フロベニウス準同型

可換代数と体論において、フロベニウス自己準同型（フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスに由来）は、素数特性p を持つ可換環の特殊な自己準同型であり、有限体を含む重要なクラスである。自己準同型は、すべての要素をそのp乗に写像する。特定のコンテキストでは自己同型であるが、一般にはそうではない。

R を素特性p を持つ可換環とする（例えば、正特性の整域は常に素特性を持つ）。フロベニウス自己準同型Fは次のように定義される。

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

Rのすべてのrに対して、Rの乗算が成り立ちます。

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}$

そしてF (1)も 1 です。さらに、Rの加算も考慮します。式( r + s ) ^{p は}二項定理を使用して展開できます。p は素数なので、 p を割り切れますが、 q < pの場合にはq を割り切れません。したがって、二項係数の明示的な式の分子は割り切れますが、分母は割り切れません。

${\displaystyle {\frac {p!}{k!(pk)!}},}$

1 ≤ k ≤ p − 1の場合。したがって、 r ^pとs ^{p を}除くすべての項の係数はpで割り切れるため、ゼロになります。^[1]したがって

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).}$

これは、Fが環準同型であることを示しています。

φ  : R → Sが特性pの環の準同型ならば、

${\displaystyle \varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.}$

F _RとF _{S が}RとSのフロベニウス自己準同型である場合、これは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .}$

これは、フロベニウス自己準同型が、特性p環のカテゴリ上の恒等関数からそれ自身への自然な変換であることを意味します。

環R が冪零元を持たない環である場合、フロベニウス自己準同型は単射です。つまり、F ( r ) = 0 はr ^p = 0を意味し、これは定義によりrが最大p の位数で冪零であることを意味します。実際、これは必要かつ十分です。なぜなら、 r が任意の冪零である場合、その冪の 1 つは最大p の位数で冪零になるからです。特に、R が体である場合、フロベニウス自己準同型は単射です。

フロベニウス写像は、 Rが体のときでも必ずしも全射ではありません。たとえば、K = F _p ( t )をp個の元と単一の超越元からなる有限体とします。これと同値で、K はF _pに係数を持つ有理関数の体です。するとFの像にはt が含まれません。もし t が含まれたとしたら、p 乗q ( t ) ^p / r ( t ) ^pがt に等しい有理関数q ( t ) / r ( t )が存在することになります。しかし、このp乗の次数（分子と分母の次数の差）はp deg( q ) − p deg( r )であり、これはpの倍数です。特に、 tの次数である 1 にはなり得ません。これは矛盾であるため、t はFの像には含まれません。

体K は、特性が 0 であるか、または正の特性を持ち、そのフロベニウス自己準同型が自己同型である場合に完全体と呼ばれます。たとえば、すべての有限体は完全体です。

有限体F _pについて考えます。フェルマーの小定理により、 F _pのすべての元x はx ^p = x を満たします。同様に、これは多項式X ^p − Xの根です。したがって、 F _pの元はこの方程式のp個の根を決定し、この方程式は次数pであるため、任意の拡大に対してp個を超える根を持つことはありません。特に、KがF _pの代数拡大（代数閉包または別の有限体など）である場合、F _{p は}Kのフロベニウス自己同型の固定体です。

R を特性p > 0の環とします。Rが整域であれば、同じ推論により、フロベニウスの不動点は素体の元になります。ただし、Rが整域でない場合、X ^p − X はp 個を超える根を持つ場合があります。たとえば、R = F _p × F _pの場合にこれが発生します。

同様の性質は、有限体上のフロベニウス自己同型のn番目の反復によっても得られます。 のすべての元は の根であるため、K がの代数拡大であり、FがKのフロベニウス自己同型である場合、F ⁿの固定体はです。R が-代数である領域である場合、フロベニウスのn番目の反復の不動点は の像の元です。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$

フロベニウス写像を反復すると、 R内の要素のシーケンスが得られます。

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .}$

この反復シーケンスは、フロベニウス閉包とイデアルの タイト閉包を定義するときに使用されます。

有限体の拡大のガロア群は、フロベニウス自己同型の反復によって生成される。まず、基底体が素体F _pである場合を考える。F _{q を}q個の元の有限体とし、q = p ⁿとする。 F _qのフロベニウス自己同型F は素体F _{p を}固定するため、ガロア群Gal( F _q / F _p )の元となる。実際、はq − 1個の元を持つ巡回体であるため、ガロア群は巡回体であり、Fは生成元であることがわかる。F ^{j は}元xに作用してそれをx ^{p j}に送り、体内にあるため多くの根しか持てないため、 Fの位数はnである。 F _qのすべての自己同型はFのべき乗であり、生成元はiがnと互いに素であるべき乗F ⁱである。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{\times }}$${\displaystyle x^{p^{j}}=x}$${\displaystyle p^{j}}$

ここで有限体F _{q ^{f を}}F _qの拡張として考えます。ここで、上記のように q = p n です。n > 1 の場合、F q f^のフロベニウス自己同型_F^は基底体F q を固定しませんが、_そのn番目の反復F ^{n は}固定します。ガロア群Gal( F _{q ^f}  / F _q )は、位数fの巡回群であり、F ⁿによって生成されます。これは、 F ⁿによって生成されるGal( F _{q ^f}  / F _p )の部分群です。 Gal( F _{q ^f}  / F _q )の生成元は、iがfと互いに素である冪F ni^です。

フロベニウス自己同型は絶対ガロア群の生成元ではない

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),}$

このガロア群は有限整数と同型であるため

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,}$

これらは巡回的ではない。しかし、フロベニウス自己同型はF _qの任意の有限拡大のガロア群の生成元であるため、絶対ガロア群の任意の有限商の生成元でもある。したがって、これは絶対ガロア群上の通常のクルル位相における位相的生成元である。

スキームのフロベニウス射を定義するには、いくつかの方法があります。最も基本的な方法は絶対フロベニウス射です。ただし、絶対フロベニウス射は基本スキームを考慮しないため、相対的な状況ではうまく動作しません。フロベニウス射を相対的な状況に適応させるには、いくつかの異なる方法があり、それぞれが特定の状況で役立ちます。

X が特性p > 0のスキームであると仮定します。 Xの開いたアフィン部分集合U = Spec Aを選択します。環AはF _p代数なので、フロベニウス自己準同型が存在します。V がUの開いたアフィン部分集合である場合、フロベニウスの自然性により、 U上のフロベニウス射は、 Vに制限されると、 V上のフロベニウス射になります。したがって、フロベニウス射は接着してXの自己準同型になります。この自己準同型は、 Xの絶対フロベニウス射と呼ばれ、F _Xと表記されます。定義により、これはXとそれ自体の同相写像です。絶対フロベニウス射は、 F _pスキームのカテゴリ上の恒等関数からそれ自体への自然な変換です。

XがS -スキームであり、 Sのフロベニウス射が恒等写像である場合、絶対フロベニウス射はS -スキームの射です。ただし、一般にはそうではありません。たとえば、環 を考えます。XとS は両方ともSpec Aに等しく、構造写像X → Sは恒等写像です。 A上のフロベニウス射はa をpに送ります。これは -代数の射ではありません。もしそうであれば、 の元bを掛けることは、フロベニウス自己準同型を適用することと交換^になります。しかし、これは正しくありません。なぜなら、 ${\displaystyle A=\mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.}$

前者はAが開始する-代数構造におけるbの作用であり、後者はフロベニウスによって誘導される の作用である。したがって、 Spec A上のフロベニウス射は-スキームの射ではない。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

絶対フロベニウス写像は、 p次純粋に不可分な写像です。その微分はゼロです。積が保存されます。つまり、任意の 2 つのスキームXとYに対して、F _{X × Y} = F _X × F _Yとなります。

φ  : X → S がSスキームXの構造射であるとします。基本スキームSにはフロベニウス射F _{S が}あります。 φ をF _Sと合成すると、フロベニウスによってスカラーの制限と呼ばれるSスキームX _Fが得られます。スカラーの制限は実際には関数です。なぜなら、S射X → Y はS射X _F → Y _{F を}誘導するからです。

例えば、特性p > 0の環AとA上の有限生成代数を考える。

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

AのRに対する作用は次のように表されます。

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },}$

ここで、 αは多重インデックスです。X = Spec Rとします。すると、X _{F は}アフィンスキームSpec Rですが、その構造射Spec R → Spec A、したがってAのRへの作用は異なります。

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.}$

フロベニウスによるスカラーの制限は単なる合成であるため、フロベニウス射に関する適切な仮定の下では、Xの多くの特性がX _Fに継承されます。たとえば、 XとS _{F が}両方とも有限型である場合、 X _Fも有限型です。

フロベニウスによるスカラーの拡張は次のように定義されます。

${\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.}$

S因子への射影により、 X ^{( p )は}Sスキームになります。文脈からSが明らかでない場合は、 X ^{( p )}はX ^{( p / S )}と表記されます。スカラーの制限と同様に、スカラーの拡張は関数です。S射X → YはS射X ^{( p )} → Y ( ^{p )}を決定し^ます。

前と同様に、環AとA上の有限生成代数R を考え、再びX = Spec Rとします。すると、次のようになります。

${\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.}$

X ^{( p )}のグローバルセクションは次の形式になります。

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},}$

ここで、α は多重指数であり、すべてのa _iαとb _iはAの要素です。このセクションに対する Aの要素cの作用は次のとおりです。

${\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}$

その結果、X ^{( p )は}次と同型となる。

${\displaystyle \operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

ここで、

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

それから：

${\displaystyle f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.}$

同様の記述は任意のA代数Rに対しても成り立ちます。

スカラーの拡張は基底変更であるため、極限と余積が保存されます。これは特に、X が有限の極限で定義された代数構造（グループスキームなど）を持つ場合、X ^{( p )}もそうなることを意味します。さらに、基底変更であるということは、スカラーの拡張が有限型、有限表現、分離、アフィンなどの性質を保存することを意味します。

スカラーの拡張は基底の変更に関して適切に動作します。射S ′ → Sが与えられた場合、自然な同型が存在します。

${\displaystyle X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.}$

X を構造射φを持つSスキームとします。Xの相対フロベニウス射は次の射です。

${\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}}$

プルバック X ^{( p )}の普遍的性質によって定義される（上の図を参照）。

${\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).}$

絶対フロベニウス射は自然であるため、相対フロベニウス射はSスキーム の射です。

たとえば、A代数を考えてみましょう。

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

我々は持っています：

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).}$

相対フロベニウス写像は次のように定義される準同型R ^{( p )} → Rである。

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.}$

相対フロベニウスは、 X ^{( p / S )} × _S S ′と( X × _S S ′) ^{( p / S ′)}の自然同型の下で、次の式が成り立つという意味で基底変換と互換性があります。

${\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.}$

相対フロベニウスは普遍同相写像である。X → Sが開写像であれば、それは恒等写像である。X → SがO _Sのイデアル層Iによって決定される閉写像であれば、X ^{( p )}はイデアル層I ^pによって決定され、相対フロベニウスは拡大写像O _S / I ^p → O _S / Iである。

X がS上非分岐であるための必要条件は、F _{X / S}が非分岐であり、かつF _{X / S}が単射である場合に限ります。XがS上エタールであるための必要条件は、 F _{X / S}がエタールであり、かつF _{X / S}が同型である場合に限ります。

SスキームXの算術フロベニウス射は次の射である:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

定義:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.}$

つまり、F _Sの1 _Xによる基本変更です。

繰り返しますが、次の場合:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},}$

すると算術フロベニウスは準同型となる。

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.}$

R ^{( p ) を}次のように書き直すと、

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

この準同型は次のようになります。

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.}$

Sの絶対フロベニウス写像が逆写像 で可逆であると仮定します。Sスキームと表記します。すると、 Xのスカラーの による拡張が存在します。 ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$${\displaystyle S_{F^{-1}}}$${\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S}$${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.}$

もし：

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

スカラーを拡張すると次のようになります。 ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.}$

もし：

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

次のように書きます。

${\displaystyle f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },}$

そして同型性が存在する:

${\displaystyle R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).}$

SスキームXの幾何学的フロベニウス射は次の射である:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

定義:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.}$

これは の1 _Xによる基本変更です。 ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

上記のAとRの例を続けると、幾何学的フロベニウスは次のように定義されます。

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.}$

R ^{(1/ p )}を で書き直すと、幾何学的フロベニウスは次のようになります。 ${\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}}$

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.}$

Sのフロベニウス射が同型であると仮定する。すると、それはSの自己同型群の部分群を生成する。S = Spec k が有限体のスペクトルである場合、その自己同型群は素体上の体のガロア群であり、フロベニウス射とその逆は両方とも自己同型群の生成元である。さらに、X ^{( p )}とX ^{(1/ p )}はXと同一視できる。すると算術的および幾何的なフロベニウス射はXの自己準同型となり、 kのガロア群のXへの作用につながる。

K点の集合X ( K )を考える。この集合にはガロア作用が伴う。各点x は構造層からKへの準同型O _X → Kに対応し、これはxの留数体k(x)を介して因数分解され、 xに対するフロベニウスの作用は留数体へのフロベニウス射の適用である。このガロア作用は算術フロベニウスの作用と一致する。合成射

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)}$

は合成射と同じである:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}$

算術フロベニウスの定義によります。その結果、算術フロベニウスはガロア群の点への作用をXの自己準同型として明示的に示します。

局所体の非分岐 有限拡大 L/Kが与えられたとき、対応する留数体の拡大にフロベニウス自己準同型を誘導するフロベニウス自己準同型の概念が存在する。^[2]

L/Kが局所体の非分岐拡大で、Kの整数環 O _Kがあり、 Kの整数をそれらの唯一の最大イデアルφで割った剰余体は、q位の有限体 ( qは素数のべき乗 ) となるようなものと仮定する。Φ がLの素数でφ上にある場合、L/Kが非分岐であるということは、定義により、Lの整数をΦで割った剰余体は、Kの剰余体を拡張したq ^f位の有限体( fはL / Kの次数)になることを意味する。 _Lの整数環O Lの元に対するフロベニウス写像を、Lの自己同型s _Φとして定義することができ、

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .}$

代数的整数論では、フロベニウス元は、 L / Kで不分岐なLの素イデアルΦに対する有限ガロア拡大である大域体の拡大L / Kに対して定義されます。拡大は不分岐なので、Φの分解群は留数体の拡大のガロア群です。したがって、フロベニウス元は、局所的な場合と同様に、 Lの整数環の元に対して次のように定義できます。

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,}$

ここでqは_剰余体O _K /(Φ∩O K )の位数である。

フロベニウスのリフトはp微分に対応しています。

多項式

x ⁵ − x − 1

判別式を持つ

19 × 151 ,

そして、素数 3 で非分岐であり、また 3 を法として既約でもある。したがって、その根ρ を3進数体Q _{3に付加すると、} Q ₃ の非分岐拡大Q ₃ ( ρ )が得られる。ρ ³に最も近い根を見つけることで、フロベニウス写像によるρの像を見つけることができ、これはニュートン法で行うことができる。このようにして、整数環Z ₃ [ ρ ]の元を得る。これは、 3進整数Z _{3 を}係数とするρの次数 4 の多項式である。3 8^を法としてこの多項式は

${\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})}$。

これはQ上の代数的であり、 QをQ ₃に埋め込むという観点から正しい大域フロベニウス像です。さらに、係数は代数的であり、結果は代数的に表現できます。ただし、これらはガロア群の次数である 120 次であり、p進の結果で十分であれば明示的な計算がはるかに簡単に実行できることを示しています。

L/K が大域体のアーベル拡大である場合、それは基底体Kの素数φのみに依存するため、より強い合同性が得られます。例として、 次を満たす 根β をQに付加して得られる拡大Q ( β )を考えます。

${\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}$

Qに拡張される。この拡張は5次の巡回拡張であり、根は

${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}$

整数nに対して、その根はβのチェビシェフ多項式である。

β ² − 2、β ³ − 3 β、β ⁵ − 5 β ³ + 5 β

は、素数 2、3、5 のフロベニウス写像の結果を示し、11 に等しくない、または22 n + 1の形 (これは分割されます) でない、より大きな素数に対しても同様の結果を示します。フロベニウス写像が、 p を法として根βのp乗に等しい結果を与えることはすぐに明らかです。

• 完璧なフィールド
• フロベニオイド
• 有限体 § フロベニウス自己同型性とガロア理論
• 普遍同相写像

• 「フロベニウスの自己同型性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「フロベニウス自己準同型」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]