ヴェイユの相互法則

数学において、ヴェイユの相互法則は、代数閉体K上の代数曲線Cの関数体K ( C )においてアンドレ・ヴェイユが成り立つことの結果である。 K ( C )上の関数fとg 、つまりC上の有理関数が与えられている場合、

f (( g )) = g (( f ))

ここで、表記法の意味は次のようになります: ( h ) は関数hの約数、つまり重複度で数えられたその零点と極の形式的な和です。形式的な和に適用される関数は、約数の点における関数の値の積 (重複度、極は負の重複度として数えます) を意味します。この定義では、 fとgの約数が互いに素な台 (削除可能) を持つという副次条件が必要です。

射影直線の場合、これは多項式の合力を操作することで証明できます。

分離サポートの条件を取り除くために、C上の各点Pに対して局所記号

（f、g）_P

は定義され、与えられたステートメントは、すべての局所記号のP上の積が 1 であると言っているのと同等です。 fとg が両方ともPで 0 または ∞ の値を取る場合、定義は本質的に、（符号まで）を考慮することによって、制限または除去可能な特異点の項になります。

ファ^ガビ

aとb は関数がPで零点も極も持たないような値である。これはa をPでのgの重複度、 − b をPでのfの重複度とすることで達成される。定義は次のようになる。

( f , g ) _P = (−1) ^ab f ^a g ^b .

代数曲線を可換群に写像する理論の特殊なケースについては、例えばJean-Pierre Serre 著「 Groupes algébriques et corps de classes」の 44 ～ 46 ページを参照してください。

セルジュ・ラングのアーベル多様体への一般化がある(ラング、アーベル多様体)。

参考文献

アンドレ・ヴェイユ、科学研究 I、p. 291 ( Artin への 1942 年の手紙で、1940 年のComptes RendusノートSur les fonctions algébriques à corps de constantes finisについて説明)
グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ (1994)。代数幾何学の原理。ワイリークラシックスライブラリー。ニューヨーク、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ社。pp. 242–3。ISBN 0-471-05059-8.ZBL0836.14001 。リーマン面の場合の証明
Arbarello, E.; De Concini, C.; Kac, VG (1989)。「代数曲線の無限ウェッジ表現と相互法則」。Ehrenpreis, Leon、Gunning, Robert C. (編)。シータ関数、Bowdoin 1987。(第 35 回夏季研究会議事録、Bowdoin Coll.、ブランズウィック/ME、1987 年 7 月 6 日～24 日)。純粋数学シンポジウム議事録。第 49 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。pp. 171～190。ISBN 0-8218-1483-4.ZBL0699.22028 。
Serre, Jean-Pierre (1988)。代数群と類体。Graduate Texts in Mathematics。第117巻（フランス語第2版の翻訳）。ニューヨークなど：Springer- Verlag。ISBN 3-540-96648-X.ZBL0703.14001 。