双対化層

代数幾何学において、体k上のn次元の適切なスキームX上の双対化層は、線形関数 ${\displaystyle \omega_{X}}$

${\displaystyle t_{X}:\operatorname {H} ^{n}(X,\omega _{X})\to k}$

ベクトル空間の自然な同型性を誘導する

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(F,\omega _{X})\simeq \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi }$

X上の各連接層Fに対して成り立つ（上付き文字*は双対ベクトル空間を表す）。^[1]この線型汎関数はトレース射と呼ばれる。 ${\displaystyle t_{X}}$

ペア が存在する場合、自然同型を除いて一意です。実際、圏論の言語では、 は、X上の連接層の圏からkベクトル空間の圏への反変関手を表すオブジェクトです。 ${\displaystyle (\omega _{X},t_{X})}$${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle F\mapsto \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*}}$

正規射影多様体Xに対して、双対層が存在し、それは実際は標準層です。ここで、は標準因子です。より一般的には、任意の射影スキームに対して双対層が存在します。 ${\displaystyle \omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(K_{X})}$${\displaystyle K_{X}}$

セールの双対定理には次のような変形がある。純粋次元nの射影スキームXと、純粋次元nのX上のコーエン・マコーレー層Fに対して、自然同型が存在する^[2]。${\displaystyle \operatorname {Supp} (F)}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)\simeq \operatorname {H} ^{n-i}(X,\operatorname {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}}$。

特に、X自体がCohen-Macaulayスキームである場合、上記の双対性は任意の局所自由層に対して成立します。

スキームの適切な有限提示射が与えられたとき、(Kleiman 1980)は相対双対化層またはを^[3]として定義し、上の各開集合と準連接層に対して、標準同型が存在する層とする。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$${\displaystyle \omega _{X/Y}}$${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle (f|_{U})^{!}F=\omega _{f}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}F}$、

これは関数的であり、開いた制約と可換である。 ${\displaystyle F}$

例: ^[4]が体上の有限型のスキーム間の局所完全交差射である 場合、（定義により） の各点には開近傍と因数分解（余次元 の正則埋め込みに相対次元 の滑らかな射が続く）が存在する。すると ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f|_{U}:U{\overset {i}{\to }}Z{\overset {\pi }{\to }}Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega _{f}|_{U}\simeq \wedge ^{r}i^{*}\Omega _{\pi }^{1}\otimes \wedge ^{k}N_{U/Z}}$

ここで は相対ケーラー微分層であり、 はへの正規束です。 ${\displaystyle \Omega _{\pi }^{1}}$${\displaystyle N_{U/Z}}$${\displaystyle i}$

滑らかな曲線Cの場合、その双対層は標準層によって与えられます。 ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{1}}$

ノードpを持つノード曲線Cについて、 2 つの点x、y を同一視した正規化を考えることができます。をxとyに可能な単純極を持つ上の有理 1 形式の層とし、 をxとyの留数の合計が 0 である有理 1 形式からなる部分層とします。すると、直接像はノード曲線Cの双対化層を定義します。この構成は、複数のノードを持つノード曲線に簡単に一般化できます。 ${\displaystyle \pi :{\tilde {C}}\to C}$${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)}$${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$${\displaystyle \pi _{*}\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$

これは、曲線のコンパクト化されたモジュライ空間上のホッジバンドルの構築に使用されます。これにより、ノード曲線をパラメータ化する境界を超えて相対標準層を拡張できます。ホッジバンドルは、相対双対層の直接像として定義されます。

上で述べたように、双対層はすべての射影スキームに対して存在します。余次元rのP ⁿの閉じた部分スキームXに対して、その双対層は として与えられます。言い換えると、周囲のP ⁿ上の双対層を使用して、 X上の双対層を構築します。^[1]${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{\mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})}$

• 一貫した二重性
• 再帰束
• ゴレンシュタインリング
• デュアル化モジュール

• アルバレロ、E.コルナルバ、M.ペンシルバニア州グリフィス (2011)。代数曲線の幾何学。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 268.土井：10.1007/978-3-540-69392-5。ISBN 978-3-540-42688-2. MR  2807457。
• Kleiman, Steven L. (1980). 「準コヒーレント層の相対的双対性」(PDF) . Compositio Mathematica . 41 (1): 39–60. MR  0578050.
• コラール、ヤーノシュ、森、重文（1998）、代数多様体の双有理幾何学、ケンブリッジ数学論集、第134巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-63277-5、MR  1658959
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

• Vakil, Ravi. 「代数幾何学の基礎 クラス 53 および 54」(PDF)。数学 216: 代数幾何学の基礎 2005-06。
• 相対的双対化層（参照、動作）