正規バンドル

数学において、体上の 次元の非特異代数多様体の標準バンドルは直線バンドルであり、これは上の余接バンドルの番目の外冪です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \,\!\オメガ ^{n}=\オメガ }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle V}$

複素数上では、これは正則余接バンドルの行列式バンドルです。同様に、これは上の正則 -形式の直線バンドルです。これは上のセール双対性の双対化オブジェクトです。これは可逆層と見なすこともできます。 ${\displaystyle T^{*}V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

標準類は、標準バンドルを生成する上のカルティエ因子の因子類です。つまり、上の線型同値性の同値類であり、その中の任意の因子は標準因子と呼ぶことができます。反標準因子は、標準である任意の因子 − です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

反標準バンドルは対応する逆バンドル です。 の反標準バンドルが十分なとき、はファノ多様体と呼ばれます。 ${\displaystyle \omega^{-1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

が滑らかな多様体で、が上の滑らかな因子であるとする。 の付則公式はとの標準バンドルを関連付ける。 これは自然な同型である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

標準的なクラスに関しては、

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

この公式は代数幾何学で最も強力な公式の 1 つです。現代の双有理幾何学の重要なツールは、随伴 の反転であり、これにより の特異点に関する結果を の特異点から推論することができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$

を正規曲面とします。 の種数ファイバ化は、となるような滑らかな曲線への適切な平坦射影です。が滑らかな射影曲面であり、のファイバに自己交差の有理曲線が含まれていない場合、このファイバ化は極小 と呼ばれます。たとえば、 が（極小）種数 0 のファイバ化を許容する場合、 は双有理的に支配され、つまり に対して双有理です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f:X\to B}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{B}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times B}$

種数 1 の極小ファイバ分割 (楕円ファイバ分割とも呼ばれる)では、のファイバは有限個を除いてすべて幾何学的に整列しており、すべてのファイバは幾何学的に連結されています (ザリスキの連結性定理による)。特に、のファイバでは、 が成り立ちます。ここでは の標準因子です。したがって では、が幾何学的に整列している場合、 であり、それ以外の場合は です。 ${\displaystyle f:X\to B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F.E_{i}=K_{X}.E_{i}=0,}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m=\operatorname {gcd} (a_{i})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle m>1}$

種数1の極小ファイバ化を考える。を幾何学的に整数でない有限個のファイバとし、 を整数成分に展開した係数の最大公約数として書く。これらは多重ファイバと呼ばれる。コホモロジーと基底変換により、が得られる。ここで は可逆層であり、 はねじれ層である（はとなるように でサポートされている）。すると、 が得られる。 ${\displaystyle f:X\to B}$${\displaystyle F_{1},\dots ,F_{r}}$${\displaystyle F_{i}=m_{i}F_{i}^{'}}$${\displaystyle m_{i}>1}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle R^{1}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle h^{0}(X_{b},{\mathcal {O}}_{X_{b}})>1}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong f^{*}({\mathcal {L}}^{-1}\otimes \omega _{B})\otimes {\mathcal {O}}_{X}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}F_{i}'\right)}$

ここで、それぞれおよびで ある 。^[1]${\displaystyle 0\leq a_{i}<m_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {deg} \left({\mathcal {L}}^{-1}\right)=\chi ({\mathcal {O}}_{X})+\operatorname {length} ({\mathcal {T}})}$

${\displaystyle \operatorname {length} ({\mathcal {T}})=0\iff a_{i}=m_{i}-1}$。

たとえば、アルバネーゼ写像によって誘導される（準）双楕円面の種数 1 の極小ファイバ化の場合、標準バンドル公式により、このファイバ化には多重ファイバがないことがわかります。同様の推論は、 K3 面の任意の種数 1 の極小ファイバ化に対して行うことができます。一方、エンリケス面の種数 1 の極小ファイバ化は常に多重ファイバを許容するため、このような面は切断を許容しません。

特異多様体 上では、標準因子を定義する方法がいくつかある。多様体が正規多様体であれば、余次元 1 で滑らかである。特に、滑らかな軌跡 上で標準因子を定義することができる。これにより、上の一意のWeil 因子類が得られる。 で表されるこの類は、上の標準因子と呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle X.}$

あるいは、再び正規多様体 上で、の正規化された双対化複体の番目のコホモロジーを考えることができます。この層は、上で定義した因子類に等しいWeil 因子類に対応します。正規性仮説がない場合、が S2 でGorenstein が1 次元の場合にも同じ結果が成り立ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle h^{-d}(\omega _{X}^{.})}$${\displaystyle -d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle X}$

正準類が有効である場合、それはVから射影空間への有理写像を決定します。この写像は正準写像と呼ばれます。正準類のn乗によって決定される有理写像はn -正準写像です。n -正準写像は、正準類のn乗の大域切断の次元より 1 小さい次元の射影空間にV を送ります。 n -正準写像は基点を持つ場合があり、これはそれがどこでも定義されているわけではないことを意味します (つまり、それらは多様体の射ではない可能性があります)。それらは正の次元のファイバーを持つ場合があり、ゼロ次元のファイバーを持つ場合でも、局所解析同型である必要はありません。

最もよく研​​究されているのは曲線の場合である。ここでは、正準バンドルは（正則）余接バンドルと同じである。したがって、正準バンドルの大域切断は、どこでも正則な微分形式と同じである。古典的には、これらは第一種微分と呼ばれていた。種数gの曲線の場合、正準類の次数は 2 g − 2である。^[2]

C が種数gの滑らかな代数曲線であるとする。gが 0 の場合、C はP ¹であり、標準類は −2 Pの類である。ここでPはCの任意の点である。これは、たとえばリーマン球面上の原点に二重極を持つ有理型微分である、微積分公式d (1/ t ) = − dt / t ²から導かれる。特に、K _Cとその倍数は有効ではない。gが 1 の場合、C は楕円曲線であり、K _{C は}自明バンドルである。自明バンドルの大域セクションは 1 次元ベクトル空間を形成するため、任意のnに対するn標準写像は点への写像である。

C が種数 2 以上の場合、正準類は大きいので、任意のn正準写像の像は曲線になります。1 正準写像の像は正準曲線と呼ばれます。種数gの正準曲線は常に次元g − 1の射影空間にあります。^[3] Cが超楕円曲線の場合、正準曲線は有理正規曲線であり、C はその正準曲線の二重被覆です。たとえば、Pが次数 6 の多項式 (重根なし) の場合、

y ² = P ( x )

は、必然的に超楕円となる種数2の曲線のアフィン曲線表現であり、第一種微分方程式の基底は同じ表記で次のように与えられる。

dx / √ P ( x )、   x dx / √ P ( x )。

これは、正準写像が射影直線への射影として同次座標[1: x ] によって与えられることを意味します。高種数の超楕円曲線の有理正規曲線は、 xの高次単項式と同様に生じます。

それ以外の場合、 gが少なくとも 3 である非超楕円Cに対しては、射はCとその像の同型であり、次数は 2 g − 2 です。したがって、g = 3 の場合、標準曲線 (非超楕円の場合) は4 次平面曲線です。すべての非特異平面 4 次曲線はこのようにして生じます。標準曲線が2 次曲面と3 次曲面の交差であるg = 4 の場合、および3 つの 2 次曲面の交差であるg = 5 の場合については明示的な情報があります。[ ^{3]逆があり、これは}リーマン–ロッホの定理の系です。種数gの非特異曲線C を次数 2 g − 2 の線型正規曲線として次元g − 1の射影空間に埋め込んだ場合、その線型スパンが空間全体である場合、それは標準曲線です。実際、正準曲線C ( gが少なくとも 3 の非超楕円曲線の場合)、リーマン・ロッホ、および特殊因子の理論の関係はかなり密接です。異なる点からなるC上の有効因子D は、それらが移動する線形システムの次元に直接関連する次元を持つ正準埋め込みの線形スパンを持ちます。さらに議論すれば、これは重複度を持つ点の場合にも当てはまります。^{[4] [5]}

gの値が大きくなると、より詳細な情報が得られますが、このような場合、標準曲線は一般に完全な交差とはならず、説明には可換代数のさらなる考慮が必要になります。この分野はマックス・ノイマンの定理から始まりました。標準曲線として埋め込まれたC を通る二次曲面の空間の次元は( g − 2)( g − 3)/2です。^[6] ペトリの定理は、1923年にカール・ペトリ（1881–1955）によって発表され、この名前でよく引用される定理であるが、これはgが4以上であれば、標準曲線を定義する同次イデアルは、(a)三角曲線の場合と(b) g = 6のときの非特異平面五次関数の場合を除いて、その2次元によって生成されることを述べている。例外的な場合には、イデアルは2次元と3次元によって生成される。歴史的に言えば、この結果はペトリ以前に広く知られており、バベッジ-チジーニ-エンリケスの定理（証明を完成させたデニス・バベッジ、オスカー・チジーニ、フェデリゴ・エンリケスにちなんで）と呼ばれてきた。この結果はノイマン-エンリケスの定理とも呼ばれているため、用語が混乱している。超楕円の場合以外では、ノイマンは（現代の言葉で）正準バンドルが正規生成であることを証明した。つまり、正準バンドルの切断空間の対称冪は、そのテンソル冪の切断に写像される。 ^{[7] [8]}これは、例えば、第一種微分によってそのような曲線上の二次微分が生成されることを意味する。そして、これは局所的なトレリの定理に影響を与える。^[9]ペトリの研究は、実際にイデアルの明示的な二次および三次生成子を提供し、例外を除けば三次生成子は二次方程式で表現できることを示した。例外的な場合には、二次方程式と正準曲線の交差は、それぞれ線織面とヴェロネーゼ面である。

これらの古典的な結果は複素数に対して証明されたが、現代の議論では、この手法は任意の特性を持つ体に対しても機能することが分かっている。^[10]

Vの標準環は次数付き環である

${\displaystyle R=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,K_{V}^{d}).}$

Vの正準類が十分な直線束である場合、正準環は正準写像の像の同次座標環です。これは、 Vの正準類が十分でない場合でも当てはまります。たとえば、V が超楕円曲線である場合、正準環は再び正準写像の像の同次座標環です。一般に、上記の環が有限生成である場合、それがk正準写像の像の同次座標環であることが簡単にわかります。ここで、kは十分に割り切れる正の整数です。

極小モデルプログラムは、すべての滑らかな、または弱特異な射影多様体の正準環が有限生成であると提案した。特に、これは、V を吹き飛ばすことで構成できる弱特異点を持つVの特定の双有理モデルである正準モデルの存在を意味することが知られていた。正準環が有限生成である場合、正準モデルは正準環のProjである。正準環が有限生成でない場合、Proj R は多様体ではないため、 Vに対して双有理にはならない。特に、V は正準モデルを許容しない。Vの正準因子Kがnef因子であり、Kの自己交差が0 より大きい場合、V は正準モデルを許容することを示すことができる (より一般的には、これは通常の完全なゴレンシュタイン代数空間^[11]に対して真である)。^[12]

2006年のBirkar-Cascini-Hacon-McKernanの基本定理^[13]は、滑らかな、あるいは軽度特異な射影代数多様体の標準環が有限生成であるというものである。

Vの小平次元は、標準環の次元から 1 を引いたものです。ここで、標準環の次元は、クルル次元または超越次数を意味すると解釈できます。

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