環理論の用語集

環理論は、環、つまり加算と乗算の両方の演算をサポートする構造を研究する数学の分野です。これは、この主題に関するいくつかの用語の用語集です。

可換代数（可換環の理論）の項目については、可換代数の用語集を参照してください。モジュールの言語における環理論の概念については、モジュール理論の用語集も参照してください。

特定の種類の代数については、体論の用語集およびリー群とリー代数の用語集も参照してください。現在、一般に必ずしも結合的ではない代数構造に関する用語集は存在しないため、この用語集には、結合性を必要としないいくつかの概念 (たとえば、導出) が含まれています。

アミトゥール コンプレックス

環準同型のAmitsur複体は、環準同型が忠実に平坦でない程度を測定するコチェーン複体です。

アルティニアン

左アルティニアン環は左イデアルに対する下降連鎖条件を満たす環であり、右アルティニアン環は右イデアルに対する下降連鎖条件を満たす環です。環が左アルティニアンかつ右アルティニアンである場合、それはアルティニアンと呼ばれます。アルティニアン環はネーター環です。

仲間

可換環において、元a が元bを割り切り、かつbが元 a を割り切る場合、元aは元bの準元と呼ばれます。

自己同型性

環の自己同型とは、同じ環間の環同型です。言い換えれば、乗法的であり、乗法的単位元を保存する環の自己準同型環の単位元です。

可換環R上の代数自己同型は、同じ代数間の代数同型であり、 R線型でもある環自己同型です。

あずまや

アズマヤ代数は、中心単純代数を非体基底環に一般化したものです。

二次元

可換環R上の結合代数 Aの二次元は、 ( A ^op ⊗ _R A ) -モジュールとしてのAの射影次元です。たとえば、代数の二次元がゼロになるのは、それが分離している場合のみです。

ブール値

ブール環は、すべての要素が乗法的に冪等である環です。

ブラウアー

体のBrauer 群は、体上の中心単純代数のすべての同値類からなるアーベル群です。

カテゴリ

環のカテゴリは、オブジェクトが（すべての）環であり、射が（すべての）環準同型であるカテゴリです。

中心

1.環Rの元rが中心であるとは、 Rのすべてのxに対してxr = rx が成立する場合です。すべての中心元の集合はRの部分環を形成し、Rの中心と呼ばれます。

2.中心代数は中心上の結合代数です。

3.中心単純代数とは、中心代数でありながら単純環でもある代数です。

中央集権者

1.環の部分集合Sの中心化は、 Sの元と可換な元からなる環の部分環である。たとえば、環自体の中心化は環の中心である。

2. 集合の二重中心化は、その集合の中心化の中心化です。二重中心化定理を参照してください。

特性

1.環の特性とは、環のすべての元xに対してnx = 0 を満たす最小の正の整数n のことです (そのようなn が存在する場合)。そうでない場合、特性は 0 です。

2. Rの特性部分環は最小の部分環（すなわち、唯一の極小部分環）である。唯一の環準同型Z → Rの像が必要であり、したがってZ / nと同型である（nはRの特性） 。

変化

環の変化は、環準同型によって誘導される（適切なカテゴリ間の）関手です。

クリフォード代数

クリフォード代数は、幾何学や物理学で役立つ特定の結合代数です。

筋の通った

左コヒーレント環とは、その環の有限生成左イデアルがすべて有限表示加群となる環のことである。言い換えれば、その環はそれ自身に対して左加群としてコヒーレントである。

交換可能な

1. 環Rが可換であるとは、乗法が可換である場合、つまり、すべてのr、s ∈ Rに対してrs = sr である場合です。

2. 環Rが歪可換環であるとは、xy = (−1) ^{ε ( x ) ε ( y )} yxが成り立つことをいう。ここでε ( x ) は元xの偶奇を表す。

3. 可換代数は、可換環である結合代数です。

4.  可換代数は可換環の理論です。

導出

1.可換環R上のおそらく非結合な代数Aの導出は、ライプニッツ規則を満たすR線型自己準同型である。

2.代数Aの微分代数は、微分からなるAの自己準同型代数の部分代数です。

差額

微分代数は、微分を伴う代数です。

直接

環族の直積は、与えられた環の直積を取り、成分ごとに代数演算を定義することによって与えられる環です。

除数

1.整域 Rにおいて、^{[説明が必要]}元aが元bの約数であるとは、Rに元 x が存在し、その場合ax = bとなるときである。

2. Rの元rが左ゼロ因子であるとは、 Rにrx = 0となる非ゼロ元xと右ゼロ因子が存在する場合、またはyr = 0となる非ゼロ元y がRに存在する場合です。 Rの元rは、左ゼロ因子と右ゼロ因子の両方である場合、両側ゼロ因子と呼ばれます。

分割

分割環またはスキュー体とは、すべての非ゼロ要素が単位であり、1 ≠ 0である環です。

ドメイン

領域は、 0 以外の零因子を持たない非零環です。歴史的な理由により、可換領域は整域と呼ばれます。

準同型性

自己準同型環は加法構造を持つオブジェクトの自己準同型によって形成される環であり、乗算は関数合成として扱われ、加算は像の各点の加算として扱われます。

包絡代数

必ずしも結合的ではない代数Aの(普遍)包絡代数 Eは、何らかの普遍的な方法でAによって決定される結合代数です。最もよく知られている例は、リー代数の普遍包絡代数です。

拡大

RがEの部分環である場合、環Eは環Rの環拡張です。

外積代数

ベクトル空間またはモジュールVの外積代数は、 Vのテンソル代数をx ⊗ xの形式の要素によって生成されるイデアルで割った商です。

分野

体とは可換除算環、つまり各非ゼロ要素が逆である非ゼロ環です。

フィルターリング

フィルターリングは、フィルター機能を備えたリングです。

有限生成

1. 左イデアルIが有限生成であるとは、I = Ra ₁ + ... + Ra _nとなる有限個の元a ₁ , ..., a n_が存在する場合です。右イデアルIが有限生成であるとは、I = a ₁ R + ... + a _n Rとなる有限個の元a _{1 , ...,} a _nが存在する場合です。両側イデアルIが有限生成であるとは、 I = Ra ₁ R + ... + Ra _n Rとなる有限個の元a ₁ , ..., a _{n が}存在する場合です。

2.有限生成環とは、 Z代数として有限生成される環である。

有限に提示された

可換環R上の有限表示代数は、有限変数のR上の多項式環を有限生成イデアルで割った（可換）結合代数である。^[1]

無料

1.自由イデアル環またはモミ環は、すべての右イデアルが固定ランクの自由モジュールである環です。

2. セミファーとは、有限生成右イデアルがすべて固定ランクの自由モジュールである環です。

3.結合族の自由積は、大まかに言えば、族内の代数の生成元と関係によって得られる結合代数です。この概念は、結合代数のどのカテゴリが考慮されるかによって異なります。たとえば、可換環のカテゴリでは、自由積はテンソル積です。

4.自由環は整数上の自由代数である環です。

段階的

次数環は、次数または段階を伴う環です。つまり、次数を考慮した乗法による加法部分群の直和です。たとえば、多項式環は、多項式の次数による次数環です。

生成する

可換環R上の結合代数Aは、 Sを含む最小の部分代数が A 自身であり、 S が A の生成集合であるというとき、Aの部分集合Sによって生成されるという。有限生成集合がある場合、A は有限生成代数であると言われる。

遺伝性の

環の左イデアルがすべて射影加群である場合、その環は左遺伝的である。右遺伝的環も同様に定義される。

理想的

Rの左イデアル Iは、すべてのa ∈ Rに対してaI ⊆ IとなるRの加法部分群です。右イデアルは、すべてのa ∈ Rに対してIa ⊆ IとなるRの部分群です。イデアル(強調のため両側イデアルと呼ばれることもあります) は、左イデアルと右イデアルの両方である部分群です。

べき等

環の元r は、 r ² = rのとき冪等である。

積分領域

「整域」または「整環」は、可換域、つまり 0 以外の零因子を持たない非零可換環の別名です。

不変

環R は、R加群としてR ^{m が}R ⁿと同型であればm = n となるとき、不変基底数を持ちます。

還元不可能な

整域の元x は、それが単位元でない場合、既約元です。また、 x = ab となる元aとb のいずれについても、aまたはbが単位元です。すべての素元は既約元ですが、その逆は必ずしも当てはまらないことに注意してください。

ジェイコブソン

1.環のヤコブソン根基は、すべての極大左イデアルの交差です。

2.ヤコブソン環は、各素イデアルが原始イデアルの交差である環です。

カーネル

環準同型f  : R → Sの環準同型の核は、 f ( x ) = 0となるRのすべての元xの集合です。すべてのイデアルは環準同型の核であり、逆もまた同様です。

ケーテ

ケーテの予想によれば、環に非ゼロの nil 右イデアルがある場合、非ゼロの nil イデアルも存在することになります。

地元

1. 唯一の最大左イデアルを持つ環は局所環である。これらの環は唯一の最大右イデアルも持ち、左と右の唯一の最大イデアルは一致する。特定の可換環は、素イデアルでの局所化を介して局所環に埋め込むことができる。

2.環の局所化 : 可換環の場合、環の元の集合を単位に変換する手法。任意の環を局所環にすることができるため、局所化と呼ばれています。環Rを局所化するには、零因子を含まない乗法的に閉じた部分集合Sを取り、その乗法的逆数を正式に定義して、それをRに追加します。非可換環での局所化はより複雑で、いくつかの異なる方法で定義されてきました。

最小と最大

1.環Rの左イデアルMは、適切な（または非ゼロの）左イデアルの中で最大（または最小）である場合に、最大左イデアル（または最小左イデアル）と呼ばれます。最大（または最小）右イデアルも同様に定義されます。

2. 最大部分環は、真部分環の中で最大の部分環です。「最小部分環」も同様に定義できます。これは一意であり、特性部分環と呼ばれます。

マトリックス

1.環R上の行列環は、要素がRを要素とする固定サイズの正方行列である環です。 R上の行列環または行列の完全行列環は、 Rを要素とする固定サイズの正方行列すべてからなる行列環です。文法的な構成が機能しない場合、「行列環」という用語は、文脈上混乱が生じそうにない場合は「完全」行列環を指すことがよくあります。たとえば、半単純環が除算環の行列環の積であると述べる場合、「行列環」は「完全行列環」を指すと暗黙的に想定されます。すべての環は、それ自体上の完全行列環（と同型）です。

2.一般行列の環は、形式変数に要素を持つ正方行列で構成される環です。

モノイド

モノイド環。

森田

2 つの環は、一方の環上の加群のカテゴリがもう一方の環上の加群のカテゴリと同値である場合に、森田同値であると言われます。

近づいている

近傍環は、加法の下で群であり、乗法の下で半群であり、その乗法が加法上で右分配される構造です。

ゼロ

1.零イデアルは、零元からなるイデアルです。

2. (Baer)上の nil 根号は、すべての nil イデアルの合計です。

3. (Baer)下側の nil 根基は、すべての素イデアルの交差です。可換環の場合、上側の nil 根基と下側の nil 根基は一致します。

無力な

1. Rの元r が冪零であるとは、 r ⁿ = 0となる正の整数n が存在する場合である。

2.零イデアルは、その要素が零元であるイデアルです。

3. 冪零イデアルとは、ある正の整数kに対して冪 I ^kが {0} となるイデアルです。すべての冪零イデアルは nil ですが、その逆は一般には成り立ちません。

4.可換環の冪根基は、環のすべての冪零元からなるイデアルです。これは、環のすべての素イデアルの共通部分に等しく、環のヤコブソン根基に含まれますが、一般には等しくありません。

ネーター派

左ネーター環は、左イデアルに対する昇順連鎖条件を満たす環です。右ネーター環も同様に定義され、左ネーター環と右ネーター環の両方である環はネーター環です。環が左ネーター環となるのは、その左イデアルがすべて有限生成である場合のみです。右ネーター環についても同様です。

ヌル

ヌルリング: スクエアゼロの rng を参照してください。

反対

環Rが与えられ、その反環 R ^{op は}Rと同じ基底集合を持ち、加算演算はRと同様に定義されますが、 R ^opにおけるsとrの積はrsであるのに対し、 Rにおける積はsrです。

注文

代数の順序は、（大まかに言えば）完全格子でもある部分代数です。

鉱石

左Ore ドメインは、非ゼロ要素の集合が左 Ore 条件を満たす (非可換な) ドメインです。右 Ore ドメインも同様に定義されます。

完璧

左完全環は、右主イデアルに対する下降連鎖条件を満たす環です。また、平坦な左加群がすべて射影加群である環としても特徴付けられます。右完全環も同様に定義されます。アルティン環は完全です。

多項式

1.可換環R上の多項式環は、 Rに係数を持つ指定された変数のすべての多項式からなる可換環です 。

2.歪多項式環

環RとRの自己準同型σ ∈ End( R )が与えられます。歪多項式環R [ x ; σ ]は集合{ a _n x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + ... + a ₁ x + a ₀ | n ∈ N , a _n , a _{n −1} , ..., a ₁ , a ₀ ∈ R }として定義され、加算は通常どおり定義され、乗算は関係xa = σ ( a ) x ∀ a ∈ Rによって定義されます。

プライム

1.整域の元x は、ゼロでも単位でもないときに素元と呼ばれ、 x が積ab を割り切るか、x がa を割り切るか、またはx がb を割り切るかのいずれかになります。

2.可換環RのイデアルP は、 P ≠ RかつRに属するすべてのaとbに対して、 abがPに属するとき、a がPに属するかb がPに属する場合、素数です。可換環のすべての極大イデアルは素数です。

3.環R (必ずしも可換ではない) のイデアルPが素数であるとは、P ≠ Rであり、 RのすべてのイデアルAとBに対して、AB ⊆ PであればA ⊆ PまたはB ⊆ Pであることを意味します。これは可換環の定義を拡張します。

4.  素環 :非零環 Rは、 Rの任意の 2 つの元aとbでaRb = 0の場合に、 a = 0またはb = 0 のいずれかが成り立つとき、素環と呼ばれます。これは、零イデアルが素イデアルであると言うことと同じです (非可換な意味で)。すべての単純環とすべての領域は素環です。

原生的

1.左原始環は忠実な 単純 左R加群を持つ環です。すべての単純環は原始環です。原始環は素数です。

2.環RのイデアルI は、 R / Iが原始的である場合に原始的であると言われる。

主要

主イデアル :環Rの主左イデアルは、Rの何らかの元aに対する形式Raの左イデアルです。主右イデアルは、 Rの何らかの元aに対する形式aRの右イデアルです。主イデアルは、 Rの何らかの元aに対する形式RaRの両側イデアルです。

主要

1.主イデアル領域は、すべてのイデアルが主である整領域です。

2.主イデアル環とは、すべてのイデアルが主である環である。

準フロベニウス

準フロベニウス環:両辺とも自己入射的な環 である特殊なタイプのアルティン環

商環または因数環 : 環RとRのイデアルIが与えられたとき、商環は剰余類の集合R / I { a + I  : a ∈ R }と、演算( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + Iおよび( a + I )( b + I ) = ab + Iによって形成される環です。イデアル、準同型、因数環の関係は、準同型に関する基本定理にまとめられています。

ラジカル

可換環のイデアル Iの根基は、 Iに冪が含まれる環元すべてから構成されます。これは、 I を含むすべての素イデアルの共通部分と等しくなります。

指輪

1. 2 つの二項演算(通常、加算 (+) と乗算 (×) と呼ばれる) を持つ集合 Rがあり、 R は加算に関してアーベル群であり、 R は乗算に関してモノイドであり、乗算は加算に関して左分配法と右分配法の両方である。特に断りのない限り、環は乗法単位元を持つものとみなされます。加法単位元は 0 で示され、乗法単位元は 1 で示されます。 (警告: 一部の書籍、特に古い書籍では、「環」という用語を、ここでrngと呼ぶものの意味に使用しています。つまり、環が乗法単位元を持つことを要求していません。)

2.環準同型 :環( R , +, ∗)と環( S , ⊕, ×)の間の関数 f  : R → Sが次を満たすとき、 環準同型である。

f ( a + b ) = f ( a ) ⊕ f ( b )

f ( a ∗ b ) = f ( a ) × f ( b )

（１）＝１

Rのすべての要素aとbについて。

3.  環同型:全単射で ある環準同型は環同型です。環同型の逆も環同型です。2 つの環は、それらの間に環同型が存在する場合、同型です。同型環は、個々の要素のラベルが異なるだけで、本質的に同じであると考えることができます。

乱数

1. rng は、通常加算 (+) と乗算 (×) と呼ばれる2 つの二項演算を持つ集合 Rであり、 ( R , +)はアーベル群、( R , ×)はモノイド、乗算は加算に対して左分配法と右分配法の両方に従います。恒等元を持つ rng は「リング」です。

2.平方ゼロの rng は、すべてのxとyに対してxy = 0となるrngです。

自己注入型

環Rが左自己入射的であるとは、加群_R R が入射的加群である場合です。単位元を持つ環は加群としては常に射影的ですが、加群として常に入射的であるとは限りません。

半完了

半完全環とは、 Rのヤコブソン根号J( R )に対して、(1) R /J( R )が半単純であり、(2)べき等性がJ( R )を法として持ち上がるような環Rである。

準初等

半一次環とは、 Rのヤコブソン基数J( R )に対して、(1) R /J( R )が半単純であり、(2)J( R )が冪零イデアルである環Rである。

半素数

1.半素環とは、唯一の冪零イデアルが自明イデアル {0}である環です。可換環が半素環となるのは、それが約数である場合のみです。

2.環RのイデアルIが半素数であるとは、 Rの任意のイデアルAに対して、A ⁿ ⊆ IならばA ⊆ Iであることを意味する。同様に、I が半素数であるためには、 R / I が半素環である必要がある。

半原始的な

半原始環またはヤコブソン半単純環は、ヤコブソン根号が 0 である環です。フォン ノイマン正則環と原始環は半原始ですが、準フロベニウス環と局所環は通常半原始ではありません。

半円環

半環 : 環と同じ特性を満たす代数構造ですが、加算はアーベル群演算ではなくアーベルモノイド演算のみでよい点が異なります。つまり、半環の要素には加法逆元が存在する必要はありません。

半単純

半単純環は、単純アルティン環の有限積であるアルティン環Rです。言い換えると、半単純左R加群です。

分離可能な

分離可能代数は、そのテンソル平方が分離可能性冪等性を許容する結合代数です。

シリアル

右直列リングは、それ自身の上の右直列モジュールであるリングです。

セヴェリ・ブラウアー

セヴェリ-ブラウアー多様体は、与えられた中心単純代数に関連付けられた代数多様体です。

単純

1.単純環とは、自明な両側イデアル（ゼロイデアルと環自体、それ以外は存在しない）のみを持つ非ゼロ環のことです。

2.単純代数は、単純環である結合代数です。

特異サブモジュール

右（左）R加群 Mは、 Rの本質的な右（左）イデアルを消滅元とする元から構成される場合、特異なサブ加群を持ちます。集合表記では、通常、 Z ( M ) = { m ∈ M | ann( m ) ⊆ _e R }と表されます。

サブリング

部分環とは、環( R、 + 、 × )のサブセットSであり、 + と × がSに制限されても環のままであり、 Rの乗法単位元 1 を含むものです。

対称代数

1.ベクトル空間または加群Vの対称代数は、 Vのテンソル代数をx ⊗ y − y ⊗ xの形式の要素によって生成されるイデアルで割った商です。

2.ベクトル空間またはモジュールVの次数対称代数は、次数を考慮して構築される対称代数の変形です。

シルベスタードメイン

シルベスター領域は、シルベスターの無効法則が成り立つ環です。

テンソル

結合代数のテンソル積代数は、成分乗算を伴う加群としての代数のテンソル積である。

ベクトル空間またはモジュールVのテンソル代数は、テンソル積で与えられる乗算を伴うすべてのテンソル冪V ^{⊗ n}の直和です。

些細な

1. 自明なイデアルは、ゼロイデアルまたは単位イデアルのいずれかです。

2.自明環または零環は、単一の要素0 = 1からなる環です。

ユニット

単位元または可逆元:環Rの 元rが単位元であるとは、 rr ⁻¹ = r ⁻¹ r = 1 を満たす元r ⁻¹が存在する場合です。この元r ⁻¹はrによって一意に決定され、 rの逆元と呼ばれます。単位元の集合は乗法に関して群を形成します。

団結

「統一」という用語は、乗法単位元の別名です。

個性的

一意因数分解領域または階乗環は、すべての非ゼロ非単位元がRの素元の積として表される整域Rです。

ユニシリアル

右ユニシリアル環は、それ自身の上の右ユニシリアル加群である環です。可換ユニシリアル環は付値環とも呼ばれます。

フォン・ノイマン正則要素

1.  フォン・ノイマン正則元:環Rの 元rは、 r = rxrとなるRの元xが存在するときフォン・ノイマン正則である。

2.フォン・ノイマン正則環: 各元aが、環内の別の元xに対してa = axaとして表される環。半単純環はフォン・ノイマン正則です。

ウェダーバーン・アルティン定理

ウェダーバーン・アルティンの定理は、半単純環は（完全な）行列環の分割環上の有限積であることを述べています。

ゼロ

ゼロ環: 0 = 1の単一の要素のみで構成される環。自明環とも呼ばれます。「ゼロ環」は、平方ゼロの rng を意味する別の意味で使用されることもあります。

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