残余フィールド

数学において、剰余体は可換代数の基本的な構成です。 が可換環でが最大イデアルである場合、剰余体は商環=であり、これは体です。^[1]多くの場合、は局所環であり、はその唯一の最大イデアルです。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

抽象代数学では、多項式の分割体は剰余体を用いて構成される。剰余体は代数幾何学にも適用され、スキームのあらゆる点に剰余体を関連付ける。^[2]抽象代数多様体の点の剰余体は、その点の座標の自然な領域である と少し大まかに言うことができる。 ^{[説明が必要]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle k(x)}$

が可換局所環で、最大イデアル を持つと仮定します。すると、剰余体は商環になります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

ここで、 がスキームであり、が の点であると仮定します。スキームの定義により、の可換環を持つアフィン近傍が見つかります。近傍 について考えると、点は素イデアルに対応します(ザリスキ位相を参照)。 におけるの局所環は、定義により による の局所化であり、最大イデアル =を持ちます。上記の構成を適用すると、点 の留数体が得られます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}={\text{Spec}}(A)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle k(x):=A_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {p}}}$。

この定義はアフィン近傍の選択に依存しないことを証明することができる。^[3]${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

ある点が特定の体に対して-有理的であるとは、次の場合をいう。^[4]${\displaystyle \color {blue}k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k(x)=k}$

体上のアフィン直線 を考える。 が代数的に閉じている場合、素イデアルは正確に2種類存在する。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}(k)={\text{Spec}}(k[t])}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle (ta),\,a\in k}$
• ${\displaystyle (0)}$、ゼロ理想。

残余フィールドは

• ${\displaystyle k[t]_{(ta)}/(ta)k[t]_{(ta)}\cong k}$
• ${\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t)}$、 1変数のk上の関数体。

が代数的に閉じていない場合、さらに多くの型が発生します。たとえば、 の場合、素イデアルはと同型の剰余体を持ちます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\mathbb {R} }$${\displaystyle (x^{2}+1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• 体上の局所的に有限型のスキームに対して、点が閉じている場合、かつ が基本体 の有限拡大である場合に限ります。これは、ヒルベルトの零点定式化の幾何学的定式化です。上記の例では、第 1 種の点は閉じており、留数体 を持ちますが、第 2 種の点は一般点であり、上で超越次数1 を持ちます。${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$
• 何らかの体である射は、点と拡大を与えることと同等です。${\displaystyle {\text{Spec}}(K)\rightarrow X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle K/k(x)}$
• 体上の有限型のスキームの次元は、一般点の剰余体の超越次数に等しい。

• 算術ゼータ関数

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、セクションII.2