無限遠の線

幾何学と位相幾何学において、無限遠直線（むこいえんとてん、英: line at infinity）は、実（アフィン）平面に追加される射影直線であり、結果として得られる射影平面の入射特性に閉包性を与え、例外的なケースを排除する。無限遠直線は理想直線とも呼ばれる。^[1]

射影幾何学では、どの直線のペアも必ずどこかの点で交差しますが、平行線は実平面では交差しません。実平面に無限遠の直線を追加します。これで平面が完成します。平行線は無限遠の直線上にある点で交差するからです。また、どの直線のペアも直線上の点で交差しない場合は、その直線のペアは平行です。

すべての直線は、どこかの点で無限遠直線と交差します。平行線が交差する点は、直線の傾きのみによって決まり、 y 切片によってはまったく決まりません。

アフィン平面では、直線は 2 つの反対方向に伸びます。射影平面では、直線の 2 つの反対方向は、無限遠直線上の点で交わります。したがって、射影平面上の直線は閉じた曲線、つまり線形ではなく循環的です。これは無限遠直線自体にも当てはまります。無限遠直線は 2 つの端点で交わります (したがって、実際には端点ではありません)。したがって、実際には循環的です。

無限遠直線は、アフィン平面を囲む円として視覚化できます。ただし、円の正反対の点は同等であり、同じ点です。アフィン平面と無限遠直線を組み合わせると、実 射影平面が作成されます。${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$

双曲線は、無限遠点と 2 つの異なる点で交差する閉じた曲線と見ることができます。これらの 2 つの点は、双曲線の 2 つの漸近線の傾きによって指定されます。同様に、放物線は、無限遠点と 1 つの点で交差する閉じた曲線と見ることができます。この点は、放物線の軸の傾きによって指定されます。放物線が頂点によって対称的な 1 組の「角」に切断された場合、これらの 2 つの角は、頂点から離れるほど互いに平行になり、実際には軸と互いに平行になり、無限遠点では互いに平行になるため、無限遠点で交差します。

複素射影平面の類似物は、（当然）複素射影直線である無限遠の「直線」です。位相的にこれは全く異なり、リーマン球面、つまり 2 次元球面が、 C上の 2 次元の複素アフィン空間（つまり実数 4次元）に追加されて、4 次元コンパクト 多様体になります。結果は向き付け可能ですが、実射影平面は向き付けできません。

複素無限遠直線は19世紀の幾何学でよく使われた。実際、最もよく使われたトリックの1つは、円を2つの無限遠点を通る 円錐曲線とみなすことだった。

X2 + Y2 = ^0です。

この方程式は、 XとYの低次の項を省略したときに、任意の円の方程式がとる形です。より正式には、同次座標を使用します。

[ X:Y:Z ]

無限遠直線は次のように設定することで指定される。

0 = 0です。

Zの累乗を導入して方程式を同次化し、Z = 0 に設定すると、低次の項が正確に除去されます。

したがって、方程式を解くと、すべての円は無限遠の円の点を「通過する」ことがわかります。

I = [1: i :0]かつJ = [1:− i :0]である。

これらは、もちろん、任意の同次座標の表現セットに対して複素点です。ただし、射影平面には十分に大きな対称群があるため、これらは特別なものではありません。結論として、3 パラメータの円族は、 2 つの異なる点PとQを通過する円錐の線形システムの特殊なケースとして扱うことができます。

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