普遍的な財産

させて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$ベクトル空間の圏とする${\displaystyle K}$-フィールド上のベクトル${\displaystyle K}$そして${\displaystyle {\mathcal {D}}}$代数の圏である${\displaystyle K}$-Alg over${\displaystyle K}$（単位元と結合法則を満たすと仮定する）。 $${\displaystyle U:K{\text{-}}\mathbf {Alg} \to K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$$各代数にその基礎となるベクトル空間を割り当てる、忘れっぽい関手 である。

任意のベクトル空間が与えられた場合${\displaystyle V}$以上${\displaystyle K}$テンソル代数を構築することができる${\displaystyle T(V)}$テンソル代数の特徴は以下のとおりである。

「${\displaystyle V}$代数へ${\displaystyle A}$代数準同型に一意的に拡張できる${\displaystyle T(V)}$に${\displaystyle A}$」

この記述は、ペアが${\displaystyle (T(V),i)}$、 どこ${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$は包含写像であり、 はベクトル空間からの普遍射である。${\displaystyle V}$ファンクターへ${\displaystyle U}$。

この構成は任意のベクトル空間で機能するため${\displaystyle V}$結論として、${\displaystyle T}$はファンクターです ${\displaystyle K}$-ベクトル${\displaystyle K}$-Alg。これはつまり${\displaystyle T}$忘却関手に左随伴する${\displaystyle U}$（随伴関手との関係については、下記のセクションを参照してください。）

カテゴリー積は、普遍的な構成によって特徴づけることができる。具体例としては、集合におけるデカルト積、群における直積、あるいは積が存在する頂点における積位相などが挙げられる。

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$あるカテゴリーのオブジェクトである$\displaystyle {\mathcal {C}}}$有限積を持つ。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$オブジェクトです${\displaystyle X}$×${\displaystyle Y}$2つの射とともに

$\displaystyle \pi _{1}}$ :${\displaystyle X\times Y\to X}$

$\displaystyle \pi _{2}}$ :${\displaystyle X\times Y\to Y}$

他のオブジェクトに対して${\displaystyle Z}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}}$射${\displaystyle f:Z\to X}$そして${\displaystyle g:Z\to Y}$一意の射が存在する${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$そのため${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$そして${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$。

この特徴づけを普遍的な性質として理解するために、カテゴリーを取り上げます。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$製品カテゴリーとなる$\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$そして対角関数を定義する

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}

による${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$そして${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$。 それから${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle \Delta }$対象物へ${\displaystyle (X,Y)}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$： もし${\displaystyle (f,g)}$から任意の射は${\displaystyle (Z,Z)}$に${\displaystyle (X,Y)}$ならば、それは射に等しくなければならない${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$から${\displaystyle \デルタ (Z)=(Z,Z)}$ に${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$に続く${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$可換図式として：

Setのデカルト積の例では、射は${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$2つの投影から構成される${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$そして${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$任意の集合が与えられた場合${\displaystyle Z}$および機能${\displaystyle f,g}$必要な図式が可換となるような一意の写像は次のように与えられる。${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$[ ^{3 ]​}

圏論における積は、圏論における極限の一種である。上記の例は、任意の極限および余極限に一般化することができる。

させて${\displaystyle {\mathcal {J}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {C}}}$カテゴリーは${\displaystyle {\mathcal {J}}}$小さなインデックスカテゴリと${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$対応する関手圏とする。対角関手

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}

各オブジェクトをマッピングするファンクターです${\displaystyle N}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$定数関数へ${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$（つまり）${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$各${\displaystyle X}$で${\displaystyle {\mathcal {J}}}$そして${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$各${\displaystyle f:X\to Y}$で${\displaystyle {\mathcal {J}}}$）そして各射${\displaystyle f:N\to M}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$自然な変化へ${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$定義されるすべてのオブジェクトについて${\displaystyle X}$の${\displaystyle {\mathcal {J}}}$コンポーネント$${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$ で${\displaystyle X}$言い換えれば、自然変換とは定数成分を持つ変換のことである。${\displaystyle f:N\to M}$すべてのオブジェクトに対して${\displaystyle {\mathcal {J}}}$。

ファンクターが与えられた場合${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$（${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$）の限界${\displaystyle F}$、もしそれが存在するならば、それはからへの普遍射に他ならない。${\displaystyle \Delta }$に${\displaystyle F}$双対的に、${\displaystyle F}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle F}$に${\displaystyle \Delta }$。

量を定義することは、その量の存在を保証するものではありません。ファンクターが与えられた場合${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$そして物体${\displaystyle X}$の${\displaystyle {\mathcal {D}}}$普遍射が存在する場合もあれば、存在しない場合もある。${\displaystyle X}$に${\displaystyle F}$しかし、普遍射が${\displaystyle (A,u)}$が存在するならば、それは本質的に一意である。具体的には、一意の同型を除いて一意である。${\displaystyle (A',u')}$別のペアが存在する場合、一意の同型が存在する。 ${\displaystyle k:A\to A'}$そのため${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$これは、代入することで容易に確認できます。${\displaystyle (A,u')}$普遍射の定義において。

それはペアです${\displaystyle (A,u)}$これは本質的にこのような点で他に類を見ないものです。${\displaystyle A}$それ自体は同型を除いて一意である。実際、もし${\displaystyle (A,u)}$は普遍射であり、${\displaystyle k:A\to A'}$任意の同型写像が存在する場合、ペアは${\displaystyle (A',u')}$、 どこ${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$は普遍射でもある。

普遍射の定義は、さまざまな方法で言い換えることができる。${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ファンクターにして${\displaystyle X}$の対象となる${\displaystyle {\mathcal {D}}}$すると、以下の記述は同等である。

• ${\displaystyle (A,u)}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle X}$に${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$コンマカテゴリの初期オブジェクトです${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$は​​${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$その構成要素は${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$定義される

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

各オブジェクトについて${\displaystyle B}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

双対命題も同等である。

• ${\displaystyle (A,u)}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle F}$に${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$コンマカテゴリの終端オブジェクトです${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$は${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$その構成要素は${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$定義される

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

各オブジェクトについて${\displaystyle B}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

仮定する${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle X_{1}}$に${\displaystyle F}$そして${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle X_{2}}$に${\displaystyle F}$普遍射の普遍性により、任意の射が与えられた場合${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$一意の射が存在する${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$以下の図式が可換となるようにする。

すべてのオブジェクトが${\displaystyle X_{i}}$の${\displaystyle {\mathcal {D}}}$普遍射を許容する${\displaystyle F}$課題${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$そして${\displaystyle h\mapsto g}$ファンクターを定義する${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$地図${\displaystyle u_{i}}$次に、自然変換を定義します。${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$（${\displaystyle {\mathcal {D}}}$） に${\displaystyle F\circ G}$ファンクター${\displaystyle (F,G)}$は、 と が成り立つ随伴関手のペアである。${\displaystyle G}$左随伴${\displaystyle F}$そして${\displaystyle F}$右随伴${\displaystyle G}$。

同様の記述は、終端射の双対状況にも当てはまります。${\displaystyle F}$. すべてのに対してそのような射が存在する場合${\displaystyle X}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ファンクターが得られる${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$これは右に付随する${\displaystyle F}$（それで${\displaystyle F}$は左随伴である${\displaystyle G}$)

実際、随伴関手のすべてのペアは、このようにして普遍的構成から生じる。${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$単位を持つ随伴関手のペアである${\displaystyle \eta }$共同ユニット${\displaystyle \epsilon }$（定義については随伴関手 に関する記事を参照）。すると、各対象に対して普遍射が存在する。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {D}}}$:

• 各オブジェクトについて${\displaystyle X}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$、${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle X}$に${\displaystyle G}$つまり、すべての${\displaystyle f:X\to G(Y)}$ユニークな${\displaystyle g:F(X)\to Y}$以下の図式は可換である。
• 各オブジェクトについて${\displaystyle Y}$で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$、${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$は、からへの普遍射である。${\displaystyle F}$に${\displaystyle Y}$つまり、すべての${\displaystyle g:F(X)\to Y}$ユニークな${\displaystyle f:X\to G(Y)}$以下の図式は可換である。

普遍的構成は随伴関手ペアよりも一般的です。普遍的構成は最適化問題に似ています。この問題がすべての対象に対して解を持つ場合に限り随伴ペアが生成されます。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$（同等に、すべてのオブジェクト${\displaystyle {\mathcal {D}}}$)