エタール位相

代数幾何学において、エタール位相はスキームの圏上のグロタンディーク位相であり、ユークリッド位相と類似した性質を持つが、ユークリッド位相とは異なり、正標数で定義される。エタール位相はもともとアレクサンダー・グロタンディークによってエタールコホモロジーを定義するために導入され、これが現在でもエタール位相の最もよく知られた用途である。

任意のスキームXに対して、Ét( X )を、スキームからXへのすべてのエタール射の圏とする。これは、 Xの開部分集合の圏(すなわち、対象が多様体であり、射が開埋め込みである圏) の類似物である。その対象は、非公式にはXのエタール開部分集合と考えることができる。2 つの対象の共通部分は、X上のファイバー積に対応する。Ét( X ) は大きな圏であり、その対象は集合を形成しない。

X上のエタール前層は、 Ét( X ) から集合の圏への反変関手です。前層Fは、位相空間上の層の通常の接着条件の類似を満たす場合にエタール層と呼ばれます。つまり、 Fがエタール層であるのは、次の条件が真である場合のみです。U → Xが Ét( X )の対象であり、 U _i → UがX上のエタール射の共同全射族であるとします。各iについて、U _i上のFの切断x _iを選択します。射影写像U _i × U _j → U _iは、大まかに言えばU _iとU _jの共通部分をU _iに含めるものであり、制限写像F ( U _i ) → F ( U _i × U _j )を誘導します。すべてのiとjに対して、x _iとx _jのU _i × U _jへの制限が等しい場合、すべてのiに対してx _iに制限するU上のFの一意のセクションx が存在するはずです。

Xをネーター的スキームとする。X上のアーベル的エタール層Fは、 Xのエタール被覆で表現できる表現可能関手である場合、有限局所定数と呼ばれる。Fの制限がそれぞれ有限局所定数であるような部分スキームの有限族でX を被覆できる場合、Fは構成可能と呼ばれる。F ( U ) がXのすべてのエタール被覆Uに対してねじれ群である場合、Fはねじれ群と呼ばれる。有限局所定数層は構成可能であり、構成可能な層はねじれ群である。すべてのねじれ層は、構成可能な層のフィルター付き帰納的極限である。

グロタンディークは、エタール位相を定義するために、グロタンディーク位相とトポイの仕組みを最初に導入しました。この言語では、エタール位相の定義は簡潔ですが抽象的です。それは、被覆族がエタール射の共同全射族である前位相によって生成される位相です。Xの小さなエタール サイトは、固定されたエタール射U → Xを持つスキームUを対象とする圏O ( X _ét ) です。射は、X への固定写像と互換性のあるスキームの射です。Xの大きなエタール サイトは、エタール位相で考えられた、Xへの固定写像を持つスキームの圏である圏 Ét/ Xです。

エタール位相は、少し少ないデータで定義できます。まず、エタール位相はザリスキ位相よりも細かいことに注意してください。したがって、スキームXのエタール被覆を定義するには、まずX を開アフィン部分スキームで被覆する、つまりザリスキ被覆を取り、次にアフィンスキームのエタール被覆を定義すれば十分です。アフィンスキームXのエタール被覆は、すべてのαの集合が有限であり、各X _αがアフィンであり、各u _αがエタールであるような、同時全射族 { u _α  : X _α → X }として定義できます。すると、 Xのエタール被覆は、基底をXの任意の開アフィン部分スキームに変更した後にエタール被覆になる族 { u _α : X _α → X } になります。 

X をエタール位相を持つスキームとし、X の点 x を固定する。ザリスキ位相では、xにおけるXの茎は、xのすべてのザリスキ開近傍上の構造層の切断の直接極限を取ることによって計算される。エタール位相では、xの開近傍は厳密に多く存在するため、 xにおける局所環の正しい類似物は、厳密に大きな族の極限を取ることによって形成される。エタール位相におけるxにおける局所環の正しい類似物は、局所環の厳密なヘンゼル化であることがわかる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ 通常は次のように表記されます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}^{\text{sh}}}$。

• 各エタール射について${\displaystyle U\to X}$、 させて$\displaystyle \mathbb {G} _{m}(U)={\mathcal {O}}_{U}(U)^{\times }}$。 それから${\displaystyle U\mapsto \mathbb {G} _{m}(U)}$はX上の前層です。 は、 スキームで表現できるので層です。${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {O}}_{X}[t,t^{-1}])}$。

X をスキームとする。Xのエタール被覆は族である。${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to X\}_{i\in I}}$それぞれ$\displaystyle \varphi _{i}}$はスキームのエタール射であり、族は共同全射である。${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}(U_{i})}$。

圏 Ét( X ) は、 X上のすべてのエタール スキームの圏です。X上のエタール スキームUのすべてのエタール被覆の集合、すなわち Ét( X )内の対象は、Ét( X ) 上にグロタンディーク前位相を定義し、それがさらにグロタンディーク位相、すなわちX上のエタール位相を誘導します。この圏と、その上のエタール位相を合わせて、X上のエタール サイトと呼びます。

エタール・トポス${\displaystyle X^{\text{ét}}}$スキームXのエタール層は、サイト Ét( X )上のすべての集合層のカテゴリです。このような層は、 X上のエタール層と呼ばれます。言い換えれば、エタール層は$\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、次の層公理を満たす集合の圏 Ét( X ) からの（反変）関手です。

X上の各エタールUおよび各エタール被覆について${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to U\}}$Uのシーケンス

$\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}(U)\to \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{ij})}$

は正確で、${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{U}U_{j}}$。

• ニスネビッチ位相
• 滑らかなトポロジー
• ℓ進層
• エタールスペクトル

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1964)。「幾何学的手法の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、プレミア パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２０．土井：10.1007/bf02684747。MR 0173675 ​​。 
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。「幾何学的計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。３２．土井：10.1007/bf02732123。MR 0238860。 
• アーティン、マイケル(1972)。アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（編）。テオリ・デ・トポスとコホモロジー・エテール・デ・スキーマ。数学の講義ノート（フランス語）。 Vol.  270.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 pp.iv  +418。土井：10.1007/BFb0061319。ISBN 978-3-540-06012-3。
• アーティン、マイケル(1972)。アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（編）。テオリ・デ・トポスとコホモロジー・エテール・デ・スキーマ。数学の講義ノート（フランス語）。 Vol.  305.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 pp.vi  +640。土井：10.1007/BFb0070714。ISBN 978-3-540-06118-2。
• ドリーニュ、ピエール（ 1977）。コホモロジー・エタール。数学講義録（フランス語）。第569巻。ベルリン ；ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。pp.  iv+312。doi ：10.1007/ BFb0091516。ISBN 978-3-540-08066-4。
• JS ミルン (1980)、エタール コホモロジー、ニュージャージー州プリンストン: Princeton University Press、ISBN 0-691-08238-3
• JS ミルン (2008)。エタールコホモロジーの講義