_{C}(a,b)\,\cong \,{\mathcal {O}}_{C}(a{-}2,b{-}2).}$

制限写像はポアンカレ剰余と呼ばれる。Xが複素多様体であると仮定する。すると、断面上では、ポアンカレ剰余は次のように表される。Dが関数fの消滅によって与えられる開集合U を固定する。U上の任意の断面はs / fと表すことができる。ここでsはU上の正則関数である。η をω _XのU上の断面とする。ポアンカレ剰余は写像である。 ${\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

${\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0},}$

つまり、ベクトル場 ∂/∂ f を体積形式 η に適用し、正則関数sを掛け合わせることで形成される。Uが局所座標z ₁ , ..., z _{n を}許容し、あるiに対して∂ f /∂ z _i ≠ 0である場合、これは次のようにも表される 。

${\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}.}$

ポアンカレ留数を別の観点から見ると、まず付加式を同型として再解釈する。

${\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}$

前述のように、開集合U上で、 の切断は、形式df / fの正則関数sの積です。ポアンカレ留数は、 ω _Dの切断と の切断のウェッジ積をとる写像です。 ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

共線完全列が短完全列でない場合、随伴公式は偽である。しかし、この誤りを利用して、Xの特異点をDの特異点と関連付けることは可能である。このタイプの定理は随伴の反転と呼ばれ、現代の双有理幾何学における重要なツールである。

を次数同次多項式によって切り取られた滑らかな平面曲線とします。標準因子は であり、 は超平面因子で あると主張します。${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle F(X,Y,Z)}$${\displaystyle K=(d-3)[C\cap H]}$${\displaystyle H}$

まずアフィンチャートで作業します。方程式は、およびとなります。微分係数の約数を明示的に計算します。 ${\displaystyle Z\neq 0}$${\displaystyle f(x,y)=F(x,y,1)=0}$${\displaystyle x=X/Z}$${\displaystyle y=Y/Z}$

${\displaystyle \omega :={\frac {dx}{\partial f/\partial y}}={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}.}$

どの点でも、は局所パラメータであるか、 は局所パラメータです。どちらの場合も、 の点における消失の順序は0 です。したがって、除数へのすべての寄与は、無限遠直線 にあります。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle \partial f/\partial y\neq 0}$${\displaystyle x-x_{0}}$${\displaystyle \partial f/\partial x\neq 0}$${\displaystyle y-y_{0}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\text{div}}(\omega )}$${\displaystyle Z=0}$

ここで線 を見てください。 と仮定すると、座標 と のグラフを見れば十分です。曲線の方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {Z=0}}$${\displaystyle [1,0,0]\not \in C}$${\displaystyle Y\neq 0}$${\displaystyle u=1/y}$${\displaystyle v=x/y}$

${\displaystyle g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).}$

したがって

${\displaystyle \partial f/\partial x=y^{d}{\frac {\partial g}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=y^{d-1}{\frac {\partial g}{\partial v}}}$

それで

${\displaystyle \omega ={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{y^{d-1}\partial g/\partial v}}=u^{d-3}{\frac {du}{\partial g/\partial v}}}$

の順序は消えます。したがって、これは付加式と一致します。 ${\displaystyle \nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)}$${\displaystyle {\text{div}}(\omega )=(d-3)[C\cap \{Z=0\}]}$

平面曲線の種数-次数公式は、随伴公式から演繹できる。^[2] C  ⊂  P ^{2 を次数}d、種数gの滑らかな平面曲線とする。H をP ²の超平面の類、つまり直線の類とする。P ²の標準類は−3 Hである。したがって、随伴公式は、( d − 3) HのCへの制限がCの標準類に等しいことを意味している。この制限は、交差積( d − 3) H ⋅ dH をCに制限したものと同じであり、したがってCの標準類の次数はd ( d −3)である。リーマン・ロッホの定理により、g − 1 = ( d −3) d − g + 1となり、次の式が成り立つ。

${\displaystyle g={\tfrac {1}{2}}(d{-}1)(d{-}2).}$

同様に、^[3] C が2 次曲面P ¹ × P ¹上の滑らかな曲線で、 2 次が ( d ₁ , d ₂ ) の場合(つまり、d ₁、d _{2は、各射影の}P ¹へのファイバーとの交差次数)、 P ¹ × P ¹の標準類は2 次 (−2,−2) であるため、付加公式はCの標準類が 2 次 ( d ₁、d ₂ ) と ( d ₁ −2、d ₂ −2 )の約数の交差積であることを示しています。P ¹ × P ¹上の交差形式は、 2 次数の定義と双線型性により、リーマン・ロッホを適用すると、または ${\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}}$${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)}$

${\displaystyle g=(d_{1}{-}1)(d_{2}{-}1)\,=\,d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1.}$

P ³における2 つの曲面DとEの完全交差である曲線Cの種数も、随伴公式を使用して計算できます。dとe がそれぞれDとEの次数であるとします。随伴公式をDに適用すると、その標準因子は( d − 4) H | _Dであり、これは( d − 4) HとDの交差積であることがわかります。C が完全交差であるため可能なEについてこれを再度適用すると、標準因子Cは積( d + e − 4) H ⋅ dH ⋅ eHであることがわかります。つまり、次数はde ( d + e − 4)です。リーマン・ロッホの定理により、これはCの種数が

${\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1.}$

より一般的には、C がP ^{n の次数}d ₁ , ..., d _{n − 1}のn − 1 個の超曲面D ₁ , ..., D _{n − 1}の完全な交差である場合、帰納的計算によりCの標準類がであることが示されます。リーマン・ロッホの定理は、この曲線の種数が であることを意味します。 ${\displaystyle (d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}}$

${\displaystyle g=1+{\tfrac {1}{2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.}$

Sを複素曲面（特に4次元多様体）とし、滑らかな（特異でない）連結複素曲線とする。すると^[4]${\displaystyle C\to S}$

${\displaystyle 2g(C)-2=[C]^{2}-c_{1}(S)[C]}$

ここで、はCの種数、は自己交差、 はクロネッカーペアリングを表します。 ${\displaystyle g(C)}$${\displaystyle [C]^{2}}$${\displaystyle c_{1}(S)[C]}$${\displaystyle <c_{1}(S),[C]>}$

• 対数形式
• ポアンカレ残差
• トム予想

• 交差理論第2版、William Fulton、Springer、ISBN 0-387-98549-2、例3.2.12。 
• 代数幾何学の原理、グリフィスとハリス、ワイリークラシックスライブラリー、ISBN 0-471-05059-8 、 pp 146–147。 
• 代数幾何学、ロビン・ハーツホーン、Springer GTM 52、ISBN 0-387-90244-9、命題II.8.20。