ヤコビアン多様体

数学において、種数gの非特異代数曲線Cのヤコビ多様体 J ( C ) は、次数 0 の直線束のモジュライ空間です。これは、 Cのピカール群の恒等式の連結成分であるため、アーベル多様体です。

ヤコビ多様体は、アーベル・ヤコビの定理の完全版を証明し、ニールス・アーベルの単射性を同型にしたカール・グスタフ・ヤコビにちなんで名付けられました。これは、 g次元の主分極アーベル多様体であり、したがって、複素数上では複素トーラスです。p がCの点である場合、曲線C はJのサブ多様体に写像でき、与えられた点p はJの恒等写像になり、C は群としてJ を生成します。

複素数上では、ヤコビ多様体は商空間 V / Lとして実現できる。ここで、V はC上のすべての大域的正則微分のベクトル空間の双対であり、L はVのすべての元の格子である。

${\displaystyle [\gamma ]:\ \omega \mapsto \int _{\gamma }\omega }$

ここでγはC内の閉経路である。言い換えれば、

${\displaystyle J(C)=H^{0}(\Omega _{C}^{1})^{*}/H_{1}(C),}$

は上記のマップを介して埋め込まれます。これはシータ関数を使用して明示的に行うことができます。^[1]${\displaystyle H_{1}(C)}$${\displaystyle H^{0}(\オメガ _{C}^{1})^{*}}$

任意の体上の曲線のヤコビアンは、有限体上の曲線に対するリーマン予想の証明の一部として、ヴェイユ (1948) によって構築されました。

アベル・ヤコビの定理によれば、このようにして構築されたトーラスは、曲線の古典的なヤコビアンという多様体であり、実際に次数 0の線束をパラメータ化します。つまり、線形同値性を法とする次数 0 の因子の ピカール多様体と同一視できます。

群として、曲線のヤコビ多様体は、主因子、すなわち有理関数の因子の部分群による、次数 0 の因子群の商に同型です。これは、その体上で定義された因子と関数を考慮する限り、 代数的に閉じていない体に対しても当てはまります。

トレリの定理は、複素曲線はヤコビアン（とその偏光）によって決定されると述べています。

ショットキー問題は、どの主分極アーベル多様体が曲線のヤコビアンであるかを問うものです。

ピカール多様体、アルバネーゼ多様体、一般化ヤコビアン、中間ヤコビアンは、高次元多様体に対するヤコビアンを一般化したものです。高次元多様体の場合、ヤコビ多様体を正則 1 形式の空間の商として構成すると、一般化してアルバネーゼ多様体が得られますが、一般にこれはピカール多様体と同型である必要はありません。

• 周期行列– 周期行列は曲線のヤコビアンを計算するのに便利な手法です。
• ホッジ構造– これらはヤコビアンの一般化である
• 本多・テイト定理– 有限体上のアーベル多様体を同型まで分類する
• 中間ヤコビアン

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• アーベル多様体はヤコビ多様体と同型ではない

• 曲線、ヤコビアン、暗号化

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