ログ構造

代数幾何学において、対数構造は半安定スキーム、特に対数微分形式の概念と関連するホッジ理論的概念を研究するための抽象的な文脈を提供します。この考え方は、モジュライ空間の理論、変形理論、フォンテーヌのp 進ホッジ理論など に応用されています。

そのアイデアは、滑らかだが必ずしも適切ではない代数多様体（またはスキーム ） U を、適切な X に埋め込み、 X 上の特定の層を調べることです。問題は、Uへの制限が可逆な関数からなる の部分層は環の層ではないことです（2つの非ゼロ関数を追加するとゼロになる関数が得られるため）。そのため、乗法的に のサブモノイドの層しか得られません。 X上のこの追加の構造を覚えておくことは、包含 を覚えていることに対応し、この追加構造を持つX は境界を持つ多様体（ に対応）に似ています。^[1]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle j\colon U\to X}$${\displaystyle D=XU}$

X をスキームとします。X上の前対数構造は、 X上の(可換) モノイドの層とモノイドの準同型から構成されます。ここで、は関数の乗算に関するモノイドと見なされます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

さらに同型性を誘導する場合、前対数構造は対数構造になります。 ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$

(前)対数構造の射は、 への関連する準同型と可換なモノイドの層の準同型で構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

ログ スキームとは、単にログ構造を備えたスキームのことです。

• 任意のスキームXに対して、とを包含としてとることで、X上の自明な対数構造を定義できます。${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle \alpha}$
• 対数構造の定義の動機となる例は、半安定スキームから来ています。Xをスキーム、つまりXの開部分スキームの包含、補集合が正規交差を持つ因子であるとします。すると、この状況に関連付けられた対数構造 があり、これはへの包含射だけを持ちます。これは、 Dに関連付けられたX上の標準(または標準)対数構造と呼ばれます。${\displaystyle j\colon U\to X}$${\displaystyle D=XU}$${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$
• R を離散評価環、剰余体k、分数体Kとします。すると、上の標準対数構造は、 の内部への( ではなく!)の包含から構成されます。これは、実際には前の構成の例ですが、 をとっています。${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$${\displaystyle R\setminus \{0\}}$${\displaystyle R^{\times}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)}$
• 上記のRでは、以前と同じモノイドの層を取り、代わりにRの最大イデアルを0 に送ることで、上の中空対数構造を定義することもできます。${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$

対数構造の応用の 1 つは、任意の対数スキーム上で対数形式(対数極を持つ微分形式とも呼ばれる) を定義できることです。これにより、たとえば、滑らかな射影とエタール射影の概念を一般化して、対数平滑性と対数エタール性を定義できます。これにより、変形理論の研究が可能になります。

さらに、対数構造は、境界が正規交差因子Dであるコンパクト化を取り、対応する対数ド・ラーム複体を書き下すことによって、任意の滑らかな複素多様体X上の混合ホッジ構造を定義するのに役立ちます。^[2]

対数オブジェクトは、モジュライ空間の境界上のオブジェクトとして、つまり退化から自然に現れます。

対数幾何学では、対数結晶コホモロジーの定義も可能になります。これは、必ずしも滑らかではなく、対数的に滑らかな多様体に対してのみ良好な動作を示す結晶コホモロジーの類似物です。これは、ガロア表現、特に半安定ガロア表現 の理論に応用できます。

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