安定ベクトルバンドル

数学において、安定ベクトル束とは、幾何学的不変式理論の意味で安定な（正則または代数的な）ベクトル束のことである。任意の正則ベクトル束は、ハーダー・ナラシムハン濾過法を用いて安定ベクトル束から構築することができる。安定ベクトル束は、デイビッド・マンフォードがマンフォード（1963）で定義し、その後、デイビッド・ギーゼカー、フェドール・ボゴモロフ、トーマス・ブリッジランド、その他多くの人々によって発展させられた。

滑らかな射影多様体上では、与えられた数値不変量の線束は、性質の良いモジュライ空間（ピカール多様体と同型）上でパラメータ化される。この空間は特に、有限型の固有かつ分離したスキームであり、代数幾何学的解析に適している。同様の考察は、より高階のベクトル束を素朴にパラメータ化する場合には成り立たない。

例として、ランクのベクトル束のモジュライを考えてみましょう。${\displaystyle r=2}$そして最初のチェンクラス${\displaystyle c_{1}=0}$複素射影線上${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$もしそれらが分離したモジュライ空間を形成するならば、評価基準は、穴の開いた線上の任意の族が$\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$最大で1家族まで完了できます${\displaystyle \mathbb {C} }$しかし、2つの非同型な完備化を許容する族を構成するのは簡単である。

実際、定数ファミリーをそれぞれ割り当てることを検討してください$\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$バンドルへ${\displaystyle V_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$オイラー列をテンソル化する${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$による${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$分割されない正確なシーケンスを与える${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$^{[ 1 ]}したがって、このファミリーは次のように説明できます。${\displaystyle V_{t}}$は、​${\displaystyle 1\in \mathbb {C} \simeq \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$同様に割り当てる$\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$対応する拡張機能へ$\displaystyle t\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$別の家族に家具を提供する${\displaystyle W_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$2 つの族は同型であり、同型性は$\displaystyle V_{t}\to W_{t}}$自己同型によって誘導される${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)}$を乗じることで与えられる${\displaystyle t}$つまり、同じ家族について、2つの同等な記述が存在するということだ。

自然に完成すると${\displaystyle \mathbb {C} }$最初の記述は引き続き拡張をもたらします${\displaystyle V_{0}={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$対応する${\displaystyle 1\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$一方、2番目の記述では、分割拡張が得られる。${\displaystyle W_{0}\simeq {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)}$対応する${\displaystyle t=0\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$2つの束、したがって2つの完備化は同型ではない。

安定性の概念は、モジュライ空間に現れる可能性のある束のクラスを制限することによってこの問題を解決し、その結果として望ましい代数幾何学的性質を維持する。

正則ベクトル束Wの非特異代数曲線(またはリーマン面)上の傾きは有理数μ(W) = deg( W )/rank( W ) である。束Wが安定であるのは、 ^{[ 2 ]}の場合のみである。

${\displaystyle \mu (V)<\mu (W)}$

Wのすべての真の非ゼロ部分束Vに対して 、 が半安定である場合

${\displaystyle \mu (V)\leq \mu (W)}$

Wのすべての真の非ゼロ部分束Vに対して。非公式には、これは、束がどの真の部分束よりも「豊富」であれば安定であり、「豊富」な部分束を含む場合は不安定であることを意味します。

WとVが半安定ベクトル束であり、μ(W) > μ(V)である場合、 W → Vの非ゼロ写像は存在しない。

マムフォードは、非特異曲線上の与えられたランクと次数を持つ安定な束のモジュライ空間が準射影代数多様体で あることを証明した。曲線上の安定なベクトル束のモジュライ空間のコホモロジーは、ハーダーとナラシムハン（1975）が有限体上の代数幾何学を用いて、アティヤとボット（1983）がナラシムハン・セシャドリのアプローチを用いて記述した。

X が次元mの滑らかな射影多様体であり、H が超平面切断である場合、ベクトル束 (またはねじれのない層) Wは、次の場合に安定(またはギーゼカー安定)と呼ばれます。

${\displaystyle {\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}}$

Wのすべての真の非零部分束 (または部分層) Vに対して、χ は代数ベクトル束のオイラー標数を表し、ベクトル束V(nH)はHによるVのn番目のツイストを意味します。Wは、 <を ≤ に置き換えて上記の条件が満たされる場合に半安定と呼ばれます。

曲線上の束の場合、傾きとヒルベルト多項式の増大によって定義される安定性は一致する。高次元では、これら2つの概念は異なり、それぞれ異なる利点を持つ。ギーゼカー安定性は幾何学的不変量理論の観点から解釈される一方、μ安定性はテンソル積やプルバックなどに対してより優れた性質を持つ。

X を次元nの滑らかな射影多様体、Hをその超平面切断とする。ベクトル束 (またはより一般的には、ねじれのない連接層) EのHに関する傾きは、次のように定義される有理数である。

${\displaystyle \mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}}$

ここで、c 1_は最初のチャーン類である。H への依存性は表記から省略されることが多い。

ねじれのない連接層E は、任意の非零部分層F ⊆ Eに対して、傾きが不等式 μ(F) ≤ μ(E) を満たす場合、 μ-半安定である。さらに、より小さいランクの任意の非零部分層F ⊆ Eに対して、厳密な不等式 μ(F) < μ(E) が成り立つ場合、μ-安定である。この安定性の概念は、傾き安定性、μ-安定性、場合によってはマンフォード安定性またはタケモト安定性と呼ばれる。

ベクトル束Eに対して、次の含意の連鎖が成り立つ: Eは μ-安定である ⇒ Eは安定である ⇒ Eは半安定である ⇒ Eは μ-半安定である。

E を滑らかな射影曲線X上のベクトル束とする。このとき、部分束による一意的なフィルタリングが存在する。

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E}$

関連する次数付き成分F _i  := E _{i +1} / E _iが半安定ベクトル束であり、傾きが減少する、μ( F _i ) > μ( F _{i +1} )となる。このフィルタリングはHarder & Narasimhan (1975)で導入され、 Harder-Narasimhan フィルタリングと呼ばれている。同型な関連次数を持つ 2 つのベクトル束はS 等価であると呼ばれる。

高次元多様体においても、濾過は常に存在し一意であるが、関連する次数付き成分は束にならない可能性がある。ギーゼカー安定性については、傾き間の不等式をヒルベルト多項式間の不等式に置き換える必要がある。

ナラシムハン・セシャドリの定理によれば、射影非特異曲線上の安定束は、射影的に平坦なユニタリ既約接続を持つ束と同じである。次数0の束の場合、射影的に平坦な接続は平坦であり、したがって次数0の安定束は基本群の既約ユニタリ表現に対応する。

小林とヒッチンは、これの高次元における類似性を予想した。ドナルドソン（1985）は、射影非特異曲面についてこれを証明し、この場合、ベクトル束が安定であるのは、それが既約エルミート・アインシュタイン接続を持つ場合のみであることを示した。

ヒルベルト多項式を使用すると、(μ-)安定性を非滑らかな射影スキームやより一般的な連接層に一般化することができます。Xを射影スキーム、dを自然数、E をX上の連接層とし、 dim Supp( E ) = dとします。E のヒルベルト多項式をP _E ( m ) = Σ ^d _{i =0} α _i ( E )/( i !) m ⁱと書きます。縮約ヒルベルト多項式をp _E := P _E /α _d ( E ) と定義します。 

コヒーレント層E は、次の 2 つの条件が満たされる場合に半安定である: ^{[ 3 ]}

• Eは次元dの純粋な集合であり、つまりEのすべての関連素数は次元dを持つ。
• 任意の適切な非零部分層F ⊆ Eに対して、縮約ヒルベルト多項式は、大きなmに対してp _F ( m ) ≤ p _E ( m ) を満たす。

層は、大きなmに対して厳密な不等式p _F ( m ) < p _E ( m ) が成り立つ場合に安定であると呼ばれる。

Coh _d (X) を、次元 ≤ dのサポートを持つX上の連接層の完全部分圏とする。Coh _dにおける対象Fの傾きは、ヒルベルト多項式の係数を用いて次のように定義できる。${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)}$_{α d} ( F ) ≠ 0の場合、それ以外の場合は 0。${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}}$dは通常、表記から省略されます。

連接層Eで${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d}$次の2つの条件が満たされる場合、μ-半安定と呼ばれます。 ^{[ 4 ]}

• Eのねじれは次元≤d -2である。
• 商圏Coh _d (X)/Coh _d-1 (X)内の任意の非零部分対象F ⊆ Eに対して、以下が成り立つ。$\displaystyle {\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)}$。

Eは、 Eのすべての真の非ゼロ部分オブジェクトに対して厳密な不等式が成り立つ場合にμ-安定である。

Coh _dは任意のdに対してSerre 部分圏であるため、商圏が存在することに注意してください。一般に、商圏の部分対象は部分層から生じるものではありませんが、ねじれのない層の場合、元の定義とd = nの一般定義は同等です。

一般化には他にも方向性があり、例えばブリッジランドの安定性条件などが挙げられる。

安定主束は、安定ベクトル束との類推に基づいて定義することができる。

• 小林・ヒッチン間の書簡
• コーレットとシンプソンの書簡
• 見積もり制度

• Atiyah, Michael Francis ; Bott, Raoul (1983)、「リーマン面上のヤン・ミルズ方程式」、Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences、308 (1505): 523–615、Bibcode : 1983RSPTA.308..523A、doi : 10.1098/rsta.1983.0017、ISSN 0080-4614、JSTOR 37156、MR 0702806   
• Donaldson, SK (1985)、「複素代数曲面および安定ベクトル束上の反自己双対ヤン・ミルズ接続」、ロンドン数学会紀要、第3シリーズ、50 (1): 1–26、doi : 10.1112/plms/s3-50.1.1、ISSN 0024-6115、MR 0765366  
• フリードマン、ロバート（1998）、『代数曲面と正則ベクトル束』、Universitext、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98361-5MR 1600388​ 
• Harder, G.; Narasimhan, MS (1975)、「曲線上のベクトル束のモジュライ空間のコホモロジー群について」、Mathematische Annalen、212 (3): 215–248、doi : 10.1007/BF01357141、ISSN 0025-5831、MR 0364254  
• Huybrechts, Daniel (2004年11月18日).複素幾何学入門. Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 年 (リンク)
• Huybrechts, Daniel ; Lehn, Manfred (2010), 『層のモジュライ空間の幾何学』、ケンブリッジ数学ライブラリー（第2 版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0521134200
• マムフォード、デイビッド（1963）「射影構造の射影不変量とその応用」、国際数学者会議議事録（ストックホルム、1962年）、ジュールスホルム：ミッターク＝レフラー研究所、526～ 530ページ、MR 0175899  
• David, マムフォード;フォガティ、J. Kirwan, F. (1994)、幾何不変理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [数学および関連分野の結果 (2)]、vol.  34 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906​ 特に付録5C。
• Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965)、「コンパクトリーマン面上の安定かつユニタリなベクトル束」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、82 (3)、The Annals of Mathematics、第82巻、第3号：540–567、doi：10.2307/1970710、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970710、MR 0184252