評価リング

抽象代数学において、付値環とは、分数体Fのすべての非ゼロ元xに対して、 xまたはx ⁻¹の少なくとも 1 つがDに属するような整域 Dです。

体 Fが与えられたとき、D がFの部分環で、Fの任意の非零のxに対してxまたはx ^{−1 の}いずれかがDに属する 場合、Dは体Fの付値環またはFの場所であると言われる。この場合のF は確かにDの分数体であるため、体に対する付値環は付値環である。体Fの付値環を特徴付ける別の方法は、 Fの付値環Dが分数体としてF を持ち、そのイデアルが包含によって完全に順序付けられていること、または同等に、その主イデアルが包含によって完全に順序付けられていることである。特に、すべての付値環は局所環である。

体の値環は、支配性または精緻化によって部分的に順序付けられた体内の局所部分環の集合の最大元である。^[1]ここで

${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A})}$および の場合にはが支配的となる。^[2]${\displaystyle (B,{\mathfrak {m}}_{B})}$${\displaystyle A\supseteq B}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}}$

体Kのすべての局所環は、 Kの何らかの付値環によって支配されます。

任意の素イデアルにおける局所化が付値環となる整域はプリューファー域と呼ばれる。

付値環には同値な定義がいくつかあります（優位性の観点からの特徴付けについては下記を参照）。整域 Dとその分数体 Kについては、以下は同値です。

1. K内のゼロでないすべてのxに対して、 xまたはx ⁻¹の少なくとも 1 つがDに存在します。
2. Dのイデアルは包含によって完全に順序付けられます。
3. Dの主イデアルは包含によって完全に順序付けられます(つまり、 Dの元は、単位まで 、割り切れるかどうかによって完全に順序付けられます)。
4. 全順序付き アーベル群Γ (値群と呼ばれる) と、付値ν: K → Γ ∪ {∞} ( D = { x ∈ K | ν( x ) ≥ 0 })が存在する。

最初の 3 つの定義の同値性は簡単にわかります。(Krull 1939) の定理は、最初の 3 つの条件を満たす任意の環は4 番目の条件も満たすと述べています。Γ をKの単位群とDの単位群の商 K ^× / D ^×とし、ν を自然射影とします。D の元の剰余類を「正」と宣言することで、Γ を全順序群に変えることができます。[ a ^]

さらに、任意の全順序アーベル群 Γ が与えられた場合、値群 Γ を持つ付値環Dが存在する(ハーン級数を参照)。

付値環のイデアルが全順序であるという事実から、付値環は局所領域であり、付値環のすべての有限生成イデアルは主である（すなわち、付値環はベズー領域である）と結論付けることができる。実際、整域が付値環であるための必要十分条件は、局所ベズー領域である、というのがクルルの定理である。^[3]また、このことから、付値環がネーターであるための必要十分条件は、主イデアル領域であることである。この場合、それは体であるか、またはちょうど 1 つの非ゼロの素イデアルを持つ。後者の場合、それは離散付値環と呼ばれる。（慣例により、体は離散付値環ではない。）

値群は整数の加法群と同型であるとき離散的と呼ばれ、付値環が離散付値群を持つのは、それが離散付値環である場合に限る。^[4]

非常に稀ですが、付値環は2 番目または 3 番目の条件を満たす環を指すことがありますが、必ずしも定義域ではありません。このタイプの環のより一般的な用語は、単直列環です。

• 任意の体は付値環である。例えば、代数多様体上の有理関数体。^{[5] [6]}${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$
• 単純な非例は積分領域です。これはジェネリックの逆が であるためです。${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$${\displaystyle f/g\in \mathbb {C} (X)}$${\displaystyle g/f\not \in \mathbb {C} [X]}$
• べき級数の体:

${\displaystyle \mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}$

は評価値 を持ちます。部分環も評価環です。${\displaystyle v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n}$${\displaystyle \mathbb {F} [[X]]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)},}$素イデアル（ p ）における整数の局在。分子が任意の整数で分母がpで割り切れない比からなる。分数の体とは有理数の体である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• マクローリン級数（ゼロでのテイラー級数展開）を持つ複素平面全体の有理型関数の環は、付値環です。分数の体とは、平面全体における有理型関数です。fがマクローリン級数を持たない場合、1/ f は持ちます。
• 与えられた素数 p に対する任意のp進整数 環は、分数体 がp進数 である局所環です。p進整数の整閉包も分数体（p進数の代数閉包） を持つ局所環です。 とはどちらも付値環です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$
• k を順序体とする。kの元は、2 つの整数n < x < mの間にある場合有限と呼ばれ、そうでない場合は無限と呼ばれる。kの有限元の集合Dは付値環である。x ∈ Dかつx −1 ∉ D となる元^xの集合は無限小元の集合である。また、 x ∉ Dかつx ⁻¹ ∈ Dとなる元x は無限と呼ばれる。
• 超実数体* R (実数を含む順序付き体)の有限元の環Fは、 * Rの付値環です。F は、標準の実数と無限小量だけ異なるすべての超実数で構成されます。これは、ある標準の整数nに対して − n < x < nとなる超実数xと言うことと同等です。無限小超実数のイデアルを法とする有限超実数の剰余体 は、実数と同型です。
• 一般的な幾何学の例は、代数平面曲線から来ます。多項式環 と、その環の既約多項式を考えます。すると、環は曲線上の多項式関数の環になります。となる点を選び、それが曲線上の正則点になります。つまり、点における局所環R は、クルル次元1の正則局所環または離散評価環です。${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)}$${\displaystyle \{(x,y):f(x,y)=0\}}$${\displaystyle P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle f(P)=0}$
• たとえば、包含 を考えます。これらはすべて、下有界冪級数 の体の部分環です。${\displaystyle (\mathbb {C} [[X^{2}]],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))}$${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$

付値環の単位元、または可逆元は、 D の元 x のうち、 x −1 も D の元である元です。Dのその他の元( ^非単位元と呼ばれます) はDに逆元を持たず、イデアルMを形成します。このイデアルは、 D の (全順序付き) イデアルの中で最大です。M は最大イデアルなので、商環D / M は、 Dの剰余体と呼ばれる体です。

一般に、かつのとき、局所環が 局所環を支配するといいます。言い換えると、包含は局所環準同型です。体Kのすべての局所環は、 Kの何らかの付値環によって支配されます。実際、 Aを含み、Kのすべての部分環Rからなる集合は空でなく、帰納的です。したがって、ゾルンの補題により、 は最大元を持ちます。 Rは付値環であると主張します。 R は、最大イデアル を含む最大イデアルを持つ局所環であり、最大性により を含みます。また、最大性により、それは整閉でもあります。ここで、 のとき、最大性により となり、したがって次のように書くことができます。 ${\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})}$${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})}$${\displaystyle S\supseteq R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}}$${\displaystyle R\subseteq S}$${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle 1\not \in {\mathfrak {p}}R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}R}$${\displaystyle x\not \in R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]}$

${\displaystyle 1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R}$。

は単位元なので、 はR上で整列していることを意味します。したがって、 はRに含まれます。これは、 Rが付値環であることを証明します。 ( R はAを支配します。なぜなら、その最大イデアルは構成により を含むからです。) ${\displaystyle 1-r_{0}}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

体Kの局所環Rが付値環となるのは、それがKに含まれるすべての局所環の集合のうち、優勢順に部分的に順序付けられたものの最大元である場合に限ります。これは上記から簡単にわかります。^[b]

A を体Kの部分環と、代数的に閉じた体kへの環準同型とします。すると、f は環準同型、D はA を含むKの付値環に拡張されます。(証明: を最大拡張とします。これはゾルンの補題により明らかに存在するものです。最大性により、R はfの核を含む最大イデアルを持つ局所環です。S がR を支配する局所環であれば、S はR上代数的です。そうでない場合は、g が拡張する多項式環を含みますが、これは最大性と矛盾します。の代数体拡張が従います。したがって、 はg を拡張します。したがって、S = Rです。) ${\displaystyle f:A\to k}$ ${\displaystyle g:D\to k}$${\displaystyle g:R\to k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle S/{\mathfrak {m}}_{S}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}_{R}}$${\displaystyle S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k}$

体Kの部分環R がKの付値環Dを含む場合、定義 1 を確認すると、RもKの付値環である。特に、Rは局所的であり、その極大イデアルはDの何らかの素イデアル、たとえばに縮約される。すると がを支配するため、イデアルは全順序付けされているため は付値環である。この観察は、次のことに包含される。^[7] Dを含むKのすべての部分環の集合には全単射対応が存在する。特に、D は整閉であり、^{[8] [c]} Dのクルル次元は、Dを含むKの適切な部分環の数である。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R=D_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to }$

実際、Aの分数Kの体における整域Aの整閉包は、 Aを含むKのすべての付値環の共通部分です。^[9]確かに、付値環は整閉なので、積分閉包は共通部分に含まれます。逆に、x がKに含まれるがA上では積分でないとします。イデアルはではないので、^[d]最大イデアル に含まれます。すると、におけるの局所化を支配する付値環Rが存在します。 なので、。 ${\displaystyle x^{-1}A[x^{-1}]}$${\displaystyle A[x^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A[x^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}}$${\displaystyle x\not \in R}$

優越性は代数幾何学で用いられる。Xを体k上の代数多様体とする。そのとき、 Rの付値環がxにおける構造層の局所環を優越するとき、その環は「 Xに中心x を持つ」という。^[10]${\displaystyle k(X)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x,X}}$

評価環内の理想は、その値群によって記述することができます。

Γ を全順序 アーベル群とする。Γ の部分集合 Δ は、それが空でなく、Δ 内の任意の α に対して、−α と α の間の任意の元も Δ 内にある（端点を含む）とき、線分と呼ばれる。Γ の部分群は、それが線分であり、かつ真部分群である場合、 孤立部分群と呼ばれる。

D を付値vと値群 Γ を持つ付値環とする。 Dの任意の部分集合Aに対して、 を と の和集合の補集合とする。Iが真イデアルならば、はの線分である。実際、この写像はDの真イデアルの集合と の線分集合の間の包含反転一対一を定義する。^{[11]この対応関係の下では、} Dの非零素イデアルはΓ の孤立部分群に全単射に対応する。 ${\displaystyle \Gamma _{A}}$${\displaystyle v(A-0)}$${\displaystyle -v(A-0)}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma _{I}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}}$${\displaystyle \ガンマ}$

例: p進整数の環は、値群 を持つ付値環です。 の零部分群は唯一の最大イデアルに対応し、群全体は零イデアルに対応します。最大イデアルは、 の唯一の孤立した部分群です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

孤立した部分群の集合は包含によって完全に順序付けられます。Γの高さまたはランク r (Γ) は、 Γ の孤立した部分群の集合の濃度として定義されます。非ゼロの素イデアルは完全に順序付けられており、Γ の孤立した部分群に対応するため、Γ の高さは、Γ に関連付けられた付値環DのKrull 次元に等しくなります。

最も重要な特殊なケースは高さ 1 で、これは Γ が加算における実数 のサブグループ(または乗算における正の実数のサブグループ) であることと同等です。高さ 1 の付値を持つ付値環には、超距離的場所を定義する対応する絶対値があります。この特殊なケースは、前述の 離散付値環です。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

有理階数 rr ( Γ)は、アーベル群としての値群の階数として定義される。

${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$

体Kの場所とは、 Kの付値環Dから何らかの体への環準同型pで、任意の に対して となるものである。場所の像はpの剰余体と呼ばれる体である。たとえば、標準写像は場所である。 ${\displaystyle x\not \in D}$${\displaystyle p(1/x)=0}$${\displaystyle D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}}$

A をデデキント領域と素イデアルとします。すると、標準写像は場所になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$

pの付値環がp 'の付値環を含むとき、場所p は で表される場所p ′に特殊化するといいます。代数幾何学では、の場合に素イデアルが に特殊化するといいます。2 つの概念は一致しています。つまり、pに対応する素イデアルが、ある付値環においてp ′に対応する素イデアルに特殊化する場合、かつその場合に限ります ( が同じ体の付値環である場合、D はの素イデアルに対応することを思い出してください)。 ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$${\displaystyle D\supseteq D'}$${\displaystyle D'}$

たとえば、ある代数多様体の関数体では、極大イデアルに含まれるすべての素イデアルは特殊化を与えます。 ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}}$

これは次のように示せます: ならば、pの剰余体のある場所qに対して が成り立ちます。(が の付値環であることに注目し、q を対応する場所とします。残りは機械的です。) D がpの付値環であれば、その Krull 次元はpからpへの特殊化以外の濃度です。したがって、体k上の体Kの付値環Dを持つ任意の場所pに対して、次が成り立ちます: ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$${\displaystyle p'=q\circ p|_{D'}}$${\displaystyle k(p)}$${\displaystyle p(D')}$${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K}$。

pが場所で、A がpの付値環の部分環である場合、 はAにおけるpの中心と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {ker} (p)\cap A}$

アフィン多様体上の関数体には、のどの素数にも関連しない付値が存在する。これらの付値は無限遠点と呼ばれる。[1] 例えば、アフィン直線は関数体 を持つ。 の局所化に関連する場所は ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$${\displaystyle k(x)}$

${\displaystyle k\left[{\frac {1}{x}}\right]}$

最大限の理想で

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\left({\frac {1}{x}}\right)}$

無限の場所です。