ループグループ

数学において、ループ群は、最も一般的なリー理論的な意味では、円 $S$ $1$ からリー群 $G$ への滑らかな写像の群 $LG = C \infty (S 1, G)$ であり、乗法は点ごとに定義されます。^[¹^] $G$ がコンパクトリー群の場合、 $LG は$ 、リー代数 $L$ $𝔤 =$ $C$ $\infty$ $($ $S$ $1$ $, 𝔤)を持つ$ 無限次元リー群の基本的な例です。^[²^]^[³^]

基底ループの部分群 $Ω G$ はホモトピー理論において基本的である一方、ループ群の中心拡張とその射影表現はアフィン Kac–Moody 代数、共形場理論、およびVerlinde 公式と密接に関連している。^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}代数幾何学では、 $LG$ $($ $R$ $) =$ $G$ $($ $R$ $(($ $t$ $)))$ で定義される代数ループ群と、それに関連するアフィン Grassmann多様体およびアフィンフラグ多様体も研究される。^[⁵^]

意味

$G を$ 位相群とする。円から $G$ への連続写像の集合 $C (S 1, G)は$ 、コンパクト開位相を備えた点ごとの乗算の下で位相群となる。^[⁶^] $S$ $1$ はコンパクトであるため、これは一様収束位相と同じである。^[⁶^]

リー理論では、通常、グループを考察する。

LG=C^{\infty }(S^{1},G)

有限次元リー群 $G$ における滑らかなループの集合。これは滑らかなコンパクト開位相、すなわち反復接線写像によって誘導される初期位相を備えている。

\displaystyle C^{\infty }(S^{1},G)\to \prod _{k\geq 0}C(T^{k}S^{1},T^{k}G).}

この位相では、 $LG$ は無限次元のリー群である。^{[ 7 ]}^{[ 2 ]}

そのリー代数は

L{\mathfrak {g}}=C^{\infty }(S^{1},{\mathfrak {g}}),

点ごとの括弧付き。S 1 はコンパクトであるため $、上$ の滑らかなコンパクト開位相は $L{\mathfrak {g}}$ $は、 S 1$ 上のすべての導関数の一様収束のフレシェ位相です。同等に、 $S 1$ 上の角度座標と $\mathfrak g$ 上のノルムを選択した後、半ノルムによって定義されます。

p_{n}(X)=\sup _{\theta \in S^{1}}\|X^{(n)}(\theta )\|\qquad (n\geq 0).

^{[ 8 ]}

コンパクト $G$ の場合、滑らかなループ群は核フレシェ空間に基づいてモデル化される。^{[ 9 ]}

基本的な構造

無料およびベースループグループ

$G$ の自由ループ群は $LG$ 自身です。基底ループ群は

\Omega G=\{\gamma \in LG:\gamma (1)=e\},

評価マップの核

\displaystyle \operatorname {ev} _{1}:LG\to G,\qquad \gamma \mapsto \gamma (1).}

したがって、 $Ω Gは$ $LG$ の閉じた正規部分群である。定数ループを含めると $ev 1$ が分裂するため、分裂完全列が存在する。

1\to \Omega G\to LG\xrightarrow {\operatorname {ev} _{1}} G\to 1,

したがって、半直接積分解

LG\cong \Omega G\rtimes G.

^{[ 1 ]}

ループ空間との関係

位相空間として、 $Ω Gは$ $G$ の基底ループ空間である。その点ごとの積と基底ループの通常の連結は異なる演算であるが、ホモトピーを除いて同じ乗算を誘導する。これはエックマン-ヒルトンの議論の現れである。^{[ 1 ]}

基本トポロジー

評価マップの分割

\operatorname {ev} _{1}:LG\to G

定数ループによって $LG$ は $G \times ΩG を$ 位相空間として識別する。

LG\cong G\times \Omega G,\qquad \gamma \mapsto {\bigl (}\gamma (1),\,\gamma (1)^{-1}\gamma {\bigr )}.

$したがって、 LG$ のトポロジーは、 $G$ と基底ループ空間 $Ω G$ のトポロジーによって決定される。^{[ 1 ]}

特に、 $LG$ の連結成分は以下のように分類されます。

\pi _{0}(LG)\cong \pi _{0}(G)\times \pi _{0}(\Omega G).

$G$ が連結している場合、 $\pi _{0}(\Omega G)\cong \pi _{1}(G)$ 、それで

\pi _{0}(LG)\cong \pi _{1}(G).

したがって、 $G$ が単連結であるときはいつでも $LGも$ 連結である。^[¹^]

より一般的には、各 $k \geq 1$ に対して、

\pi _{k}(LG)\cong \pi _{k}(G)\oplus \pi _{k}(\Omega G)\cong \pi _{k}(G)\oplus \pi _{k+1}(G)。

したがって、ループ群のホモトピー群は、 $G$ のホモトピー群を 1 度ずらしたものと $G$ 自身のホモトピー群によって決定される。^{[ 1 ]}

これらの基本的な同一視は、ループ群が代数トポロジーにおいて重要である理由の一つである。ユニタリの場合、ループ群はボット周期性と密接に関連しており、均質空間 $LG / G ≅ Ω G$ の Segal のグラスマンモデルはこの関係を明確にしている。^{[ 2 ]}

回転運動と正のエネルギー

ループ群は、点ごとの乗算に加えて、パラメータを回転させることで円の自然な動作を実現します。

(R_{\phi }\gamma )(e^{i\theta })=\gamma (e^{i(\theta +\phi )})。

これにより、半直接生成物を形成できる。

T_{\mathrm {rot} }\ltimes LG,

ここで $T rotは$ 回転によって $LG$ に作用する。 ^{[ 2 ]}

この動作は、正エネルギー表現の理論の出発点です。LG の表現は、 $T$ $rot$ の正の動作を備え、 $LG$ の表現である場合に正エネルギーを持つと言われます。 $T_{\mathrm {rot} }\ltimes LG$ シーガルの定式化では、 $e^{i\phi }\in T_{\mathrm {rot} }$ 正の値となるのは、 $e^{iA\phi }$ スペクトルが下限を持つ演算子 $Aの場合。$ ^{[ 2 ]}

コンパクト $G$ の場合、既約正エネルギー表現はループ群の射影表現の特別なクラスです。これらは複素化されたループ群に正則的に拡張され、有限次元エネルギー固有空間に分解されます。^{[ 2 ]}このため、コンパクト $G$ のループ群の表現論はコンパクト群の表現論によく似ています。

無限次元リー群構造

$G$ が有限次元リー群である場合、 $G$ 内の適切なループ空間は無限次元多様体構造を継承する。滑らかなループの場合、 $LG$ はフレシェリー群であり、そのリー代数はループ代数である。

L{\mathfrak {g}}=C^{\infty }(S^{1},{\mathfrak {g}}),

ポイントごとの括弧付き

[X,Y](z)=[X(z),Y(z)]。

^{[ 2 ]}^{[ 1 ]}

指数写像は、 $G$ の指数写像から点ごとに誘導される。

\displaystyle \exp _{LG}(X)(z)=\exp _{G}(X(z)).}

コンパクト $G$ の場合、ループ群は無限次元リー群の最も単純でよく研究されている例の一つです。^{[ 2 ]}

ループ群上の微分幾何学を展開するには、ソボレフ完備化 $L s G$ がよく用いられる。特に、コンパクト、連結、単連結、単純リー群を基底とするループ群は、ヒルベルト多様体設定におけるケーラー計量を含む自然な幾何学的構造を持つ。^{[ 3 ]}

同次空間と因数分解

$定数ループの部分群としてG$ が埋め込まれた商 $LG / G$ は、 $Ω$ $G$ と同一視できる。この均質空間の観点は、ループ群の幾何学において中心的な役割を果たす。^[²^]^[³^]

$G$ がコンパクトであり、 $G ℂ$ がその複素化である場合、複素化されたループ群 $LG ℂ は、$ バーコフ分解やブルハット分解に類似した因数分解現象を許容します。これらの分解は、ループ群の幾何学、トープレッツ作用素の理論、および可積分系の解の構成において重要な役割を果たします。^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}^{[ 10 ]}

中心拡張と表現論

ループ群に付随する多くの自然な表現は、 $LG$ の正確な表現ではなく、円群 $U$ $(1)による$ $LG$ の中心的な拡張の表現である。^[¹^]^[⁴^]

コンパクトリー群 $Gの場合、$ $H 4 (BG; Z)$ の整数クラスは、越境によってループ群の中心拡張を生み出します。このような拡張は、しばしばレベルによって記述されます。^{[ 4 ]}対応する射影ユニタリ表現には、積分可能な最高ウェイト表現または正エネルギー表現が含まれ、これらは関連するアフィン Kac–Moody 代数の表現と密接に関連しています。^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

ループ群の表現論は、フェルリンデ環およびねじれ同変K理論とも関連している。フリード、ホプキンス、テレマンの研究では、正エネルギー表現のフェルリンデ環は、 $G$ の適切なねじれ同変K群と同一視されている。^{[ 4 ]}

ねじれたループグループ

$σ を$ 有限位数 $mの$ $G$ の自己同型とする。対応するねじれループ群は、以下の条件を満たす滑らかな写像 $γ:$ $R$ $\to$ $G$ から構成される。

\gamma (\theta +2\pi )=\sigma (\gamma (\theta )).

同様に、円に移行した後、ねじれたループはモノドロミー $σを持つ$ $S 1$ 上の束のセクションとみなすことができる。^[⁵^]

ねじれループ群は、アフィン・ディンキン図の理論、表現論、アフィン・フラッグ多様体の理論において自然に現れる。これらには、リー代数的な対応物としてねじれアフィン・カッツ・ムーディー型が含まれる。^{[ 5 ]}

代数ループ群

代数幾何学と算術幾何学では、滑らかなループをローラン級数に置き換える。G $が$ 体 $k$ 上の代数群である場合、その代数ループ群は関手である。

LG(R)=G(R((t)))

$k-$ 環 $R$ 上では、関連する正のループ群は

L^{+}G(R)=G(R[[t]]).

^{[ 5 ]}

これらの対象はアフィン・グラスマン多様体の理論の基礎となる。

\operatorname {Gr} _{G}=LG/L^{+}G

そして、幾何学的表現論、幾何学的ラングランズ・プログラム、志村多様体の局所モデルの理論の中心となるアフィン旗多様体。^{[ 5 ]}

複素ループ群と正則ループ群

$Gが複素化$ $G C$ を持つコンパクトリー群である場合、滑らかなループ群 $LG は$ 複素化を持つ

{\displaystyle LG_{\mathbf {C} }=C^{\infty }(S^{1},G_{\mathbf {C} })。

これは無限次元リー群の中でもループ群の特別な特徴の一つである。^{[ 2 ]}

$密接に関連する役割は、 S 1$ で囲まれたディスクの 1 つを正則的に横切るループの部分群によって果たされます。単位ディスクを $D$ 、その外部を $D *とすると、正則写像$ $D$ $\to$ $G$ $\mathbf C$ および $D$ $*$ $\to$ $G$ $C$ の境界値からなる部分群 $L + G C$ および $L - G C$ が定義されます。^[¹^]^[²^]

これらの正則部分群は、ビルコフの因数分解定理に含まれ、それによれば、適切な層では、 $G \mathbf C$ のループは次の形式で記述できる。

\gamma =\gamma _{-}\,\lambda \,\gamma _{+},

ここで、 $γ − \in L − G C$ 、 $γ + \in L + G C$ 、 $λ: S 1 \to T$ は極大トーラスへの準同型写像である。^{[ 2 ]}この因数分解はブルハット分解の無限次元版であり、ループ群の同質空間の幾何学の多くを支えている。^{[ 1 ]}

正則表現法は表現論にも取り入れられている。セガルのボレル・ワイルの図では、正エネルギー表現はループ群に付随する同質空間上の線束の正則切断の空間として実現され、すべての既約正エネルギー表現は複素化されたループ群の正則表現に拡張される。^{[ 2 ]}

例

最も単純な非自明な例は $G = S 1$ です。この場合、滑らかなループは、その巻き数によって連結成分まで分類されます。より一般的には、 $T が$ $リー代数𝔱$ とコ指標格子を持つトーラスである場合、

\Pi =\exp ^{-1}(1)/(2\pi )\subset {\mathfrak {t}},

するとループ群は正準分解を持つ

LT\cong T\times \Pi \times U,

どこ

U=\exp(V),\qquad V=\left\{\beta :S^{1}\to {\mathfrak {t}}\;|\;\int _{S^{1}}\beta (s)\,ds=0\right\}.

特に、 $LT$ の連結成分は次のようにインデックス付けされます。 $\Pi \cong \pi _{1}(T)$ $T = S 1$ の場合、これは次のようになります。

LS^{1}\cong S^{1}\times \mathbf {Z} \times U,

$したがって、 LS 1$ のコンポーネントは整数によってインデックス付けされます。^{[ 11 ]}

指数理論

ループ群は、いくつかの関連する方法で指数理論に導入されます。最も初期のものの1つは、ループ群に関連付けられた無限次元グラスマン多様体の行列式線束を介したものです。Pressley、Segalらが使用したグラスマン多様体モデルでは、この線束はループ群の基本中心拡大と、その表現の幾何学的実現に結び付けられています。^[²^]^[¹²^]

解析的指数理論は、トープレッツ作用素の族やスペクトル流を通して現れる。トーラスの場合、フリード、ホプキンス、テレマンは、スペクトル流がループ群表現に関連付けられたねじれK理論クラスの構成に必要な基本位相クラスを与えるディラック作用素の族を記述している。^{[ 4 ]}

ループ群の正エネルギー表現に付随するディラック族から、より深い繋がりが生まれます。フリード、ホプキンス、テレマンの研究では、このようなフレドホルム演算子の族がねじれ同変K理論のクラスを生成し、この構成は、ヴェルリンデ環を $G$ のねじれ同変K理論と同一視する要素の一つとなっています。^{[ 4 ]}

$これらの指数理論的な構成は、ループ群表現論を幾何学的量子化、中心拡大、および群G$ 自体のトポロジーと結びつける。^{[ 4 ]}

アプリケーション

ループ群は、数学および数理物理学のいくつかの分野で出現する。

代数トポロジーでは、基底ループ群 $ΩG は$ H空間の基本的な例であり、 $G$ のホモトピー型と密接に関連している。^{[ 1 ]}
表現論では、ループ群とその中心拡張はアフィン Kac–Moody 代数と正エネルギー表現につながる。^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}
代数幾何学では、代数ループ群はアフィングラスマン多様体とアフィン旗多様体を生み出す。^{[ 5 ]}
数理物理学では、ループ群は共形場理論、チャーン・サイモンズ理論、ねじれ同変K理論に現れる。^{[ 4 ]}

統合可能なシステム

ループ群は、可積分系の現代理論において中心的な役割を果たしている。非線形発展方程式の大きなクラスは、複素スペクトルパラメータλを持つLaxペア形式またはゼロ曲率形式で記述できる $。$ 係数が $λ$ に対して有理関数的またはローラン多項式的に依存し、リー代数𝔤の値をとる場合 $、$ それらは $ループ$ 代数L𝔤 $の$ 要素と見なすことができる。ループ代数を正の部分と負の部分に分割し、対応するループ群で因数分解すると、可換な流れの階層と解生成手順が生成される。^[¹³^]

基本的な例として、KdV階層があります。SegalとWilsonは、KdV型の方程式の研究において、ループ群に関連付けられた無限次元グラスマン多様体の点から、大きなクラスの解を構築できることを示しました。この図では、可換フローは正のループ部分群の作用によって誘導され、対応する解はBaker関数とτ関数sで記述されます。^[¹²^]

ループ群の因数分解は、ドレッシング変換とバックルンド変換の基礎にもなっている。TerngとUhlenbeckは、ループ群作用の共通フレームワーク内で、特に非線形シュレディンガー方程式、修正KdV方程式、 $n$ 波方程式を含むZS–AKNS階層について、保存則、散乱理論、階層、バックルンド変換を定式化した。^{[ 14 ]}

微分幾何学でも同様の手法が用いられています。ループ群構成は、リー群や対称空間への調和写像、カイラルモデル、定平均曲率や等温曲面などの幾何積分可能なシステムの範囲に用いられます。^{[ 13 ]}^{[ 15 ]}コンパクトな場合、大域的なバーコフ型および岩澤型の分解はドレッシング法を強化し、いくつかの幾何積分可能なシステムに対して大域的なワイエルシュトラス型の表現をもたらします。^{[ 16 ]}

ホッジ理論

ループ群は、ホッジ理論とのより特殊な相互作用においても現れる。ジェレミー・ダニエルの研究では、ループホッジ構造は、ループ群の幾何学的特徴を取り入れたホッジ構造の無限次元類似物として定義され、ループホッジ構造の変種は調和束と等価であることが示されている。^{[ 17 ]}

この観点から、非可換ホッジ理論は、ループ群構成に関連する無限次元周期領域の値を持つ周期マップで表現することができる。^{[ 17 ]}

現在のグループ

カレント群はループ群を一般化したもので、円を滑らかな多様体 $Mに置き換えたものです。したがって、カレント群は$ $Mから$ $G$ への滑らかな写像の群であり、乗法は点ごとに定義されます。

C^{\infty }(M,G)=\{f:M\to G\mid f{\text{は滑らかである}}\},\qquad (f_{1}f_{2})(x)=f_{1}(x)f_{2}(x).

より一般的には、シーガルはマッピンググループについて説明した。 $\operatorname {Map} (X,G)$ コンパクト多様体 $X$ はループ群の高次元類似物であり、数理物理学では電流群やゲージ群として現れることに注意する。^{[ 18 ]}

$G$ が位相群である場合、連続写像空間 $C (M, G)は$ コンパクト開位相を持つ位相群となる。滑らかな写像の場合、通常は滑らかなコンパクト開位相が用いられる。^{[ 19 ]} $M$ と $G$ に関する適切な仮定の下で、これによりC∞(M,G)は自然な無限次元リー群構造を持つ $。そのリー代数は対応する$ カレント代数である。

C^{\infty }(M,{\mathfrak {g}}),

点ごとのリー括弧付き。^{[ 20 ]}

非コンパクト多様体の場合、コンパクト台を持つ電流群 $C \infty c (M, G)$ 、あるいはより一般的には $M$ 上のリー群の束の切断群 $Γ c (M,𝒢)$ を研究することが多い。主束のゲージ群は次の形式である。Ξ $\to$ $M$ が主 $G$ 束である場合、そのゲージ群は切断群 $Γ($ $M$ $,Ad(Ξ))$ と同型であり、コンパクト台を持つゲージ群は $Γ$ $c$ $($ $M$ $,Ad(Ξ))$ と同型である。^[²¹^]

電流群は量子場理論やゲージ理論に自然に現れる。しかし、ループ群と比較すると、その一般的な表現論は十分に発展していない。最近の研究の多くは、中心拡張や、ゲージ群の有界表現や正エネルギー表現などの特殊なクラスの表現に焦点を当てている。^{[ 18 ]}^{[ 21 ]}

注記

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