代数多様体の関数体

代数幾何学において、代数多様体Vの関数体は、 V上の有理関数として解釈される対象から構成される。古典代数幾何学では、これらは多項式の比であり、複素幾何学では、これらは有理型関数とその高次元版であり、現代代数幾何学では、これらは何らかの商環の分数体の要素である。

複素幾何学では、研究対象は複素解析多様体であり、その上で局所的な複素解析の概念を用いて有理型関数を定義することができる。多様体の関数体とは、その多様体上のすべての有理型関数の集合である。（すべての有理型関数と同様に、これらの関数は の値をとる。）$\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$）関数の加算と乗算の演算と合わせて、これは代数学の意味での体である。

リーマン球面は、${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$複素数上のグローバルな有理型関数は、まさに有理関数（つまり、複素多項式関数の比）である。

古典的な代数幾何学では、2番目の観点を一般化します。上記のリーマン球面の場合、多項式の概念は全体的に定義されるのではなく、単にアフィン座標チャート、すなわち複素平面（球面の北極を除くすべて）に関して定義されます。一般的な多様体Vにおいて、開アフィン部分集合U上の有理関数は、Uのアフィン座標環における 2 つの多項式の比として定義され、 V全体上の有理関数は、開アフィンの交点で一致するような局所的なデータから構成されるとします。すべての開アフィン部分集合は稠密であるため、 Vの関数体は、任意の開アフィン部分集合のアフィン座標環の分数体として定義できます。

最も一般的な設定、すなわち現代スキーム理論においては、上記の後者の観点が出発点として採用される。すなわち、${\displaystyle X}$が積分スキームである場合、すべての開アフィン部分集合に対して${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$セクションのリング${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$の上${\displaystyle U}$は整域であり、したがって分数の体を持つ。さらに、これらはすべて同じであり、すべて一般点の茎に等しいことが確認できる。${\displaystyle X}$したがって、関数場は${\displaystyle X}$それは、その一般的なポイントの茎にすぎません。^{[ 1 ]}

V が体K上で定義された多様体である場合、関数体K ( V ) は基礎体Kの有限生成体拡大であり、その超越次数は多様体の次元に等しい。K上の体として有限生成されるKの拡大はすべて、このようにして何らかの代数多様体から生じる。これらの体拡大は、K上の代数関数体とも呼ばれる。

関数体のみに依存する多様体Vの性質は、双有理幾何学において研究される。

K上の点の関数体はKです。

K上のアフィン直線の関数体は、1 変数の有理関数の体K ( t )と同型です。これは射影直線の関数体でもあります。

方程式で定義されるアフィン代数平面曲線を考えます。$\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$その関数体は、 K上の超越元xとyによって生成され、代数関係を満たす体K ( x , y ) である。$\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$。

• 代数関数体
• カルティエ除算器

• David M. Goldschmidt (2002).代数関数と射影曲線.大学院数学テキスト. 第 215巻. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95432-5。