射影多様体

代数幾何学において、射影多様体とは、射影空間の閉じた部分多様体である代数多様体である。つまり、それは、多様体の定義イデアルである素イデアルを生成する、同次多項式の有限族の零点である。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

射影多様体は、その次元が 1 であれば射影曲線であり、次元が 2 であれば射影面であり、次元がそれを含む射影空間の次元より 1 小さい場合は射影超面である。この場合、射影多様体は単一の同次多項式の零点の集合である。

Xが同次素イデアルIによって定義される射影多様体である場合、商環

${\displaystyle k[x_{0},\ldots,x_{n}]/I}$

はXの同次座標環と呼ばれます。次数や次元などのXの基本的な不変量は、この次数環のヒルベルト多項式から読み取ることができます。

射影多様体はさまざまな形で現れます。射影多様体は完全であり、これは「欠けている」点がないと大まかに表現できます。その逆は一般には成り立ちませんが、Chow の補題はこれら 2 つの概念の密接な関係を説明しています。多様体が射影多様体であることを示すには、 X上の直線束または因子を調べます。

射影多様体の顕著な特徴は、層コホモロジーに対する有限性制約である。滑らかな射影多様体の場合、セール双対性はポアンカレ双対性の類似物と見なすことができる。また、これは射影曲線、すなわち次元1 の射影多様体に対するリーマン・ロッホの定理につながる。射影曲線の理論は特に豊富で、曲線の種数による分類などがある。高次元射影多様体の分類プログラムは、自然に射影多様体のモジュライの構成につながる。^[1]ヒルベルト スキームは、所定のヒルベルト多項式での閉じた部分スキームをパラメータ化する。グラスマン多様体が特別な場合であるヒルベルト スキームは、それ自体が射影スキームでもある。幾何不変量理論は別のアプローチを提供する。古典的なアプローチには、タイヒミュラー空間とチョウ多様体がある。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

複素射影多様体、すなわちX を定義する多項式が複素係数を持つ場合、古典にまで遡る特に豊富な理論が利用可能です。大まかに言えば、 GAGA 原理によれば、射影複素解析空間 (または多様体) の幾何学は、射影複素多様体の幾何学と同値です。たとえば、X上の正則ベクトル束(より一般的にはコヒーレント解析層)の理論は、代数ベクトル束の理論と一致します。Chowの定理によれば、射影空間の部分集合が正則関数の族の零点であるためには、それが同次多項式の零点である必要があります。複素射影多様体に対する解析的手法と代数的手法を組み合わせると、ホッジ理論などの分野につながります。

k を代数的に閉じた体とする。射影多様体の定義の基礎は射影空間であり、これは異なるが同等な方法で定義できる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

• （すなわち、 のすべての1次元ベクトル部分空間）における原点を通るすべての直線の集合として${\displaystyle k^{n+1}}$${\displaystyle k^{n+1}}$
• は、すべての要素がゼロではない組 の集合で、任意の に対する同値関係を法として成り立ちます。このような組の同値類は で表されます。この同値類は射影空間の一般点です。数値は点の同次座標と呼ばれます。${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$$${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$$${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$

射影多様体は、定義により、 の閉じた部分多様体であり、ここで閉じているとはザリスキ位相を指す。^[2]一般に、ザリスキ位相の閉じた部分集合は、同次多項式関数の有限集合の共通零点として定義される。多項式 が与えられたとき、条件 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

は任意の多項式に対しては意味をなさないが、fが同次多項式、すなわちすべての単項式（その和がf ）の次数が等しい場合にのみ意味をなす。この場合、

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

の選択とは無関係です。 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

したがって、射影多様体はの斉次素イデアル Iから生じ、 ${\displaystyle k[x_{0},\dots,x_{n}]}$

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\right\}.}$

さらに、射影多様体Xは代数多様体であり、開アフィン部分多様体で覆われ、分離公理を満たす。したがって、Xの局所的研究（例えば、特異点）はアフィン多様体の研究に還元される。明示的な構造は以下のとおりである。射影空間は、標準的な開アフィンチャートによって覆われている。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

これらは、座標環

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

表記を簡単にするためにi = 0とし、上付き文字(0)は省略する。すると、はのイデアルによって定義されるの閉部分多様体であり、によって生成される。 ${\displaystyle X\cap U_{0}}$${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

Iのすべてのfに対して成り立つ。したがって、X は( n +1) 個の開アフィンチャートによって覆われた代数多様体である。 ${\displaystyle X\cap U_{i}}$

X はにおけるアフィン多様体の閉包であることに注意する。逆に、ある閉じた（アフィン）多様体 から出発して、におけるVの閉包はと呼ばれる射影多様体である。${\displaystyle X\cap U_{0}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$Vの射影完備化。 がV を定義する、この閉包の定義イデアルは、によって生成される ^[3]で${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$${\displaystyle k[x_{0},\dots,x_{n}]}$

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

Iのすべてのfについて。

例えば、Vがアフィン平面上で次のように表されるアフィン曲線である場合、その射影平面上での射影完備化は次のように表される。${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

さまざまな応用のためには、射影多様体よりも一般的な代数幾何学的対象、すなわち射影スキームを考慮する必要がある。射影スキームへの第一歩は、射影空間にスキーム構造を与えることである。これは、射影空間を代数多様体として記述した上記の説明を改良する方法である。すなわち、射影空間は、アフィンn空間k ⁿの( n + 1)個のコピーの和集合であるスキームである。より一般的には、^[4]環A上の射影空間は、アフィンスキームの和集合である。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

このようにして、変数は予想どおりに一致します。代数的に閉じた体kに対するの閉点の集合は、通常の意味での 射影空間です。${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

同等だが簡素化された構成はProj構成によって与えられ、これは環のスペクトルの類似物であり、「Spec」と表記され、アフィンスキームを定義します。^[5]たとえば、Aが環である場合、

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

R が同次イデアルIによる商である場合、標準射影は閉じた浸漬を誘導する。${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

射影多様体と比較すると、イデアルIが素イデアルであるという条件は削除されました。これにより、はるかに柔軟な概念が生まれます。一方では、位相空間には複数の 既約成分が存在する可能性があります。さらに、 Xには冪零関数が存在する可能性があります。 ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$

の閉じた部分スキームは飽和しているの同次イデアルIに全単射に対応する。すなわち、^{[6]この事実は}射影的零点定理の改良版と考えることができる。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$

上記の例の座標フリーな類似を与えることができる。つまり、k上の有限次元ベクトル空間Vが与えられたとき、

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

ここで はの対称代数である。^[7]これはVの射影化である。すなわち、V内の直線をパラメータ化する。標準的な射影写像 が存在し、これは上記の表を使用して定義される。^[8]この構成の重要な用途の1つはこれである（§ 双対性と線型システムを参照）。射影多様体X上の因子D は直線束Lに対応する。次に、 ${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

これはDの完全線型システムと呼ばれます。

任意のスキーム S上の射影空間は、スキームのファイバー積として定義できる。

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

が上のセールのねじれ層である場合、を への引き戻しを表すものとする。つまり、標準写像${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

スキームX → Sは、それが閉じた浸漬として因数分解される場合、 S上に射影的であると呼ばれる。

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

続いてSへの投影が行われます。

S上のX上の直線束（または可逆層）は、浸漬（すなわち、開いた浸漬の後に閉じた浸漬が続く） がある場合、Sに対して非常に豊富であると言われる。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

あるnに対してとなり、が に引き戻される。すると、SスキームXが射影的であるためには、それが適切であり、 Sに対してX上に非常に豊富な層が存在する必要がある。実際、Xが適切であれば、非常に豊富な直線束に対応する浸漬は必ず閉じている。逆に、Xが射影的であれば、 Xの閉じた浸漬による の射影空間への引き戻しは非常に豊富である。「射影的」であるということは「適切」であることを意味するという、より深い意味を持つ。消去理論の主定理である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

定義により、多様体は、 k上で適切であれば完全である。適切性の評価基準は、適切な多様体では「欠けている」点が存在しないという直感を表現する。

完全多様体と射影多様体の間には密接な関係があります。一方では、射影空間、したがって任意の射影多様体は完全です。逆は一般には当てはまりません。ただし、

• 滑らかな曲線 Cが射影的であるためには、曲線 C が完備でなければならない。これは、 C をk上の関数体k ( C )の離散値環の集合と同一視することによって証明される。この集合には、ザリスキー・リーマン空間と呼ばれる自然なザリスキー位相がある。
• チョウの補題は、任意の完全多様体Xに対して、射影多様体Zと双有理射影 Z → Xが存在することを述べている。^[9]（さらに、正規化により、この射影多様体が正規であると仮定することができる。）

射影多様体のいくつかの性質は完全性から導かれる。例えば、

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k}$

k上の任意の射影多様体Xに対して成り立つ。^[10]この事実は、リウヴィルの定理（連結コンパクト複素多様体上の任意の正則関数は定数である）の代数的類似である。実際、複素解析幾何学と複素射影多様体上の代数幾何学の類似性は、以下で説明するように、これよりもはるかに広い。

準射影多様体は、定義により、射影多様体の開部分多様体です。この多様体のクラスには、アフィン多様体が含まれます。アフィン多様体は、完全 (または射影的) になることはほとんどありません。実際、アフィン多様体の射影部分多様体は、次元が 0 でなければなりません。これは、定数のみが射影多様体上の 大域的に正則な関数であるためです。

定義により、多項式環の任意の斉次イデアルは射影スキームを生成します（多様体を与えるには素イデアルである必要があります）。この意味で、射影多様体の例は豊富にあります。次のリストは、特に熱心に研究されてきたため注目に値する、さまざまなクラスの射影多様体について述べています。複素射影多様体の重要なクラス、つまり の場合については、以下でさらに説明します。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

2つの射影空間の積は射影的である。実際、明示的な浸漬（セグレ埋め込みと呼ばれる） が存在する。

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\\(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}\end{cases}}}$

その結果、k上の射影多様体の積は再び射影的となる。プルッカー埋め込みはグラスマン多様体を射影多様体として示す。上三角行列の部分群を法とする一般線型群の商などの旗多様体も射影的であり、これは代数群の理論において重要な事実である。^[11] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$

射影多様体Xを定義する素イデアルPは同次なので、同次座標環

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

は次数付き環であり、その次数付き成分の 直和として表すことができる。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

十分に大きいnに対してとなる多項式P が存在する。これはXのヒルベルト多項式と呼ばれる。これはXの外部幾何学をエンコードする数値不変量である。P の次数はXの次元rであり、その主係数r!倍は多様体Xの次数である。Xが滑らかな場合、 Xの算術種数は( −1) ^r ( P (0) − 1)である。 ${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$

たとえば、 の同次座標環はであり、そのヒルベルト多項式は です。その算術種数は 0 です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$

同次座標環R が整閉領域である場合、射影多様体X は射影正規であるといわれます。正規性とは異なり、射影正規性はR 、つまり射影空間へのXの埋め込みに依存することに注意してください。射影多様体の正規化は射影的です。実際、それはXの同次座標環の整閉包の Proj です。

を射影多様体とする。Xの次数をその埋め込みに対して定義する方法は少なくとも2つある。1つ目の方法は、有限集合の濃度として定義する方法である。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

ここで、d はXの次元であり、H _iは「一般位置」の超平面です。この定義は、次数の直感的な概念に対応しています。実際、X が超曲面である場合、 Xの次数は、X を定義する同次多項式の次数です。「一般位置」は、たとえば、交差理論によって明確にすることができます。交差が適切であり、既約成分の重複度がすべて 1 であることが要求されます。

前の節で述べたもう一つの定義は、Xの次数がXのヒルベルト多項式の(dim X )!倍の主係数であるというものである。幾何学的には、この定義はXの次数がX上のアフィン円錐の頂点の重複度であることを意味する。^[12]

が適切に交差する（一般的な位置にある）純粋な次元の閉じた部分スキームであるとする。m _{i が}交差における既約成分Z _iの重複度（つまり、交差重複度）を表す場合、ベズーの定理の一般化は次式となる：^[13]${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

交差多重度m _{i は、}のChow環における交差積におけるZ _iの係数として定義できます。 ${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

特に、 がX を含まない超曲面である場合、 ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

ここで、Z _{i は}、重複度（局所環の長さ）m _iを持つXとHのスキーム理論的交差の既約成分である。

複素射影多様体はコンパクトな複素多様体とみなすことができます。多様体の次数（埋め込みに対する相対的）は、周囲の複素射影空間から継承された計量に関する多様体としての多様体の体積です。複素射影多様体は、（ある意味で）体積の最小化者として特徴付けることができます。

Xを射影多様体とし、Lをその上の直線束と する。すると次数付き環

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

はLの切断環と呼ばれる。Lが十分であれば、この環の Proj はXである。さらに、Xが正規でLが非常に十分であれば、 はLによって決定されるXの同次座標環の整閉包である。つまり、がLに引き戻される。^[14]${\displaystyle R(X,L)}$${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$

応用上、直線束だけでなく因子（または-因子）を許容すると便利です。Xが正規であると仮定すると、結果として得られる環は一般化切断環と呼ばれます。が X 上の標準因子である場合、一般化切断環 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

はXの標準環と呼ばれます。標準環が有限生成である場合、環の Proj はXの標準モデルと呼ばれます。標準環またはモデルは、 Xの小平次元を定義するために使用できます。

次元 1 の射影スキームは射影曲線と呼ばれます。射影曲線の理論の多くは滑らかな射影曲線に関するものです。曲線の特異点は正規化によって解決できるためです。正規化とは、正則関数の環の整閉包を局所的に取ることです。滑らかな射影曲線が同型であるのは、その関数体が同型である場合に限ります。の有限拡張の研究は、

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

あるいはそれと同値な滑らかな射影曲線は代数的整数論における重要な分野である。^[15]${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

種数 1 の滑らかな射影曲線は楕円曲線と呼ばれます。リーマン・ロッホの定理の結果として、そのような曲線は の閉部分多様体として埋め込むことができます。一般に、任意の (滑らかな) 射影曲線は に埋め込むことができます(証明については、セカント多様体#例 を参照してください)。逆に、の次数 3の滑らかな閉曲線は、種数公式により種数 1 になり、したがって楕円曲線になります。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

種数が2以上の滑らかな完全曲線は、次数2の有限射が存在する場合、超楕円曲線と呼ばれる。^[16]${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

余次元が1であるすべての既約閉部分集合は超曲面、すなわち同次既約多項式の零点集合である。^[17]${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

射影多様体Xのもう一つの重要な不変量は、 Xのピカール群、つまり X上の直線束の同型類の集合です。これは に同型であり、したがって本質的な概念です（埋め込みとは独立です）。たとえば、 のピカール群は次数写像を介してに同型です。 の核は抽象的なアーベル群であるだけでなく、Xのヤコビ多様体Jac( X ) と呼ばれる多様体があり、その点はこの群に等しくなります。（滑らかな）曲線のヤコビアンは、曲線の研究で重要な役割を果たします。たとえば、楕円曲線EのヤコビアンはE自体です。種数gの曲線Xの場合、 Jac( X ) は次元gを持ちます。 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} }$

ヤコビ多様体などの完備かつ群構造を持つ多様体は、ニールス・アーベルにちなんでアーベル多様体と呼ばれます。などのアフィン代数群とは対照的に、このような群は常に可換であるため、この名前が付けられています。さらに、これらの群は十分な直線束を許容するため、射影的です。一方、アーベルスキームは射影的ではない場合があります。アーベル多様体の例としては、楕円曲線、ヤコビ多様体、K3 曲面などがあります。 ${\displaystyle GL_{n}(k)}$

を線型部分空間とする。つまり、ある線型独立な線型汎関数s _iに対してである。このとき、Eからの射影は（よく定義された）射影である。 ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r}\\x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]\end{cases}}}$

この地図の幾何学的記述は次の通りである: ^[18]

• をEと分離しているものとして見ます。すると、任意の に対して、はEとx を含む最小の線形空間を表します（Eとxの結合と呼ばれる）。${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E}$$${\displaystyle \phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r},}$$${\displaystyle W_{x}}$
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},}$同次座標はどこにあるか${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}.}$
• Eと交わらない任意の閉部分スキームに対して、制約は有限射である。^[19]${\displaystyle Z\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}}$

射影は、射影多様体が埋め込まれている次元を有限射影まで削減するために使用できます。いくつかの射影多様体から始めます。X上にない点からの射影が与える場合、さらに、はその像への有限写像です。したがって、この手順を繰り返すと、有限写像があることがわかります。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}.}$${\displaystyle n>\dim X,}$${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}.}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{d},\quad d=\dim X.}$

この結果は、ノイマンの正規化補題の射影類似物です。(実際、これは正規化補題の幾何学的証明をもたらします。)

同じ手順で、もう少し正確な次の結果を示すことができます。完全体上の射影多様体Xが与えられたとき、 Xから超曲面Hへの有限双有理射影が存在します^[20]。特に、Xが正規ならば、それはHの正規化です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d+1}.}$

射影n空間はアフィンn空間の線をパラメータ化するが、その双対は射影空間上の超平面を次のようにパラメータ化する。体kを固定する。 とは、射影n空間 を意味する。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$

${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}=\operatorname {Proj} (k[u_{0},\dots ,u_{n}])}$

構造を装備：

${\displaystyle f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}}$、上の超平面${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$

ここで、はkの体拡大Lに対するL点であり、${\displaystyle f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.}$

各Lに対して、構築は のL点の集合と 上の超平面の集合との間の一対一になります。このため、双対射影空間は上の超平面のモジュライ空間であると言われています。 ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$

内の直線はペンシルと呼ばれます。これは、によってパラメータ化された上の超平面の族です。 ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$

V がk上の有限次元ベクトル空間である場合、上記と同じ理由により、は 上の超平面の空間である。重要なケースは、 V が直線束の切断で構成される場合である。つまり、X を代数多様体、L をX上の直線束、有限の正の次元のベクトル部分空間とする。このとき、写像が存在する: ^[21]${\displaystyle \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{V}:X\setminus B\to \mathbb {P} (V^{*})\\x\mapsto H_{x}=\{s\in V|s(x)=0\}\end{cases}}}$

線型システムVによって決定されます。ここで、B は基底軌跡と呼ばれ、Vの非ゼロセクションのゼロの因子の交点です(マップの構築については、 線型因子システム#線型システムによって決定されるマップを参照)。

X を体（またはより一般的にはネーター環A ）上の射影スキームとします。X上の連接層のコホモロジーは、 セールの次の重要な定理を満たします。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})}$任意のpに対して有限次元kベクトル空間です。
2. 整数（ に依存します。カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性も参照）が存在し、すべてのおよびp > 0 に対して、 は非常に豊富な直線束のべき乗によるねじれです。${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0}$$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$

これらの結果は、同型性を用いた 場合に帰着して証明される。${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbb {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0}$

ここで、右辺はゼロによる拡大により射影空間上の層として見ることができる。^[22]結果は任意の整数nに対して直接計算することができ、任意のnに対しては大きな困難もなくこのケースに帰着する。^[23]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

上記 1. の帰結として、f がネーター図からネーター環への射影写像である場合、高次の直接像はコヒーレントである。同じ結果が固有写像fに対しても成り立ち、これはChow の補題を用いて示すことができる。 ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

ネーター位相空間上の層コホモロジー群H ⁱは、 i が空間の次元よりも厳密に大きい場合、ゼロになる。したがって、のオイラー特性と呼ばれる量は、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\dim H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$

は明確に定義された整数である（Xが射影的である場合）。すると、有理数上の何らかの多項式Pに対して、次式が成り立つことが示される。 ^[24]この手順を構造層に適用すると、 Xのヒルベルト多項式が得られる。特に、Xが既約で次元rを持つ場合、 Xの算術種数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1),}$

これは明らかに本質的であり、つまり埋め込みとは無関係です。

次数dの超曲面の算術種数はです。特に、における次数dの滑らかな曲線の算術種数は です。これは種数公式です。 ${\displaystyle {\binom {d-1}{n}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle (d-1)(d-2)/2}$

X を滑らかな射影多様体とし、そのすべての既約成分がn次元であるとする。この状況では、最高次数のケーラー微分（すなわち代数n形式）の層として定義される標準層ω _{X は}直線束である。

セール双対性は、 X上の任意の局所自由層に対して、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

ここで、上付き文字のプライムは双対空間を指し、は の双対層です。射影的だが必ずしも滑らかではないスキームへの一般化は、ヴェルディエ双対性として知られています。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

(滑らかな射影)曲線Xの場合、H ²以上は次元上の理由により消え、構造層のグローバルセクションの空間は 1 次元です。したがって、Xの算術種数は の次元です。定義により、Xの幾何種数はH ⁰ ( X , ω _X )の次元です。したがって、セール双対性は算術種数と幾何種数が一致することを意味します。これらは単にXの種数と呼ばれます。 ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

セール双対性はリーマン・ロッホ定理の証明においても重要な要素である。Xは滑らかであるため、群の同型性が存在する。

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

主因子を法とする（ヴェイユ）因子群から直線束の同型類群へ。ω _Xに対応する因子は標準因子と呼ばれ、Kと表記される。l ( D ) を の次元とする。すると、リーマン・ロッホの定理は次のように述べている。gがXの種数である場合、 ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

X上の任意の因子Dに対して。セール双対性により、これは次と同じになります。

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

これは簡単に証明できる。^[25]リーマン・ロッホの定理を高次元に一般化したものには、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理と、広範囲に及ぶグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理がある。

ヒルベルトスキームは、射影スキームXのすべての閉じた部分多様体を、 Hの点（関数的な意味で）がXの閉じた部分スキームに対応するという意味でパラメータ化する。このように、ヒルベルトスキームはモジュライ空間、すなわち、点が他の幾何学的オブジェクトをパラメータ化する幾何学的オブジェクトの一例である。より正確には、ヒルベルトスキームは、ヒルベルト多項式が所定の多項式Pに等しい閉じた部分多様体をパラメータ化する。 ^{[26]グロタンディークの深い定理は、任意の}kスキームTに対して、一対一が存在するよう なk上のスキーム^{[27]が存在するというものである。} ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

${\displaystyle \{{\text{morphisms }}T\to H_{X}^{P}\}\ \ \longleftrightarrow \ \ \{{\text{closed subschemes of }}X\times _{k}T{\text{ flat over }}T,{\text{ with Hilbert polynomial }}P.\}}$

恒等写像に対応するの閉じた部分体系は普遍族と呼ばれる。 ${\displaystyle X\times H_{X}^{P}}$${\displaystyle H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}}$

に対して、ヒルベルトスキームは、X 上のr平面のグラスマン多様体と呼ばれ、X が射影スキームである場合、X上のr平面のファノスキームと呼ばれます。^[28]${\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}}$${\displaystyle H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle H_{X}^{P}}$

このセクションでは、すべての代数多様体は複素代数多様体です。複素射影多様体の理論の重要な特徴は、代数的手法と解析的手法の組み合わせです。これらの理論間の遷移は、次のリンクによって提供されます。任意の複素多項式は正則関数でもあるため、任意の複素多様体X は、 と表記される複素解析空間 を生み出します。さらに、Xの幾何学的性質は、の幾何学的性質によって反映されます。たとえば、 が複素多様体であるための必要十分条件は、 Xが上で適切である場合に限ります。 ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

複素射影空間はケーラー多様体です。これは、任意の射影代数多様体Xに対して、コンパクト ケーラー多様体であることを意味します。逆は一般には真ではありませんが、小平埋め込み定理はケーラー多様体が射影的であるための基準を与えます。 ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

低次元では、次の結果が得られます。

• (リーマン)コンパクトなリーマン面(つまり、次元 1 のコンパクトな複素多様体) は射影多様体です。トレリの定理により、そのヤコビアンによって一意に決定されます。
• (Chow-Kodaira) 2つの代数的に独立な有理型関数を持つ2次元のコンパクトな複素多様体は射影多様体である。^[29]

チョウの定理は、解析幾何学から代数幾何学へと逆方向に進むための印象的な方法を提供します。これは、複素射影空間のすべての解析的部分多様体は代数的であると述べています。この定理は、特定の成長条件を満たす正則関数は必ず代数的である、と解釈できます。「射影的」は、この成長条件を提供します。この定理から、次のことが推測できます。

• 複素射影空間上の有理型関数は有理関数である。
• 代数多様体間の代数写像が解析同型ならば、それは（代数）同型です。（この部分は複素解析における基本的な事実です。）特に、Chow の定理は、射影多様体間の正則写像が代数的であることを意味します。（そのような写像のグラフを考えてみましょう。）
• 射影多様体上のすべての正則ベクトル束は、一意の代数ベクトル束によって誘導される。 ^[30]
• 射影多様体上のすべての正則直線束は因子の直線束である。^[31]

チョウの定理はセールのGAGA 原理によって示されます。その主な定理は次のように述べています。

X を上の射影スキームとする。すると、 X上の連接層を対応する複素解析空間X上の連接層に関連付ける関数は^、カテゴリの同値となる。さらに、自然写像 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

はすべてのiとX上のすべての連接層に対する同型である。^[32]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

上のアーベル多様体Aに付随する複素多様体は、コンパクト複素リー群である。これらは、次の形式であることが示される。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

およびは複素トーラスとも呼ばれます。ここで、g はトーラスの次元であり、Lは格子（周期格子とも呼ばれます）です。

すでに述べた均一化定理によれば、次元1の任意のトーラスは次元1のアーベル多様体、すなわち楕円曲線から生じる。実際、Lに付随するワイエルシュトラスの楕円関数は 特定の微分方程式を満たし、その結果、閉じた浸漬を定義する。^[33]${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

p進類似物として、p 進均一化定理 があります。

高次元の場合、複素アーベル多様体と複素トーラスの概念は異なります。アーベル多様体からは、偏複素トーラスのみが生まれます。

基本的な小平消失定理は、特性ゼロの体上の 滑らかな射影多様体X上の十分な直線束に対して、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

となる。^[34]この定理の最初の証明はケーラー幾何学の解析的手法を用いたが、後に純粋に代数的な証明が見出された。小平の消失は一般に、正特性の滑らかな射影多様体では成り立たない。小平の定理は様々な消失定理の1つであり、高次層コホモロジーが消失するための基準を与える。層のオイラー特性（上記参照）は個々のコホモロジー群よりも扱いやすいことが多いため、これは射影多様体の幾何学について重要な結果をもたらすことが多い。^[35]${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$

• 多射影多様体
• 重み付き射影多様体、重み付き射影空間の閉じた部分多様体^[36]

• 射影空間の代数幾何学
• 適切な同値関係
• ヒルベルトスキーム
• レフシェッツ超平面定理
• 最小モデルプログラム

• チャールズ・シーゲルのヒルベルト図法 - ブログ投稿
• 射影多様体 Ch. 1