標準リング

数学において、代数多様体V（非特異）または複素多様体Vの多元環は、次数環である。

${\displaystyle R(V,K)=R(V,K_{V})\,}$

標準バンドル Kの冪切断の n 乗。そのn次成分 ( の場合) は次のようになる。 ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle R_{n}:=H^{0}(V,K^{n}),\ }$

つまり、標準バンドルKのn番目のテンソル積K ⁿの切断空間です。

0次の次数成分は自明バンドルの切断であり、Vが射影的であるため1次元である。この次数環によって定義される射影多様体はVの標準モデルと呼ばれ、標準モデルの次元はVの小平次元と呼ばれる。 ${\displaystyle R_{0}}$

V上の任意の直線束 Lに対して類似の環を定義することができます。類似の次元は飯高次元と呼ばれます。直線束は、飯高次元が多様体の次元に等しい場合、大きいと呼ばれます。^[1]

正準環、したがって同様に小平次元は双有理不変量です。滑らかなコンパクト複素多様体間の任意の双有理写像は、それぞれの正準環間の同型性を誘導します。結果として、特異空間の小平次元を非特異化の小平次元として定義できます。双有理不変性により、これは明確に定義され、つまり非特異化の選択に依存しません。

基本的な予想は、多元環が有限生成であるというものである。これは、森プログラムの主要なステップであると考えられている。Caucher Birkar、Paolo Cascini、およびChristopher D. Haconら(2010)がこの予想を証明した。

次元

${\displaystyle P_{n}=h^{0}(V,K^{n})=\オペレーター名 {dim} \ H^{0}(V,K^{n})}$

は、古典的に定義されたVのn番目の多種多様体です。多元標準因子は、対応する因子の線型システムを介して、 n標準マップと呼ばれる射影空間へのマップを与えます。 ${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(V,K^{n}))=\mathbf {P} ^{P_{n}-1}}$

Rの大きさはVの基本的な不変量であり、小平次元と呼ばれます。

• Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D. ; McKernan, James (2010)、「対数一般型の多様体の極小モデルの存在」、Journal of the American Mathematical Society、23 (2): 405–468、arXiv : math.AG/0610203、Bibcode : 2010JAMS...23..405B、doi :10.1090/S0894-0347-09-00649-3、MR  2601039
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョー（1994）、代数幾何学原理、ワイリークラシックスライブラリー、ワイリーインターサイエンス、p. 573、ISBN 0-471-05059-8