除数（代数幾何学）

代数幾何学において、因子は代数多様体の余次元-1 の部分多様体の一般化です。カルティエ因子とヴェイユ因子 (デイヴィッド・マンフォードがピエール・カルティエとアンドレ・ヴェイユにちなんで命名) という 2 つの異なる一般化が一般的に使用されています。どちらも整数と代数体における割り切れるという概念から派生しています。

大域的には、射影空間の任意の余次元 1 サブ多様体は、1 つの同次多項式の消失によって定義されます。対照的に、余次元rサブ多様体は、 rが 1 より大きい場合、r個の方程式だけで定義できる必要はありません。(つまり、射影空間のすべてのサブ多様体が完全な交差であるわけではありません。) 局所的には、滑らかな多様体の任意の余次元 1 サブ多様体は、各点の近傍における 1 つの方程式によって定義できます。また、同様の記述は、余次元が高いサブ多様体では成り立ちません。この特性の結果として、代数幾何学の多くは、余次元 1 サブ多様体と対応する直線束を解析することによって、任意の多様体を研究します。

特異多様体ではこの性質が成り立たないこともあるため、余次元 1 の部分多様体と 1 つの方程式で局所的に定義できる多様体を区別する必要があります。前者は Weil 因子であり、後者は Cartier 因子です。

位相的には、ヴェイユ因子はホモロジー類の役割を果たしますが、カルティエ因子はコホモロジー類を表します。滑らかな多様体（またはより一般的には正則スキーム）では、ポアンカレ双対性に類似した結果から、ヴェイユ因子とカルティエ因子は同じであることが分かります。

「因子」という名前は、代数曲線の研究におけるデデキント域の関連性を示したデデキントとウェーバーの研究に遡ります。^[1]曲線上の因子群（すべての因子によって生成される自由アーベル群）は、デデキント域の 分数イデアル群と密接に関連しています。

代数的サイクルは、因子の高次の余次元の一般化です。定義により、ヴェイユ因子は余次元 1 のサイクルです。

リーマン面は1 次元複素多様体なので、その余次元 1 の部分多様体は次元 0 を持ちます。コンパクトリーマン面X上の因子群は、Xの点上の自由アーベル群です。

同様に、コンパクトなリーマン面X上の因子は、整数係数を持つXの点の有限線形結合です。X上の因子の次数は、その係数の合計です。

X上の任意の非零有理型関数 fに対して、 X内の点pにおけるfの消滅の順序、すなわち_p ( f ) を定義できる。これは整数であり、f がpに極を持つ場合は負になる。コンパクトリーマン面X上の非零有理型関数fの因子は次のように定義される。

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

これは有限和です。形式 ( f ) の約数は主約数とも呼ばれます。 ( fg ) = ( f ) + ( g ) なので、主約数の集合は約数群の部分群です。主約数が異なる 2 つの約数は線型同値と呼ばれます。

コンパクトなリーマン面では、主因子の次数は 0 です。つまり、有理型関数の零点の数は、重複度で数えた極の数に等しくなります。その結果、次数は因子の線形同値類上で明確に定義されます。

コンパクトなリーマン面X上の因子D が与えられた場合、最大でDで与えられる極を持つX上の有理型関数の複素ベクトル空間、つまりH ⁰ ( X , O ( D )) またはDに関連付けられた直線束の切断の空間を調べることが重要です。 Dの次数は、このベクトル空間の次元について多くのことを語っています。たとえば、D が負の次数を持つ場合、このベクトル空間はゼロです (有理型関数は極の数よりも多くのゼロを持つことができないため)。Dが正の次数の場合、 H ⁰ ( X , O ( mD ))の次元は、mが十分に大きい場合、mに対して線形に増加します。リーマン–ロッホの定理は、この線に沿ったより正確な記述です。一方、低次の因子Dに対するH ⁰ ( X , O ( D ))の正確な次元は微妙であり、 Dの次数によって完全には決定されません。コンパクトなリーマン面の特徴は、これらの次元に反映されています。

コンパクト リーマン面上の重要な因子の 1 つは、標準因子です。これを定義するには、まず上記のように非零有理型1 形式の因子を定義します。有理型 1 形式の空間は有理型関数の体上の 1 次元ベクトル空間であるため、任意の 2 つの非零有理型 1 形式は線型同値な因子を生成します。この線型同値類の任意の因子は、Xの標準因子K _Xと呼ばれます。Xの種数g は標準因子から読み取ることができます。つまり、K _Xの次数は 2 g − 2 です。コンパクト リーマン面Xの重要な三分法は、標準因子の次数が負 (したがってX の種数は 0)、次数が 0 (種数は 1)、次数が正 (種数が少なくとも 2) のいずれであるかです。たとえば、これはX が正の曲率、ゼロの曲率、または負の曲率を持つケーラー計量を持つかどうかを決定します。標準因子が負の次数を持つのは、 X がリーマン球面CP ¹に同型である場合のみです。

X を整 局所ノイザンスキームとする。X上の素因子または既約因子は、Xの余次元が1の整閉部分スキームZである。X上のヴェイユ因子は、 Xの素因子Z上の形式的な和である。

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

ここで、集合は局所有限である。X が準コンパクトである場合、局所有限性は有限であることと同値である。すべての Weil 因子の群はDiv( X )と表記される。Weil 因子D は、すべての係数が非負の場合に有効である。差D − D′が有効な場合、 D ≥ D′と表記する。 ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$

たとえば、体上の代数曲線上の因子は、有限個の閉点の形式的な和です。Spec Z上の因子は、整数係数を持つ素数の形式的な和であるため、 Qの非ゼロ分数イデアルに対応します。 の因子についても同様の特徴付けが成り立ちます。ここで、 Kは数体です。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$

Z ⊂ Xが素因数ならば、局所環のKrull 次元は 1 になる。がゼロでない場合、Zに沿ったfの消失位数ord _Z ( f )はの長さである。この長さは有限であり、^[2]乗法に関して加法的、すなわちord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g )となる。^[3] k ( X ) がX上の有理関数体ならば、任意の非ゼロf ∈ k ( X )は商g / hとして表すことができ、ここでgとhはであり、 fの消失位数はord _Z ( g ) − ord _Z ( h )と定義される。^[4]この定義では、消失位数は関数ord _Z  : k ( X ) ^× → Zとなる。Xが正規の場合、局所環は離散値環であり、関数ord _Zは対応する値である。 X上の非ゼロ有理関数fの場合、fに関連付けられた主ヴェイユ因子はヴェイユ因子として定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

この和は局所的に有限であり、したがって確かにヴェイユ因子を定義することが示されます。fに関連付けられた主ヴェイユ因子も( f )と表記されます。f が正則関数である場合、その主ヴェイユ因子は有効ですが、一般にはそうではありません。 消失関数の順序の加法性は、次のことを意味します。

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

したがって、div は準同型であり、特にその像はすべてのヴェイユ因子の群の部分群です。

X を正規整ネータースキームとする。すべてのヴェイユ因子D はX上のコヒーレント層 を決定する。具体的には、有理関数の層のサブ層として定義できる^[5]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ または }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

つまり、非零有理関数fがU上の切断となるのは、Uと交わる任意の素因数Zに対して、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

ここでn _ZはDにおけるZの係数である。Dが主関数、つまりDが有理関数gの約数であれば、同型が存在する。

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

は有効因子なので、 Xの正規性により は正則です。逆に、 が- 加群としてに同型である場合、Dは主です。したがって、 D が局所的に主であるためには、が可逆、つまり直線束である必要が あります。${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

DがXの部分スキームに対応する有効因子である場合（たとえば、Dは被約因子または素因子である可能性がある）、部分スキームDの理想層はに等しい。これは、よく使用される短い完全列につながる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

このシーケンスの層コホモロジーは、D上の正規関数がX上の正規関数の制限であるかどうかに関する情報が含まれていることを示しています。 ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$

束も含まれる

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

これにより、 の標準元、すなわち大域切断 1 の像が得られます。これは標準切断と呼ばれ、 s _Dと表記されます。標準切断はどこにも消えない有理関数の像ですが、遷移関数がD に沿って消えるため、 におけるその像はDに沿って消えます。 D が滑らかなカルティエ因子である場合、上記の包含の余核を識別できます。下記の #カルティエ因子を参照してください。 ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

X が体上の有限型の正規の積分分離スキームであると仮定します。D をWeil 因子とします。すると は階数 1 の反射層となり、はの部分層として定義されているため分数イデアル層となります (下記参照)。逆に、階数 1 の反射層はすべて Weil 因子に対応します。層は正規軌跡に制限することができ、そこでは自由になり、したがって Cartier 因子に対応します (これも下記参照)。また、特異軌跡の余次元は少なくとも 2 であるため、Cartier 因子の閉包は Weil 因子です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$

ヴェイユ因子類群Cl( X ) は、 Div( X ) をすべての主要なヴェイユ因子の部分群で割った商です。2 つの因子の差が主要な場合、それらの因子は線型同値であると言われます。そのため、因子類群は線型同値を法とする因子の群です。体上のn次元の多様体Xに対して、因子類群はChow 群です。つまり、 Cl( X ) は ( n −1) 次元サイクル のChow 群 CH _{n −1} ( X ) です。

Z をXの閉部分集合とする。Z が共次元1の既約集合である場合、 Cl( X − Z ) は Cl( X ) のZの類による商群に同型である。Z がXにおいて共次元2以上である場合、制限 Cl( X ) → Cl( X − Z ) は同型である。^[6]（これらの事実は、チョウ群の 局所化シーケンスの特別な場合である。）

正規整ネータースキームX上で、2 つのヴェイユ因子D、Eが線型同値であるためには、 および が- 加群として同型である必要があります。 X上の反射層の同型類は、積がテンソル積の反射包として与えられたモノイドを形成します。次に、Xのヴェイユ因子類群からX上の階数 1 の反射層の同型類のモノイドへのモノイド同型を定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

• k を体、n を正の整数とする。多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ] は一意の因数分解領域なので、 k上のアフィン空間A ⁿの因子類群は0 に等しい。^[7] k上の射影空間P ⁿから超平面Hを引いたものはA ⁿと同型なので、 P ⁿの因子類群はHの類によって生成される。そこから、 Cl( P ⁿ ) が実際にHによって生成される整数Zと同型であることは簡単に確認できる。具体的には、これはP ⁿのすべての余次元 1 の部分多様体が単一の同次多項式の消滅によって定義されることを意味する。

• X を体k上の代数曲線とする。 Xのすべての閉点p はkの有限拡大体Eに対して Spec E の形を持ち、pの次数はk上のEの次数として定義される。これを線型性で拡張すると、 X上の因子の次数の概念が得られる。X がk上の射影曲線である場合、 X上の非ゼロ有理関数fの因子は次数ゼロである。^[8]結果として、射影曲線X の次数は準同型 deg: Cl( X ) → Zを与える。

• 体k上の射影直線P ¹の場合、次数は同型 Cl( P ¹ ) ≅ Z を与える。k -有理点を持つ任意の滑らかな射影曲線X の場合、次数準同型は射影的であり、核はXのヤコビ多様体上のk -点の群（Xの種数に等しい次元のアーベル多様体）に同型である。例えば、複素楕円曲線の因子類群は非可算なアーベル群となる。

• 前の例を一般化すると、体k上の任意の滑らかな射影多様体Xで、 X がk有理点を持つものに対して、因子類群 Cl( X ) は、連結群スキーム^[9]のk点の群による有限生成アーベル群であるネロン–セヴェリ群の拡張です。 kが標数 0 の場合、はアーベル多様体、つまりXのピカール多様体です。 ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.}$${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}}$

• 数体の整数環Rに対して、因子類群 Cl( R ) := Cl(Spec R ) はRのイデアル類群とも呼ばれます。これは有限アーベル群です。イデアル類群を理解することは代数的整数論の中心的な目標です。

• 

  X を、体上のアフィン 3 次元空間で方程式xy = z ^{2によって定義される次元 2 の}2 次錐とします。すると、 x = z = 0によって定義されるXの直線D は、原点の近くではX上の主直線ではありません。 D は、 X上の 1 つの方程式、つまりx = 0 によって集合として定義できますが、 X上の関数x はDに沿って 2 の位数まで消えるため、 2 DがX上のカルティエ (以下に定義) であることしかわかりません。実際、因子類群 Cl( X ) は、 Dの類によって生成される巡回群Z /2 と同型です。^[10]

• X を、体上のアフィン 4 次元空間で方程式xy = zwによって定義される 3 次元の 2 次円錐とします。すると、 x = z = 0によって定義されるX内の平面D は、集合としても、原点近くの 1 つの方程式によってX内に定義することはできません。したがって、 D はX上のQ-カルティエではありません。つまり、Dの正の倍数はカルティエではありません。実際、因子類群 Cl( X ) は、 Dの類によって生成される整数Zと同型です。^[11]

X を完全体上の正規多様体とする。Xの滑らかな軌跡Uは、補集合が少なくとも 2 の余次元を持つ開集合である。j : U → Xを包含写像とすると、制限準同型写像は次のようになる。

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)}$

は同型です。なぜなら、X − U はXにおいて少なくとも 2 の余次元を持つからです。たとえば、この同型を使ってXの標準因子 K _{X を}定義できます。これは、 U上の最高次数の微分形式の直線束に対応する Weil 因子です (線型同値性を除く) 。同様に、 X上の層は、n がXの次元である直接像層です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$ ${\displaystyle j_{*}\Omega _{U}^{n},}$

例: X = P ^{n を}同次座標x ₀ , ..., x _nの射影n空間とします。U = { x ₀ ≠ 0} とします。すると、U は座標y i ₌ x i _/ x 0_のアフィンn空間と同型になります。

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.}$

すると ω はU上の有理微分形式となる。つまり、Z _i = { x _i = 0}, i = 1, ..., nに沿って単極を持つ有理切断となる。別のアフィンチャートに切り替えると ω の符号のみが変わるので、 ω はZ ₀に沿っても単極を持つことがわかる。したがって、 ω の約数は ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}$

そしてその因子類は

${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]}$

ここで [ H ] = [ Z _i ], i = 0, ..., nです。(オイラー数列も参照してください。)

Xを整列ノイザンスキームとする。するとXは有理関数の層を持つ。すべての正規関数は有理関数であり、短い完全列が導かれる。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

X上のカルティエ因子はの大域切断である。同等の記述は、カルティエ因子はの開被覆である集合であり、 の切断であり、の切断による乗算までである。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle X,f_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle U_{i},}$${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

カルティエ因子にも層理論的記述がある。分数イデアル層は のサブモジュールである。分数イデアル層Jが可逆であるとは、 X内の各xに対して、 xの開近傍U が存在し、そこでJのUへの制限が に等しく、積がで取られている場合である。各カルティエ因子は、カルティエ因子のコレクションとしての記述を使用して可逆な分数イデアル層を定義し、逆に、可逆な分数イデアル層はカルティエ因子を定義する。カルティエ因子がDと表記される場合、対応する分数イデアル層はまたはL ( D ) と表記される。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

上記の正確な列により、層コホモロジー群の正確な列が存在します。

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

カルティエ因子は、準同型の像、つまりX上の有理関数の因子である場合に主因子であると言われる。2 つのカルティエ因子は、それらの差が主である場合に線型同値である。整式ノイザン図法X上のすべての直線束L は、何らかのカルティエ因子の類である。結果として、上記の正確なシーケンスは、整式ノイザン図法X上の直線束のピカール群を、線型同値性を法とするカルティエ因子の群と同一視する。これは、より一般的には、縮小ノイザン図法、またはノイザン環上の準射影図法に対して成立するが^{[12] 、一般には成立しない可能性があり (} C上の適切な図法であっても)、これにより、カルティエ因子の完全な一般性に対する関心が薄れる。^[13]${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$

Dは実効カルティエ因子であると仮定する。すると、短い完全列が存在する。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

このシーケンスは、 XとDの構造層とDのイデアル層を関連付ける短完全シーケンスから導出されます。 D はカルティエ因子であるため、は局所的に自由であり、したがって、シーケンスを でテンソル化すると、上記のような別の短完全シーケンスが生成されます。Dが滑らかな場合、はXにおけるDの正規バンドルです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle O_{D}(D)}$

ヴェイユ因子D は、層が可逆である場合に限りカルティエ因子であるといわれる。この場合、 ( M _Xへの埋め込みとともに) はカルティエ因子に関連付けられた線束である。より正確には、が可逆である場合、開被覆 { U _i } が存在し、これを各開集合上の自明なバンドルに制限する。各U _iについて、同型写像を選択する。この写像によるの像は、 U _i上の の切断である。は有理関数の層のサブ層として定義されているため、 1 の像はある有理関数f _iと同一視される。すると、その集合はカルティエ因子になる。これは、被覆と同型写像の選択のみで、どちらもカルティエ因子を変更しないため、明確に定義されている。このカルティエ因子を使用して層を生成することができ、区別のためにこれをL ( D ) と表記する。開被覆{ U _i }に作用して定義されるL ( D )の同型が存在する。ここで確認すべき重要な事実は、およびL ( D )の遷移関数が互換性があり、これはこれらの関数がすべて次の形式を持つという事実に等しい。${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.}$${\displaystyle 1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle f_{i}/f_{j}.}$

反対に、整式ノイザンスキームX上のカルティエ因子は、開集合U _i上の関数f _iに適用することで、自然な方法でX上のヴェイユ因子を決定します。 ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$${\displaystyle \operatorname {div} }$

Xが正規の場合、カルティエ因子は関連するヴェイユ因子によって決定され、ヴェイユ因子は、局所的に主因子である場合に限りカルティエ因子となります。

ネータースキームX は、Xのすべての局所環が一意の因数分解領域である場合に階乗と呼ばれます。^[5]（一部の著者は「局所的に階乗」と言います。）特に、すべての正規スキームは階乗です。^[14]階乗スキームXでは、すべてのヴェイユ因子D は局所的に主であり、したがって常に線束です。^[7]ただし、一般に、正規スキーム上のヴェイユ因子は局所的に主である必要はありません。上記の2次錐の例を参照してください。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

有効カルティエ因子は、理想層に対応する因子です。実際、有効カルティエ因子の理論は、有理関数の層や分数理想層を参照せずに展開できます。

X をスキームとする。 X上の有効カルティエ因子は、イデアル層Iであり、これは可逆であり、X内のすべての点xに対して茎I _xが主である。これは、各xの周りに、 U ∩ D = Spec A / ( f )となる開アフィン部分集合U = Spec Aが存在することを要求するのと同等である。ここでf はA内の非ゼロ因子である。2 つの有効カルティエ因子の和は、イデアル層の乗算に対応する。

有効カルティエ因子の族に関する優れた理論があります。φ : X → Sを射とします。S上のXの相対有効カルティエ因子は、 S上で平坦なX上の有効カルティエ因子Dです。平坦性仮定により、任意の に対してDから への引き戻しがあり、この引き戻しが有効カルティエ因子です。特に、これは φ のファイバーに当てはまります。 ${\displaystyle S'\to S,}$${\displaystyle X\times _{S}S',}$

（大）カルティエ因子の基本的な結果として、小平の補題と呼ばれる結果がある：^{[15] [16]}

X を既約射影多様体とし、D をX上の大カルティエ因子とし、H をX上の任意の有効カルティエ因子とする。すると

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$。

十分に大きいすべての に対して。${\displaystyle m\in N(X,D)}$

小平の補題は大きな約数に関するいくつかの結果を与える。

φ : X → Yを整数局所ノイザンスキームの射とする。φ を使用して因子D をあるスキームから別のスキームに転送することは、多くの場合 (常に可能というわけではないが) 可能である。これが可能かどうかは、因子が Weil 因子か Cartier 因子か、因子をXからYに移動するかその逆か、および φ がどのような追加の特性を持つかによって決まる。

Z がX上の素数ヴェイユ因子である場合、 はYの閉じた既約部分スキームです。 φ に依存して、素数ヴェイユ因子である場合とそうでない場合があります。たとえば、 φ が平面上の点の爆発であり、Z が例外因子である場合、その像はヴェイユ因子ではありません。したがって、 φ _* Z は、その部分スキームが素因子である場合にと定義され、そうでない場合はゼロ因子として定義されます。これを線形性によって拡張すると、X が準コンパクトであると仮定して、プッシュフォワードと呼ばれる準同型Div( X ) → Div( Y )が定義されます。( X が準コンパクトでない場合、プッシュフォワードは局所有限和にならない可能性があります。) これは、Chow 群上のプッシュフォワードの特殊なケースです。 ${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$

Z がカルティエ因子である場合、 φ に関する軽度の仮定の下では、引き戻し が 存在します。層理論的には、引き戻しマップ が存在する場合、この引き戻しを使用してカルティエ因子の引き戻しを定義できます。局所セクションに関して、 の引き戻しはと定義されます。引き戻しは φ が優勢である場合に常に定義されますが、一般には定義できません。たとえば、X = Zで φ がZのYへの包含である場合、対応する局所セクションがどこでもゼロになるため、 φ ^* Zは定義されません。(ただし、対応する直線束の引き戻しは定義されます。) ${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$

φ が平坦であれば、ヴェイユ因子の引き戻しが定義されます。この場合、Zの引き戻しはφ ^* Z = φ ⁻¹ ( Z )です。 φ が平坦であることは、 Zの逆像が引き続き余次元 1 を持つことを保証します。これは、小さな縮約など、平坦でない射では失敗する可能性があります。

整ネータースキームXに対して、カルティエ因子群からヴェイユ因子群への自然準同型は、準同型

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

第一チャーン類として知られる。^{[17] [18]}第一チャーン類は、Xが正規のとき単射であり、Xが階乗のとき同型である（上で定義したとおり）。特に、カルティエ因子は任意の正則スキーム上のヴェイユ因子と同一視できるため、第一チャーン類はXが正則なとき同型である。

明示的には、最初のチャーン類は次のように定義できます。整式ノイザンスキームX上の直線束Lについて、s をLの非ゼロ有理切断（つまり、 Lの空でない開部分集合上の切断）とし、 Lの局所自明性によって存在するものとします。有理関数の因子からの類推により、X上のWeil 因子 ( s )を定義します。すると、 Lの最初のチャーン類は因子 ( s )として定義できます。有理切断s を変更すると、この因子は線型同値によって変更されます。これは、非ゼロ有理関数fとLの非ゼロ有理切断sに対して、 ( fs ) = ( f ) + ( s ) であるためです。したがって、 Cl( X ) の元c ₁ ( L ) は明確に定義されます。

必ずしもC上で滑らかであったり適切である必要のないn次元の複素多様体Xに対して、因子類群からボレル・ムーアホモロジーへの自然な準同型、サイクル写像が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

後者の群は、 Xの複素点の空間X ( C )とその古典的 (ユークリッド) 位相を使って定義されます。同様に、ピカール群は、位相的な意味での最初のチャーン類によって、 積分コホモロジーに写像されます。

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

2つの準同型は可換図式によって関連しており、右垂直写像はボレル・ムーアホモロジーにおける Xの基本類とのキャップ積である。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

C上の滑らかなXの場合、両方の垂直写像は同型です。

カルティエ因子は、その局所定義関数f _iが正則関数（単なる有理関数ではない）である場合に有効である。その場合、カルティエ因子は、 Xの余次元 1 の閉じた部分スキーム、つまりf _i = 0によって局所的に定義される部分スキームと同一視できる。カルティエ因子D は、その関連する直線束が非ゼロのグローバル断面sを持つ場合に限り、有効因子と線型同値である。この場合、D はsのゼロ軌跡と線型同値である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

X を体k上の射影多様体とする。すると、 の大域切断にkの非零スカラーを乗じても、零位置は変化しない。その結果、大域切断のkベクトル空間内の直線の射影空間H ⁰ ( X , O ( D )) は、 Dに線型同値な有効因子の集合、つまりDの完全線型系と同一視できる。この射影空間の射影線型部分空間は、線型因子系と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

直線束の大域的切断の空間を研究する理由の 1 つは、与えられた多様体から射影空間への可能な写像を理解することである。これは代数多様体の分類にとって重要である。明示的には、多様体Xから体k上の射影空間P ⁿへの射影は、標準直線束のP ⁿへの引き戻しであるX上の直線束L を決定する。さらに、Lには基底位置(零点集合の交差) が空であるn +1 個の切断が伴う。逆に、共通の基底位置が空であるn +1 個の大域的切断を持つ直線束L は、射X → P ^{n を}決定する。^{[19]これらの観察から、カルティエ因子 (または直線束) の}正値性に関するいくつかの概念、たとえば十分な因子やネフ因子が導かれる。^[20]${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

体k上の射影多様体X上の因子Dに対して、kベクトル空間H ⁰ ( X , O ( D )) は有限次元を持ちます。リーマン・ロッホの定理は、 X が射影曲線である場合にこのベクトル空間の次元を計算するための基本的なツールです。その後の一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理とグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、体上の任意の次元の射影多様体Xに対するH ⁰ ( X , O ( D ))の次元に関する情報を与えます。

標準因子は多様体に本質的に関連しているため、多様体の分類において、K _Xとその正の倍数によって与えられる射影空間への写像が重要な役割を果たします。XのKodaira次元は重要な双有理不変量であり、 mが増加するにつれてベクトル空間H ⁰ ( X , mK _X ) (つまりH ⁰ ( X , O ( mK _X ))) がどれだけ増加するかを測定します。Kodaira 次元は、すべてのn次元多様体をn +2 のクラスに分割します。これらのクラスは (非常に大まかに) 正の曲率から負の曲率までになります。

X を正規多様体とする。(Weil) Q因子は、有理係数を持つXの既約余次元 1 部分多様体の有限形式線形結合である。( R因子も同様に定義される。) Q因子は、係数が非負の場合に有効である。Q因子Dは、 mD が何らかの正の整数mに対するカルティエ因子である場合にQ カルティエである。Xが滑らかである場合、すべてのQ因子はQカルティエである。

もし

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

がQ除数である場合、その切り捨ては除数である

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

ここで はa以下の最大の整数である。層は次のように定義される。${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

レフシェッツ超平面定理は、少なくとも4次元の滑らかな複素射影多様体XとX内の滑らかな十分な因子 Yに対して、制限 Pic( X ) → Pic( Y ) が同型であることを意味します。たとえば、Y が複素射影空間内の少なくとも3次元の滑らかな完全な交差多様体である場合、 Yのピカール群は、射影空間上の直線束O (1) の制限によって生成されるZと同型です。

グロタンディークは、任意の基底体、特異多様体、射影多様体ではなく局所環上の結果を含む、いくつかの方向にレフシェッツの定理を一般化した。特に、Rが、最大で 3 の余次元の階乗である完全交差局所環である場合 (たとえば、 Rの非正規軌跡が少なくとも 4 の余次元を持つ場合)、R は一意の因数分解領域である (したがって、Spec( R )上のすべてのヴェイユ因子はカルティエである)。 ^[21]ここでの次元の境界は、上記の 3 次元二次円錐の例で示されているように最適である。

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