非分岐射

代数幾何学において、非分岐射とは 、(a)局所的に有限表示であり、(b)各およびに対して、 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y=f(x)}$

1. 剰余体はの分離可能な代数的拡張です。${\displaystyle k(x)}$${\displaystyle k(y)}$
2. ${\displaystyle f^{\#}({\mathfrak {m}}_{y}){\mathcal {O}}_{x,X}={\mathfrak {m}}_{x},}$ここで、およびは局所環の最大イデアルです。${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{y,Y}\to {\mathcal {O}}_{x,X}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{y},{\mathfrak {m}}_{x}}$

平坦な不分岐射はエタール射と呼ばれる。それほど強くはないが、およびの十分小さい近傍に制限されたときに が条件を満たす場合、 は の近くで不分岐であると言われる。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

著者によっては、より弱い条件を使用することを好みます。その場合、上記を満たす射をG 非分岐射と呼びます。

を環とし、BをAに整式元を付加して得られる環、すなわち、何らかの単項多項式Fに対して とします。このとき、 が不分岐となるのは、多項式Fが可分である場合（すなわち、 とその導関数が の単位イデアルを生成する場合）に限ります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B=A[t]/(F)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle A[t]}$

を代数的に閉じた体上の滑らかな連結曲線間の有限射とし、 P をXの閉点、 とすると、局所環準同型が成り立ちます。ここで、およびはYおよびXのQおよびPにおける局所環です。は離散値環なので、となる唯一の整数が存在します。この整数は上の の分岐指数と呼ばれます。^[1]基本体は代数的に閉じているため、 が(実際はエタール) で非分岐であるためには のときかつその場合に限ります。それ以外の場合、はPで分岐しているとされ、Q は分岐点と呼ばれます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Q=f(P)}$${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{Q}\to {\mathcal {O}}_{P}}$${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{Q},{\mathfrak {m}}_{Q})}$${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{P},{\mathfrak {m}}_{P})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$${\displaystyle e_{P}>0}$${\displaystyle f^{\#}({\mathfrak {m}}_{Q}){\mathcal {O}}_{P}={{\mathfrak {m}}_{P}}^{e_{P}}}$${\displaystyle e_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle k(P)=k(Q)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle e_{P}=1}$${\displaystyle f}$

局所的に有限表現である射が与えられたとき、以下は同値である: ^[2]${\displaystyle f:X\to Y}$

1. f は非分岐です。
2. 対角マップは オープンイマージョンです。${\displaystyle \delta_{f}:X\toX\times_{Y}X}$
3. 相対余接層は ゼロです。${\displaystyle \Omega_{X/Y}}$

• 局所体の有限拡張
• 分岐（数学）

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。３２．土井：10.1007/bf02732123。MR  0238860。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157