準コンパクト射

代数幾何学では、スキーム間の射が 準コンパクトであるとは、Y が開アフィン部分スキームで覆われ、その前像がコンパクトであることを意味する。^[1]fが準コンパクトであれば、コンパクトな開部分スキーム（例えば、開アフィン部分スキーム）のfによる前像はコンパクトである。 $f:X\to Y$ $V_{i}$ $f^{-1}(V_{i})$

Y が、その原像がコンパクトであるコンパクトな開部分スキームによる被覆を許容するだけでは十分ではない。例を挙げると、^{[2] では、}A が根基イデアルに対する上昇連鎖条件を満たさない環であるとし、とおく。すると、X にはコンパクトではない開部分集合U が含まれる。 Y は、 2 つのX をUに沿って接着することによって得られるスキームとする。X、Yは両方ともコンパクトである。がXのコピーの 1 つを包含するものである場合、 Yにおいてアフィンに開いたもう 1 つのXの原像はUであり、コンパクトではない。したがって、f は準コンパクトではない。 $X=\operatorname {Spec} A$ $f:X\to Y$

準コンパクトスキームからアフィンスキームへの射影は準コンパクトです。

をスキーム間の準コンパクト射とします。が閉じている場合、かつそれが特殊化に対して安定している場合に限ります。 $f:X\to Y$ $f(X)$

準コンパクト射の合成は準コンパクトです。準コンパクト射の基底変換は準コンパクトです。

アフィンスキームは準コンパクトです。実際、スキームが準コンパクトになるのは、それが開いたアフィンサブスキームの有限和である場合のみです。セールの基準は、準コンパクトスキームがアフィンであるための必要かつ十分な条件を示します。

準コンパクトスキームには少なくとも1つの閉点がある。^[3]

参照

fpqc モルフィズム

参考文献

^ これはハーツホーンの定義です。
^ Vistoliの注釈1.5
^ Schwede, Karl (2005)、「接着スキームと閉点のないスキーム」、算術および代数幾何学における最近の進歩、Contemp. Math.、vol. 386、Amer. Math. Soc.、Providence、RI、pp. 157–172、doi :10.1090/conm/386/07222、ISBN 978-0-8218-3401-5、MR 2182775特に命題4.1を参照。

ロビン・ハーツホーン、「代数幾何学」。
Angelo Vistoli、「グロタンディーク位相、ファイバーカテゴリ、降下理論に関するノート」arXiv :math/0412512

外部リンク

既約スキームが準コンパクトになるのはいつですか?

[1] これはハーツホーンの定義です。

[2] Vistoliの注釈1.5

[3] Schwede, Karl (2005)、「接着スキームと閉点のないスキーム」、算術および代数幾何学における最近の進歩、Contemp. Math.、vol. 386、Amer. Math. Soc.、Providence、RI、pp. 157–172、doi :10.1090/conm/386/07222、ISBN 978-0-8218-3401-5、MR 2182775特に命題4.1を参照。