算術種族

数学において、代数多様体の算術種数は、代数曲線またはリーマン面の種数のいくつかの可能な一般化のうちの 1 つです。

X を体k上の次元rの射影スキームとすると、Xの算術種数は次のように定義されます。ここで は構造層のオイラー特性です。^[1] ${\displaystyle p_{a}}$$${\displaystyle p_{a}(X)=(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1).}$$${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

n 次元の複素射影多様体の数論的種数は、ホッジ数の組み合わせとして定義できます。つまり、

${\displaystyle p_{a}=\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{j}h^{nj,0}.}$

n=1のとき、式は になります。ホッジの定理によれば、となります。したがって、 となります。ここでg は曲面の種数の通常の (位相的な) 意味であり、定義は互換性があります。 ${\displaystyle p_{a}=h^{1,0}}$${\displaystyle h^{0,1}=h^{1,0}}$${\displaystyle h^{0,1}=h^{1}(X)/2=g}$

X がコンパクトなケーラー多様体の 場合、 h ^{p , q} = h ^{q , p}を適用すると、射影多様体に対する以前の定義が復元されます。

コンパクトケーラー多様体に対してh ^{p , q} = h ^{q , p を}用いることで、これは構造層のコヒーレントコホモロジーにおけるオイラー特性として再定式化できる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$

${\displaystyle p_{a}=(-1)^{n}(\chi ({\mathcal {O}}_{M})-1).\,}$

したがって、この定義は他のいくつかの局所環空間にも適用できます 。

• 属（数学）
• 幾何学的属

• P. グリフィス、J. ハリス(1994)。代数幾何学の原理。Wiley Classics Library (第 2 版)。Wiley Interscience。p. 494。ISBN 0-471-05059-8.ZBL0836.14001  。​
• ルベイ、エレナ（2014）、代数幾何学、簡潔な辞典、ベルリン/ボストン：ウォルター・デ・グリュイター、ISBN 978-3-11-031622-3

• Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978].代数幾何学における位相的手法. 数学の古典. ドイツ語からの翻訳および付録 1 は RLE Schwarzenberger による。付録 2 は A. Borel による (第 2 版の再版、第 3 版の訂正版)。ベルリン: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58663-6.ZBL0843.14009  。​