安定した曲線

代数幾何学において、安定曲線とは、幾何学的不変量理論の意味で漸近的に安定な代数曲線である。

これは、それが、特異点が通常の二重点のみで、自己同型群が有限である完全連結曲線であるという条件と同等です。自己同型群が有限であるという条件は、それが算術種数1 ではなく、すべての非特異有理成分が少なくとも 3 点で他の成分と交わるという条件に置き換えることができます (Deligne & Mumford 1969)。

半安定曲線は、自己同型群が有限ではなく簡約的であることが許される点を除いて、同様の条件を満たす曲線です (または、それと同等に、その連結成分はトーラスである可能性があります)。あるいは、非特異有理成分が他の成分と少なくとも 3 点で交わるという条件は、少なくとも 2 点で交わるという条件に置き換えられます。

同様に、マークされた点の数が有限である曲線は、完全で、連結で、特異点として通常の二重点のみを持ち、有限自己同型群を持つ場合、安定していると呼ばれます。たとえば、楕円曲線(マークされた点が 1 つある、特異でない種数 1 の曲線) は安定です。

複素数上で、連結曲線が安定するのは、すべての特異点とマークされた点を取り除いた後、そのすべての成分の普遍被覆が単位円板に同型である場合のみです。

任意のスキームと安定な種数g曲線を設定すると、幾何学的ファイバーが縮小され、接続された1次元スキームとなるような 適切な平坦射として定義されます。${\displaystyle S}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \pi :C\to S}$${\displaystyle C_{s}}$

1. ${\displaystyle C_{s}}$通常の二点特異点のみを持つ
2. すべての有理コンポーネントは、他のコンポーネントと点以上で交わる。${\displaystyle E}$${\displaystyle 2}$
3. ${\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}$

これらの技術的条件が必要なのは、(1) 技術的な複雑さが軽減される (ここでもピカール-レフシェッツ理論が使用可能)、(2) 曲線が固定化されるため、後で構築されるモジュライスタックの無限小自己同型がなくなる、(3) すべてのファイバーの算術種数が同じになることが保証される、という理由からです。(1) については、楕円曲面で見つかる特異点の種類は完全に分類できることに注意してください。

安定曲線族の典型的な例としては、ワイエルシュトラス曲線族が挙げられる。

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{(y^{2}zx(xz)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}}$

ここで、すべての点上のファイバーは滑らかであり、退化した点には 1 つの 2 点特異点のみがあります。この例は、有限個の点で退化する滑らかな超楕円曲線の 1 パラメータ族の場合に一般化できます。 ${\displaystyle \neq 0,1}$

一般的にパラメータが1つ以上ある場合、2点特異点よりも悪い曲線を除去するように注意する必要がある。例えば、多項式から構成される 族を考える。${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x(xs)(xt)(x-1)(x-2)}$

対角線上には非二点特異点が存在するからである。もう一つの例は、多項式によって与えられる 族である。${\displaystyle s=t}$${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}$

これらは、尖点を持つ有理曲線に退化する楕円曲線の族です。

安定曲線の最も重要な性質の 1 つは、それが局所完全交差であるという事実です。これは、標準的な Serre-duality 理論を使用できることを意味します。特に、すべての安定曲線に対して が比較的十分な層であることが示され、それを使用して曲線を に埋め込むことができます。標準的なヒルベルトスキーム理論を使用して、ある射影空間に埋め込まれた種数の曲線のモジュライスキームを構築できます。ヒルベルト多項式は次のように与えられます。 ${\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$

ヒルベルトスキームには安定曲線の部分軌跡が含まれている。

${\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}$

これは関数を表す

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{安定曲線}}\pi :C\to S\\&{\text{等値線}}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg ></\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}$

ここで、安定曲線の同型である。これを、埋め込み（射影空間の同型によってエンコードされる）に関係なく曲線のモジュライ空間にするには、 を でモジュライ化する必要がある。これにより、モジュライスタックが得られる。 ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle PGL(5g-6)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}$

• 代数曲線の係数
• 安定した曲線マップ

• Artin, M. ; Winters, G. (1971-11-01). 「縮退ファイバーと曲線の安定縮小」.トポロジー. 10 (4): 373–383. doi :10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN  0040-9383.
• ドリーニュ、ピエール、マンフォード、デイヴィッド(1969)、「与えられた種数の曲線の空間の既約性」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、36 (36): 75–109、CiteSeerX  10.1.1.589.288、doi :10.1007/BF02684599、MR  0262240、S2CID  16482150
• Gieseker, D. (1982)、曲線のモジュライに関する講義(PDF)、タタ基礎研究所数学と物理学に関する講義、第 69 巻、タタ基礎研究所、ボンベイ向けに出版、ISBN 978-3-540-11953-1、MR  0691308
• ハリス、ジョー、モリソン、イアン（1998）、曲線のモジュライ、Graduate Texts in Mathematics、vol. 187、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98429-2、MR  1631825