双有理幾何学

数学において、双有理幾何学は代数幾何学の一分野であり、その目的は 2 つの代数多様体が低次元部分集合の外側で同型となる場合を決定することです。これは多項式ではなく有理関数によって与えられる写像を研究することに相当します。有理関数が極を持つ場合、写像を定義できないことがあります。

ある多様体（既約 であると理解される）から別の多様体 への有理写像は、破線矢印X ⇢ Yとして書かれ、空でない開部分集合からへの射として定義されます。代数幾何学で使用されるザリスキ位相の定義により、空でない開部分集合は常に において稠密であり、実際はより低次元の部分集合の補集合です。具体的には、有理写像は有理関数を使用して座標で表すことができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

XからYへの双有理写像は、fの逆である有理写像Y ⇢ Xが存在するような有理写像f  : X ⇢ Yである。双有理写像は、Xの空でない開部分集合からYの空でない開部分集合への同型写像を誘導し、その逆も同様である。つまり、 X と Y の空でない開部分集合間の同型写像は、定義により、双有理写像f  : X ⇢ Yを与える。この場合、XとY は双有理、または双有理的に同値であると言われる。代数的に言えば、体k上の 2 つの多様体が双有理的であるための必要十分条件は、それらの関数体がkの拡大体として同型である場合である。

特殊なケースとして、双有理射 f  : X → Yがあります。これは、双有理的な射を意味します。つまり、f はどこでも定義されますが、その逆は定義されない可能性があります。通常、これは双有理射がXの一部のサブ多様体をYの点に縮約するために発生します。

多様体Xは、ある次元のアフィン空間 (または、それと同等の射影空間) に対して双有理である場合に有理多様体であると言われます。有理性は非常に自然な特性です。つまり、Xからある低次元の部分集合を引いたものが、アフィン空間からある低次元の部分集合を引いたものと同一視できるということです。

例えば、アフィン平面上の方程式を持つ円は有理曲線である。なぜなら、有理写像f  : ⇢Xは次のように与えられるからで ある。${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),}$

有理逆関数g : X⇢は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}$

有理数tに写像f を適用すると、ピタゴラス数列の体系的な構成が得られます。

有理写像はの軌跡上では定義されません。したがって、複素アフィン直線 上では、は開集合 上の射です。同様に、有理写像g  : X ⇢は の点 (0,−1) では定義されません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle 1+t^{2}=0}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}}$${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle X}$

より一般的には、任意の次元nの滑らかな二次曲面(次数 2) 超曲面X は、立体射影により有理曲面になります。(体k上の二次曲面Xに対して、X はk有理点を持つと仮定する必要があります。 kが代数的に閉じている場合は、この仮定は自動的に適用されます。) 立体射影を定義するには、 p をX内の点とします。すると、 Xからp を通る直線の射影空間への双有理写像は、X内の点q をpとqを通る直線に写すことで得られます。これは双有理同値ですが、 q = pの場合には定義できない(また、逆写像はXに含まれるpを通る直線では定義できない) ため、多様体の同型ではありません。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

セグレ埋め込みは、次式で与えられる 埋め込みを与える。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}$

この像は の二次曲面です。 は明らかに有理数であり、 と同型の開部分集合を持つため、この二次曲面が有理数であることの別の証明となります。 ${\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

すべての代数多様体は射影多様体に対して双有理的である( Chow の補題)。したがって、双有理分類の目的には射影多様体のみを扱うだけで十分であり、これは通常最も便利な設定です。

1964 年の弘中の特異点解消定理は、さらに深いものです。特性 0 の体 (複素数など) 上では、すべての多様体は滑らかな射影多様体に対して双有理です。これを考慮すると、滑らかな射影多様体を双有理同値性まで分類すれば十分です。

次元 1 では、2 つの滑らかな射影曲線が双有理的であれば、それらは同型です。しかし、少なくとも 2 次元では、爆発的な構成により、このことは失敗します。爆発によって、少なくとも 2 次元の滑らかな射影多様体は、たとえばより大きなベッティ数を持つ、無限に多くの「より大きな」多様体に対して双有理的になります。

これは極小モデルのアイデアにつながります。つまり、各双有理同値類には一意の最も単純な多様体が存在するのでしょうか。現代の定義では、射影多様体Xが極小であるとは、標準直線束 K _{X が}Xのすべての曲線上で非負の次数を持つ場合、つまりK _Xがnefであることです。拡大された多様体が極小になることは決してないことは簡単に確認できます。

この概念は代数曲面（次元 2 の多様体）に完璧に当てはまります。現代的な言葉で言えば、1890 年から 1910 年にかけてのイタリア代数幾何学学派の中心的な成果の 1 つ、曲面の分類の一部は、すべての曲面Xが何らかの曲線Cの積または極小曲面Yのいずれかと双有理的であるというものです。^[1]これら 2 つのケースは相互に排他的であり、Y は存在する場合は一意です。Y が存在する場合、それはXの 極小モデルと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C}$

まず、有理数ではない代数多様体が存在することをどのように示すかは明らかではありません。これを証明するには、代数多様体の双有理不変量が必要です。双有理不変量とは、双有理的に同値であるすべての多様体に対して同じ、または同型であるあらゆる種類の数、環などです。

双有理不変量の有用な集合の 1 つに多種族があります。n次元の滑らかな多様体Xの標準バンドルは、 n形式の直線バンドルK _X = Ω ⁿを意味し、これはXの余接バ​​ンドルのn番目の外冪です。整数dに対して、K _Xのd番目のテンソル冪は再び直線バンドルです。d ≥ 0に対して、大域セクションのベクトル空間H ⁰ ( X , K _X ^d )には、滑らかな射影多様体間の双有理写像f  : X ⇢ Yが同型H ⁰ ( X , K _X d ) ≅ H ⁰ ( Y , K _Y ^d )^を誘導するという注目すべき特性があります。^[2]

d ≥ 0の場合、d番目の多種族 P _{d を}ベクトル空間H ⁰ ( X , K _X ^d )の次元として定義します。この場合、多種族は滑らかな射影多様体に対する双有理不変量です。特に、d > 0の任意の多種族P _{d が}ゼロでない場合、Xは有理数ではありません。

基本的な双有理不変量は小平次元であり、これはd が無限大に近づくにつれて多種族P _dがどれだけ増加するかを測るものです。小平次元は、次元nのすべての多様体を、小平次元が −∞、0、1、...、またはnであるn + 2型に分類します。これは多様体の複雑さの尺度であり、射影空間は小平次元が −∞ です。最も複雑な多様体は、小平次元が次元nに等しいもので、一般型の多様体と呼ばれます。

より一般的には、任意の自然被加数に対して

${\displaystyle E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}}$

r ≥ 0の余接バ​​ンドル Ω ^1のr次テンソル冪の、大域切断のベクトル空間H ⁰ ( X , E (Ω ¹ ))は滑らかな射影多様体に対する双有理不変量である。特に、ホッジ数

${\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega^{p})}$

はXの双有理不変量です。(他のほとんどのホッジ数h ^{p、q は}、拡大するとわかるように双有理不変量ではありません。)

基本群 π1 ( X )_は滑らかな複素射影多様体に対する双有理不変量である。

Abramovich、Karu、Matsuki、および Włodarczyk (2002) によって証明された「弱因数分解定理」は、2 つの滑らかな複素射影多様体間の任意の双有理写像は、有限個の滑らかな部分多様体のブローアップまたはブローダウンに分解できることを示しています。これは知っておくことが重要ですが、2 つの滑らかな射影多様体が双有理であるかどうかを判断するのはまだ非常に難しい場合があります。

射影多様体X は、標準バンドルK _Xがnefである場合に極小と呼ばれます。次元が 2 のXについては、この定義で滑らかな多様体を考えるだけで十分です。次元が 3 以上の場合には、極小多様体は、 K _Xが依然として適切に動作する特定の緩やかな特異点を持つことが許されなければなりません。これらは終端特異点と呼ばれます。

そうは言っても、極小モデル予想は、あらゆる多様体Xが有理曲線で覆われているか、極小多様体Yに対して双有理的であるかのいずれかを意味します。極小多様体 Y が存在する場合、Y はXの極小モデルと呼ばれます。

極小モデルは少なくとも 3 次元では一意ではありませんが、双有理的な任意の 2 つの極小多様体は非常に近いです。たとえば、それらは少なくとも 2 次元の部分集合の外側で同型であり、より正確には、それらはフロップのシーケンスによって関連しています。したがって、極小モデル予想は、代数多様体の双有理分類に関する強力な情報を提供します。

この予想は、3次元では森によって証明されました。^[3]高次元では大きな進歩がありましたが、一般的な問題は未解決のままです。特に、Birkar、Cascini、Hacon、およびMcKernan（2010）^{[4]は、特性ゼロの体上の}一般的な型のすべての多様体に最小モデルがあること を証明しました。

多様体は有理曲線で覆われているとき単線多様体と呼ばれる。単線多様体には極小モデルはないが、よい代替モデルがある。Birkar、Cascini、Hacon、McKernan は、特性 0 の体上のすべての単線多様体はファノファイバー空間に対して双有理的であることを示した。^{[a]これは、ファノファイバー空間と (最も興味深い特殊なケースとして)}ファノ多様体の双有理分類の問題につながる。定義により、反正準バンドルが十分である場合、射影多様体Xはファノである。ファノ多様体は、射影空間に最も類似した代数多様体と考えることができる。 ${\displaystyle K_{X}^{*}}$

次元 2 では、代数的に閉じた体上のすべてのファノ多様体 (デル ペッツォ曲面として知られる) は有理数です。1970 年代の大きな発見は、次元 3 から始まると、有理数ではないファノ多様体が多数存在するということでした。特に、クレメンス–グリフィス (1972) は滑らかな 3 次三次多様体は有理数ではないことを示し、イスコフスキー–マニン (1971) は滑らかな 4 次三次多様体は有理数ではないことを示しました。それにもかかわらず、どのファノ多様体が有理数であるかを正確に決定する問題は解決にはほど遠いものです。たとえば、n ≥ 4の滑らかな 3 次超曲面のうち有理数ではないものが存在するかどうかはわかっていません。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$

代数多様体は、その有理自己同型がいくつあるかによって大きく異なります。一般型の多様体はどれも、その有理自己同型群が有限であるという意味で、極めて厳格です。もう一方の極端では、クレモナ群Cr _n ( k )として知られる体k上の射影空間の有理自己同型群は、 n ≥ 2に対して大きくなります (ある意味では無限次元です) 。n = 2の場合、複素クレモナ群は「二次変換」によって生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}$

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

マックス・ノイマンとカステルヌオーヴォによるの自己同型群とともに。対照的に、次元n ≥ 3のクレモナ群は非常に謎が多く、明示的な生成子の集合は知られていない。 ${\displaystyle PGL(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}$

Iskovskikh–Manin (1971) は、滑らかな 4 次 3 次元多様体の双有理自己同型群は、有限であるその自己同型群に等しいことを示した。この意味では、有理多様体の双有理自己同型群は巨大であるため、4 次 3 次元多様体は有理とは程遠い。この「双有理剛性」現象は、その後、他の多くのファノファイバー空間でも発見されている。^[要出典]

双有理幾何学は幾何学の他の分野にも応用されていますが、特に代数幾何学の伝統的な問題に応用されています。

有名なことに、極小モデルプログラムは、ヤーノシュ・コラーとニコラス・シェパード・バロンによる一般型多様体のモジュライ空間（現在KSBモジュライ空間として知られている）の構築に使用されました。^[5]

双有理幾何学は最近、ケーラー・アインシュタイン計量の一般的な存在結果を通じてファノ多様体のK安定性の研究、双有理モデル上での計算によるK安定性のテストのためのファノ多様体の明示的な不変量の開発、およびファノ多様体のモジュライ空間の構築において重要な応用が見出されている。^{[6]ファノ多様体の有界性の}ビルカーの証明などの双有理幾何学における重要な結果は、モジュライ空間の存在結果を証明するために使用されてきた。

• 豊富さの推測