還元群

数学において、簡約群は体上の線型代数群の一種である。定義の 1 つでは、完全体上の連結線型代数群Gは、有限核を持ち、既約表現の直和となる表現を持つ場合、簡約である。簡約群には、可逆行列の一般線型群GL ( n ) 、特殊直交群SO ( n )、シンプレクティック群Sp (2 n )など、数学で最も重要な群がいくつか含まれる。単純代数群および (より一般的には)半単純代数群は簡約である。

クロード・シュヴァレーは、簡約群の分類は任意の代数閉体上で同じであることを示した。特に、単純代数群は、コンパクト・リー群や複素半単純リー代数の理論のように、ディンキン図によって分類される。任意の体上の簡約群は分類が難しいが、実数Rや数体などの多くの体では、分類はよく理解されている。有限単純群の分類によれば、ほとんどの有限単純群は、有限体k上の単純代数群Gのk -有理点の群G ( k )として、またはその構成のマイナーバリアントとして生じる。

簡約群は、さまざまな文脈で豊富な表現理論を持っています。まず、体k上の簡約群Gの表現を代数群として研究することができます。これは、kベクトル空間へのGの作用です。また、 k が有限体である場合の群G ( k )の複素表現、または実簡約群の無限次元ユニタリ表現、またはアデル代数群の保型表現を研究することもできます。簡約群の構造理論は、これらすべての分野で使用されています。

体k上の線型代数群は、ある正の整数nに対して、 k上のGL ( n )の滑らかな閉部分群スキームとして定義されます。同様に、 k上の線型代数群は、k上の滑らかなアフィン群スキームです。

代数的に閉体上の連結な線型代数群は、のすべての滑らかに連結な可解な正規部分群が自明であるとき、半単純と呼ばれます。より一般的には、代数的に閉体上の連結な線型代数群は、の最大の滑らかに連結なユニポテント正規部分群が自明であるとき、簡約と呼ばれます。^{[1]この正規部分群は}ユニポテントラジカルと呼ばれ、 と表記されます。(著者によっては、簡約群が連結されている必要はないとされています。)任意の体k上の群は、基底変換が半単純または簡約である場合、半単純または簡約と呼ばれます。ここで、 はkの代数閉包です。(これは、 kが完全な場合の導入部の簡約群の定義に相当します。^[2] )乗法群G _mなど、 k上の任意のトーラスは簡約です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R_{u}(G)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

特性ゼロの体上では、簡約群の別の同等の定義は、その代数閉包上で半単純のままである忠実な半単純表現を許容する連結群である^{[3] 424ページ}。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle k^{al}}$

体k上の線型代数群Gは、半単純、非自明であり、k上のGのすべての滑らかに接続された正規部分群が自明であるかGに等しい場合、単純(またはk -単純) と呼ばれます。^[4] (一部の著者は、この特性を「ほぼ単純」と呼んでいます。) これは、単純代数群が非自明な中心を持つ可能性があるという点で、抽象群の用語とは少し異なります(ただし、中心は有限である必要があります)。たとえば、少なくとも 2 の任意の整数nと任意の体kに対して、 k上の群SL ( n ) は単純であり、その中心はn乗の 1 乗根の群スキーム μ _nです。

簡約群の中心同型は、核が有限中心部分群スキームである射影準同型である。体上のすべての簡約群は、トーラスといくつかの単純群の積から中心同型を許容する。たとえば、任意の体k上で、

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

体上の簡約群の定義には代数閉包への通過が含まれるため、少々厄介です。完全体kの場合、これは回避できます。k上の線型代数群Gが簡約であるための必要十分条件は、 Gのすべての滑らかに接続された単零正規k部分群が自明である場合です。任意の体の場合、後者の特性は擬似簡約群を定義しますが、これはいくぶんより一般的です。

体k上の簡約群Gは、 k上の分割最大トーラスT (つまり、への基底変化が内の最大トーラスであるG内の分割トーラス) を含む場合、分割と呼ばれます。これは、 T がG内のすべてのkトーラスの中で最大のG内の分割トーラスであると言うことと同等です。^[5]この種の群は、ルートデータと呼ばれる組み合わせデータを通じて分類を記述できるため便利です。 ${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

簡約群の基本的な例としては、自然数nに対して、体k上の可逆なn × n行列の一般線型群 が挙げられます。特に、乗法群G _{m は}群GL (1) であるため、k有理点の群G _m ( k )は乗法の下でのkの非ゼロ元の群k * です。別の簡約群は、体k上の特殊線型群SL ( n ) であり、これは行列式が 1 である行列の部分群です。実際、SL ( n ) はn が少なくとも 2 の 場合の単純代数群です。${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$

重要な単純群として、体k上のシンプレクティック群 Sp (2 n ) があります。これは、ベクトル空間k ^{2 n}上で非退化交代双線型形式を保存するGL (2 n )の部分群です。同様に、直交群O ( q ) は、体k上のベクトル空間上で非退化二次形式q を保存する一般線型群の部分群です。代数群O ( q ) には 2 つの連結成分があり、その恒等成分SO ( q ) は簡約的であり、少なくとも次元nが 3 であるqに対しては実際単純である。 (標数 2 のkとn が奇数の場合、群スキームO ( q ) は実際は連結であるがk上で滑らかではない。単純群SO ( q ) は常に、 k上のO ( q )の最大滑らか連結部分群として定義できる。) kが代数的に閉じている場合、同じ次元の任意の 2 つの (非退化) 二次形式は同型であるため、この群をSO ( n ) と呼ぶのが妥当である。一般の体kに対して、次元nの異なる二次形式はk上の非同型単純群SO ( q )を生み出すことがあるが、それらはすべて代数閉包に対して同じ基底変換を持つ。 ${\displaystyle {\overline {k}}}$

群とその積は代数的トーラスと呼ばれる。これらは対角線を介してに埋め込まれ、この表現から単零根号は自明であるため、簡約群の例である。例えば、写像からに埋め込まれる。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{2}}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}.}$

• いかなる単元群も、その単元根がそれ自身であるので、簡約的ではない。これには加法群が含まれる。${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$
• のボレル群 には、対角線上にを持つ上三角行列の非自明な単零根基があります。これは単零でない非簡約群の例です。${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle 1}$

単元累乗根の正規性は商群が簡約的であることを意味することに注意する。例えば、${\displaystyle R_{u}(G)}$${\displaystyle G/R_{u}(G)}$

${\displaystyle B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}.}$

すべてのコンパクト連結リー群は複素化を持ち、これは複素簡約代数群です。実際、この構成は、同型性を除いて、コンパクト連結リー群と複素簡約群の間に 1 対 1 の対応を与えます。複素化Gを持つコンパクトリー群Kの場合、 Kから複素簡約群G ( C )への包含は、 G ( C )上の古典的位相に関してホモトピー同値です。たとえば、ユニタリ群U ( n ) からGL ( n , C )への包含はホモトピー同値です。

特性が0 の体上の簡約群Gの場合、 Gのすべての有限次元表現(代数群として)は完全に簡約可能であり、つまり、それらは既約表現の直和である。^[6]これが「簡約」という名前の由来である。ただし、正特性の簡約群 (トーラスを除く) の場合、完全簡約性は成立しない点に注意する。より詳しくは、体k上の有限型のアフィン群スキームGは、その有限次元表現が完全に簡約可能である場合、線型簡約と呼ばれる。特性が 0 のkの場合、Gが線型簡約であるための必要条件は、 Gの単位元成分G ^oが簡約である場合である。^[7]ただし、特性がp >0 のkの場合、永田正義は、 G ^oが乗法型であり、G / G ^{o が}pと素の位数を持つ場合のみ、 Gが線型簡約であることを示した。^[8]

簡約代数群の分類は、複素半単純リー代数やコンパクトリー群の理論と同様に、関連するルート系に基づいて行われます。簡約群のルートの現れ方は次のとおりです。

G を体k上の分割簡約群とし、T をG内の分割極大トーラスとすると、T は何らかのnに対して ( G _m ) ⁿに同型となり、 n をGの階数と呼ぶ。Tのすべての表現(代数群として) は、1 次元表現の直和である。^[9] Gの重みは、 Tの 1 次元表現の同型類、または同値な準同型T → G _mを意味する。重みは表現のテンソル積の下で群X ( T )を形成し、X ( T ) は整数のn個のコピーの積Z ⁿに同型である。

随伴表現は、 Gのリー代数 への共役による作用である。Gの根は、 T ⊂ Gのへの作用で生じる非ゼロの重みを意味する。各根に対応する の部分空間は1 次元であり、Tによって固定されたの部分空間はまさにTのリー代数である。^{[10]したがって、} Gのリー代数は、根の集合 Φ によってインデックス付けされた 1 次元の部分空間とともにに分解される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

たとえば、Gが群GL ( n ) のとき、そのリー代数はk上のすべてのn × n行列のベクトル空間です。T をGの対角行列の部分群とします。すると、ルート空間分解は、対角行列と、非対角位置 ( i、j ) でインデックス付けされた 1 次元部分空間の直和として表されます。重み格子X ( T ) ≅ Z ⁿの標準基底をL ₁、...、L _nと書くと、ルートは1 からnまでのすべてのi ≠ jに対して元L _i − L _jになります。 ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

半単純群の根はルートシステムを形成します。これは完全に分類できる組み合わせ構造です。より一般的には、簡約群の根はルートデータ、つまりわずかなバリエーションを形成します。^[11]簡約群Gのワイル群とは、最大トーラスをトーラスで正規化した商群、 W = N _G ( T )/ Tを意味します。ワイル群は実際には反射によって生成される有限群です。たとえば、群GL ( n ) (またはSL ( n )) の場合、ワイル群は対称群S _nです。

与えられた最大トーラスを含むボレル部分群は有限個存在し、それらはワイル群（共役によって作用する）によって単純に推移的に置換される。 ^[12]ボレル部分群の選択は、 Φ が Φ ⁺と −Φ ⁺の互いに交わらない和であるという性質を持つ、正の根の集合Φ ^{+ ⊂ Φ を決定する。明示的に、} Bのリー代数は、Tのリー代数と正の根空間の直和である。

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

たとえば、B がGL ( n )の上三角行列のボレル部分群である場合、これはの上三角行列の部分空間の明らかな分解です。正の根は、1 ≤ i < j ≤ nに対してL _i − L _jです。 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

単純根とは、他の 2 つの正根の和ではない正根のことです。単純根の集合を Δ と書きます。単純根の個数r は、 Gの交換子部分群の階数に等しく、Gの半単純階数と呼ばれます ( Gが半単純である場合、これは単にGの階数です)。たとえば、GL ( n ) (またはSL ( n ))の単純根は、 1 ≤ i ≤ n − 1に対してL _i − L _{i +1}です。

ルート システムは、対応するDynkin 図によって分類されます。これは有限グラフ(一部の辺が有向または多重) です。Dynkin 図の頂点の集合は単純ルートの集合です。簡単に言うと、Dynkin 図は、重み格子上のワイル群不変内積に関して、単純ルート間の角度とそれらの相対的な長さを記述します。接続された Dynkin 図 (単純群に対応) を下図に示します。

体k上の分割簡約群Gについて重要な点は、ルート α がGのリー代数の 1 次元部分空間を決定するだけでなく、ルート部分群U _αと呼ばれる、与えられたリー代数を持つGの加法群G _aのコピーも決定することです。ルート部分群は、Tで正規化され、与えられたリー代数を持つ、Gの加法群の唯一のコピーです。 ^[10]全体のグループGは（代数グループとして）Tとルート部分群によって生成され、ボレル部分群BはTと正のルート部分群によって生成されます。実際、分割半単純グループG はルート部分群のみによって生成されます。

体k上の分割簡約群Gについて、Gの与えられたボレル部分群B を含むGの滑らか連結な部分群は、単純ルートの集合 Δ の部分集合（または同等に、ディンキン図の頂点の集合の部分集合）と一対一に対応する。r をGの半単純階数 Δ の位数とする。Gのすべての放物型部分群は、 G ( k )の何らかの元によってB を含む部分群と共役である。結果として、k上のGには放物型部分群の共役類がちょうど 2 ^r個存在する。^[13]明示的に、 Δ の与えられた部分集合Sに対応する放物型部分群は、 Sの α に対するルート部分群U _−αと共にBによって生成される群である。例えば、上記のボレル部分群Bを含むGL ( n ) の放物線部分群は、次のような対角線に沿った正方形の集合の下にゼロ要素を持つ可逆行列の群です。

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

定義により、体k上の簡約群Gの放物型部分群 Pは、商多様体G / Pがk上で真であるか、またはk上で同値であるような滑らかなk部分群である。したがって、放物型部分群の分類は、Gの射影同次多様体の分類に相当する (滑らかな安定化群を持つ。つまり、標数 0 のkに対しては制限がない)。GL ( n ) の場合、これらは旗多様体であり、n次元の固定ベクトル空間Vに含まれる、与えられた次元a ₁ ,..., a _iの線型部分空間の列をパラメータ化する。

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

直交群またはシンプレクティック群の場合、射影同次多様体は、与えられた二次形式またはシンプレクティック形式に関する等方性旗の多様体と同様の記述を持つ。ボレル部分群Bを持つ任意の簡約群Gに対して、G / B はGの旗多様体または旗多様体と呼ばれる。

シュヴァレーは 1958 年に、任意の代数閉体上の簡約群はルートデータによる同型性まで分類できることを示した。^[14]特に、代数閉体上の半単純群は、そのディンキン図によって中心同型まで分類され、単純群は連結図に対応する。したがって、タイプ A _n、 B _n、 C _n、 D _n、 E ₆ 、 E ₇、 E ₈、 F ₄、 G _{2の単純群が存在する。この結果は、1880 年代と 1890 年代に}ヴィルヘルム・キリングとエリー・カルタンが行ったコンパクト・リー群または複素半単純リー代数の分類と本質的に同一である。特に、単純代数群の次元、中心、およびその他の特性は、単純リー群のリストから読み取ることができる。簡約群の分類が特性に依存しないことは注目に値する。比較すると、特性がゼロの場合よりも、特性が正の場合の方が単純なリー代数がはるかに多く存在します。

_{G 2}型および E _{6 型}の例外群 Gは、少なくとも抽象群G ( k ) の形で、LE Dicksonによって以前に構築されていました。たとえば、群G _{2 は、} k上の八元数代数の自己同型群です。対照的に、正特性の体上の F ₄、 E ₇、 E ₈型のシュヴァレー群はまったく新しいものでした。

より一般的には、分割簡約群の分類は任意の体上で同じである。^[15]体k上の半単純群Gは、半単純群からGへのすべての中心同型が同型である場合に、単連結と呼ばれる。（複素数上の半単純Gについて、この意味で単連結であることは、古典位相でG ( C ) が単連結であることと同値である。） シュヴァレーの分類によれば、任意の体k上で、与えられたディンキン図を持つ単連結分割半単純群Gが 1 つだけ存在し、単純群は連結図に対応する。もう一方の極端では、半単純群は、その中心が自明である場合に随伴型である。与えられたディンキン図を持つk上の分割半単純群は、まさに群G / Aである。ここで、Gは単連結群であり、AはGの中心のk部分群スキームである。

たとえば、「古典的な」ディンキン図に対応する体k上の単連結分割単純群は次のようになります。

• A _n : k上のSL ( n + 1) ;
• B _n :ウィット指数nを持つk上の次元 2 n +1の二次形式に関連付けられたスピン群Spin(2 n +1) 。たとえば、次の形式

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C _n : k上のシンプレクティック群Sp ( 2 n )
• D _n :ウィット指数nを持つk上の2 n次元の二次形式に関連付けられたスピン群 Spin(2 n ) 。次のように記述できます。

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

体k上の分割簡約群Gの外部自己同型群は、Gのルートデータの自己同型群と同型である。さらに、 Gの自己同型群は半直積として分割される。

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

ここでZはGの中心である。^[16]体上の分割半単純単連結群Gに対して、 Gの外部自己同型群はより単純な記述を持つ。それはGのディンキン図の自己同型群である。

スキームS上の群スキーム Gは、射G → Sが滑らかかつアフィンであり、すべての幾何ファイバーが簡約的である場合に簡約的と呼ばれます。( S内の点pに対して、対応する幾何ファイバーは、 Gからpの留数体の代数閉包への基底変換を意味します。) Chevalley の研究を拡張して、Michel Demazureと Grothendieck は、任意の空でないスキームS上のピン留めされた簡約群スキームはルートデータによって分類されることを示しました。^{[17]このステートメントには、} Z上のグループスキームとしての Chevalley グループの存在が含まれており、スキームS上のすべてのピン留めされた簡約群は、 ZからSへのChevalley グループの基底変換と同型であると述べています。分割簡約群のピン留めは、ルート基底の選択であり、各単純ルートに対応する 1 次元加法群の自明化の選択でもあります。このステートメントはピン留めなしでは偽です。たとえば、Aがデデキント領域で、I がAのイデアルで、Aの類群における類が平方でないとします。このとき、SL(A + I)と SL_2(A) はSpec A上で分割および簡約であり、同じルート データを持ちますが、同型ではありません。最初のフラグ スキーム (ボレル部分群スキームによる商) は射影直線バンドルP (A + I)であり、自明な正規バンドルとの切断はありません (切断は、短い正確なシーケンス0 → J → A + I → K → 0に対応します。ここで、J、 Kはイデアル クラスであり、正規バンドルはJ^{-1}Kであり、 JK はIと同型であるため自明ではありません)。一方、2 番目のフラグ スキームはP ^1_Aであり、自明な正規バンドルとの切断を持ちます。 ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

代数群ではなくリー群の文脈では、実簡約群とは、 R上の線型代数群 L が存在し、その恒等成分 (ザリスキ位相) が簡約的であり、核が有限でその像が L ( R ) で開いている準同型 G → L ( R ) が存在するようなリー群Gである(古典位相の場合) 。また、随伴表現Ad ( G )の像がInt( g _C ) = Ad( L ⁰ ( C ))に含まれると仮定するのが標準的である (これはG連結の場合は自動的に成り立つ)。^[18]

特に、連結された半単純リー群（そのリー代数が半単純であることを意味する）はすべて簡約的です。また、リー群R はGL (1, R ) ≅ R *の恒等成分として見ることができるため、この意味で簡約的です。実簡約群を分類する問題は、主に単純リー群を分類することに帰着します。これらはサタケ図によって分類されます。または、単純リー群のリスト（有限被覆まで） を参照することもできます。

この一般性において、実簡約群に対しては、許容表現とユニタリ表現の有用な理論が開発されてきた。この定義と簡約代数群の定義との主な違いは、 R上の代数群G は代数群として連結である可能性があるが、リー群G ( R ) は連結ではないという事実と関係があり、単連結群についても同様である。

たとえば、射影線型群 PGL (2) は任意の体上の代数群として連結であるが、その実数点群PGL (2, R ) には 2 つの連結成分がある。PGL (2, R ) の恒等成分 ( PSL (2, R )と呼ばれることもある) は、代数群としては見られない実簡約群である。 同様に、SL (2) は任意の体上の代数群として単純に連結であるが、リー群SL (2, R )は整数Zと同型な基本群を持つため、SL (2, R ) には非自明な被覆空間がある。 定義により、 SL (2, R )のすべての有限被覆(メタプレクティック群など) は実簡約群である。一方、SL (2, R )の普遍被覆は、そのリー代数が簡約的、つまり半単純リー代数と可換リー代数の積である にもかかわらず、実簡約群ではありません。

連結な実簡約群Gに対して、最大コンパクト部分群KによるGの商多様体G / Kは非コンパクト型の対称空間である。実際、非コンパクト型の対称空間はすべてこのようにして生じる。これらは、非正の断面曲率を持つ多様体のリーマン幾何学における中心的な例である。たとえば、SL (2, R )/ SO (2) は双曲平面であり、SL (2, C )/ SU (2) は双曲 3 次元空間である。

離散値に関して完備な体k上の簡約群G ( p 進数Q _pなど) の場合、Gのアフィン構築X は対称空間の役割を果たします。つまり、XはG ( k )の作用を持つ単体複体であり、G ( k ) はX上のCAT(0)計量 (非正曲率の計量の類似物) を保存します。アフィン構築の次元はGのk階数です。たとえば、 SL (2, Q _p )の構築は木です。

体k上の分割簡約群Gについて、 Gの既約表現(代数群として)は、支配的な重みによってパラメータ化されます。支配的な重み は、重み格子X ( T ) ≅ Z ⁿとR ⁿの凸錐 (ワイルチェンバー)の交差として定義されます。特に、このパラメータ化はkの特性に依存しません。より詳しくは、分割最大トーラスとボレル部分群T ⊂ B ⊂ Gを固定します。すると、B は、 Tと滑らかに接続されたユニポテント部分群Uの半直積になります。k上のGの表現Vの最高重みベクトルを、 B がvが張る直線を自身に写すような非ゼロベクトルvと定義します。すると、 B は、その商群Tを通じて、重み格子X ( T )の何らかの要素 λ によって、その直線に作用します。シュヴァレーは、 Gのあらゆる既約表現はスカラーまで一意の最高重みベクトルを持ち、対応する「最高重み」λは支配的であり、あらゆる支配的重みλは同型性までGの一意の既約表現L (λ)の最高重みであることを示した。^[19]

与えられた最高重みを持つ既約表現を記述する問題が残る。特性 0 のkについては、本質的に完全な答えがある。支配的な重み λ について、 λ に関連付けられた旗多様体G / B上のG同変直線束の切断のkベクトル空間として、シュア加群 ∇(λ) を定義する。これはGの表現である。特性 0 のkについて、ボレル-ヴェイユの定理によれば、既約表現L (λ) はシュア加群 ∇(λ) と同型である。さらに、ヴェイユ特性式は、この表現の特性(特に次元) を与える。

正特性の体k上の分割簡約群Gの場合、状況ははるかに微妙です。なぜなら、Gの表現は、通常、既約の直和ではないからです。支配的な重み λ に対して、既約表現L (λ) は、シュアー加群 ∇(λ) の唯一の単純な部分加群 (ソクル) ですが、シュアー加群と等しい必要はありません。シュアー加群の次元と特性は、ジョージ・ケンプによるワイル特性式 (特性 0 の場合と同様) によって与えられます。^[20]既約表現L (λ) の次元と特性は一般には未知ですが、これらの表現を解析するための大規模な理論が開発されてきました。重要な結果の 1 つは、 k の特性 p が G のコクセター数よりもはるかに大きい場合、L (λ) の次元と特性が既知であることです(この場合はルスティッヒの予想が証明されています) 。p が大きい場合の彼らの特性式は、組合せ的に複雑なカジダン・ルスティグ多項式に基づいています。^[21]任意の素数pに対して、サイモン・リッシュとジョーディ・ウィリアムソンは、さらに複雑ではあるが少なくとも計算可能なp -カジダン・ルスティグ多項式の観点から、簡約群の既約特性を予想しました。 ^[22]

上で述べたように、分割簡約群の分類はどの体でも同じです。対照的に、任意の簡約群の分類は、基底体によっては難しい場合があります。古典的な群の例をいくつか挙げます。

• 体k上のすべての非退化二次形式q は、簡約群 G = SO ( q ) を決定します。ここで、q の次元nが少なくとも 3であれば、 G は単純です。これは、が代数閉包上のSO ( n )と同型であるためです。Gのkランクはqのウィット指数( k上の等方性部分空間の最大次元)に等しいです。 ^[23]したがって、単純群Gがk上で分割されるための必要十分条件は、q が最大のウィット指数 を持つ場合です。${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$
• k上の中心単純代数 Aはすべて、単位群A * （ k上の代数群として）上の簡約ノルムの核である簡約群G = SL (1, A ) を決定します。Aの次数は、kベクトル空間としてのAの次元の平方根を意味します。ここで、A が少なくとも次数n 2 を持つ場合、 G は単純です。なぜなら、 は 上でSL ( n )と同型だからです。Aがインデックスr を持つ場合（つまり、k上次数rの除算代数Dに対して、A は行列代数M _{n / r} ( D )と同型である）、Gのkランクは( n / r ) − 1です^。[24]したがって、単純群Gがk上で分割されるための必要十分条件は、Aがk上の行列代数である場合です。 ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

その結果、 k上の簡約群を分類する問題には、本質的に、k上のすべての二次形式またはk上のすべての中心単純代数を分類する問題が含まれます。これらの問題は、 k が代数的に閉じている場合は簡単であり、数体などの他のいくつかの体では理解されていますが、任意の体の場合は未解決の問題が多数あります。

体k上の簡約群は、k階数が 0 より大きい場合(つまり、非自明な分割トーラスを含む場合)は等方性と呼ばれ、そうでない場合は異方性と呼ばれます。体k上の半単純群Gの場合、次の条件は同値です。

• Gは等方性である（つまり、G はk上の乗法群G _mのコピーを含む）。
• G には、Gに等しくないk上の放物線部分群が含まれます。
• G にはk上の加法群G _aのコピーが含まれます。

k完全の場合、 G ( k )に1以外の単元が含まれているとも言える。^[25]

特性ゼロの局所体k（実数など）上の連結線型代数群Gに対して、群G ( k ) が古典位相（kの位相に基づく）においてコンパクトであるための必要十分条件は、Gが簡約かつ異方性である場合である。^[26]例： R上の直交群SO ( p , q ) は実ランク min( p , q ) を持ち、したがってpまたはqがゼロである場合に限り、異方性である。^[23]

体k上の簡約群Gは、 k上のボレル部分群を含む場合、準分割と呼ばれます。分割簡約群は準分割です。G がk上で準分割である場合、 Gの任意の2つのボレル部分群はG ( k )の何らかの元によって共役になります。^[27]例: R上の直交群SO ( p , q )が分割される場合とされる場合に限り、| p − q | ≤ 1 であり、準分割される場合とされる場合に限り、| p − q | ≤ 2 です。^[23]

体k上の単連結な分割半単純群Gに対して、ロバート・スタインバーグは抽象群G ( k )の明示的な表現を与えた。^[28]これは、Gの根(根部分群)で添え字付けされたkの加法群のコピーによって生成され、関係はGのディンキン図によって決定される。

スタインバーグは、完全体k上の単連結な分割半単純群Gに対して、抽象群G ( k ) の自己同型群も決定した。すべての自己同型は、内部自己同型、対角自己同型（最大トーラスの適切な -点による共役を意味する）、グラフ自己同型（ディンキン図の自己同型に対応）、および体自己同型（体kの自己同型から生じる）の積である。^[29]${\displaystyle {\overline {k}}}$

k単純代数群Gに対して、ティッツの単純性定理によれば、抽象群G ( k ) は、弱い仮定の下では、単純に近いとされている。すなわち、G はk上で等方的であり、体k は少なくとも 4 つの元を持つと仮定する。G ( k ) ^+を、 Gに含まれるk上の加法群G _aのコピーのk点によって生成される抽象群G ( k )の部分群とする。( G がk上で等方的であるという仮定により、群G ( k ) ⁺は非自明であり、kが無限大であればGにおいてザリスキ稠密でもある。) このとき、 G ( k ) ⁺をその中心で割った商群は単純である(抽象群として)。^[30]証明にはジャック・ティッツのBN ペアの機構を使用する。

2 次または 3 次の体に対する例外はよく理解されている。k = F ₂の場合、ティッツの単純性定理は、G がA 1 _、 B 2 _、またはG ₂型の分割体、またはA ₂型の非分割体（つまりユニタリ体）である場合を除いて有効である。k = F ₃の場合、定理はA ₁型のGを除いて有効である。^[31]

k単純群Gについて、群G ( k )全体を理解するには、ホワイトヘッド群 W ( k , G )= G ( k )/ G ( k ) ⁺を考えることができる。単連結かつ準分割のGについては、ホワイトヘッド群は自明であり、したがって群G ( k ) 全体はその中心を法として単純である。^[32]より一般的には、クネザー・ティッツ問題は、どの等方k単純群でホワイトヘッド群が自明であるかを問うものである。既知の例すべてにおいて、 W ( k , G ) はアーベル群である。

異方性k単純群Gの場合、抽象群G ( k ) は単純とは程遠いものになることがあります。たとえば、D を中心がp進体kである除算代数とします。 k上のDの次元が有限で 1 より大きいとします。すると、G = SL (1, D ) は異方性k単純群になります。前述のように、G ( k ) は古典位相ではコンパクトです。また、完全に不連続であるため、G ( k ) はプロ有限群です(ただし有限ではありません)。その結果、G ( k ) には有限インデックスの正規部分群が無限に含まれます。^[33]

G を有理数 Q上の線型代数群とする。すると、G はZ上のアフィン群スキームGに拡張でき、これによって抽象群G ( Z ) が決定される。算術群とは、 G ( Z )と通約可能なG ( Q )の任意の部分群を意味する。( G ( Q ) の部分群の算術性は、 Z構造の選択とは無関係である。) たとえば、SL ( n , Z ) はSL ( n , Q )の算術部分群である。

リー群Gの場合、G内の格子は、多様体G /Γ が有限体積を持つ ( G不変測度に関して) Gの離散部分群 Γ を意味します。たとえば、 G /Γ がコンパクトな場合、離散部分群 Γ は格子です。特に、マーギュリスの算術性定理は、実数階数が 2 以上の単純なリー群Gの場合、 G内のすべての格子は算術群であると述べています。

分割する必要のない簡約群を分類しようとする場合、1 つのステップは、問題を異方性群の場合に簡約する、Tits 指数です。この簡約により、代数学におけるいくつかの基本定理が一般化されます。たとえば、 Witt の分解定理によれば、体上の非退化二次形式は、その Witt 指数と異方性核によって同型性を除いて決定されるとされています。同様に、Artin–Wedderburn 定理は、体上の中心単純代数の分類を除算代数の場合に簡約します。これらの結果を一般化して、Tits は、体k上の簡約群は、その異方性核、つまり関連する異方性半単純k群とともに、その Tits 指数によって同型性を除いて決定されることを示しまし た。

体k上の簡約群Gの場合、絶対ガロア群Gal( k _s / k ) は、 Gの「絶対」ディンキン図、つまり可分閉包k _s上のGのディンキン図（代数閉包上のGのディンキン図でもある）に（連続的に）作用します。 Gのティッツ指数は、 G _{k s}のルートデータ、そのディンキン図上のガロア作用、およびディンキン図の頂点のガロア不変部分集合で構成されます。伝統的に、ティッツ指数は、指定された部分集合内のガロア軌道を円で囲むことによって描画されます。 ${\displaystyle {\overline {k}}}$

これらの用語には、準分裂群の完全な分類があります。つまり、ディンキン図上の体kの絶対ガロア群の各作用に対して、与えられた作用を持つk上の単連結な半単純準分裂群Hが 1 つだけ存在します。(準分裂群では、ディンキン図のすべてのガロア軌道が円で囲まれます。) さらに、与えられた作用を持つk上の他の任意の単連結な半単純群G は、準分裂群Hの内部形式であり、つまり、Gはガロアコホモロジー集合H ¹ ( k , H / Z )の元に関連付けられた群であり、Z はHの中心です。言い換えると、G は、次のセクションで説明するように、 k上のあるH / Z回転子に関連付けられたHのねじれです。

例: q を、n ≥ 5で、標数が 2 でない体k上の偶数次元 2 nの非退化二次形式とします。(これらの制限は回避できます。) G をk上の単純群SO ( q )とします。 Gの絶対 Dynkin 図はD _n型であるため、その自己同型群は位数 2 であり、 D _n図の 2 つの「脚」を入れ替えます。 kの絶対ガロア群のDynkin 図への作用が自明なのは、qのk */( k *) ²における符号付き判別式d が自明な場合のみです。dが自明でない場合は、 Dynkin 図へのガロア作用にエンコードされます。つまり、恒等式として機能するガロア群の指数 2 の部分群は です。群Gが分割されるための必要条件は、qがウィット指数n（最大値）を持つ場合であり、Gが準分割されるための必要条件は、qがウィット指数n −1以上を持つ場合である。 ^[23] ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$

体k上のアフィン群スキームGのトルソルとは、 k上のアフィンスキームXで、 Gの作用を持ち、左平行移動によりの作用と同型となるものを意味します。トルソルは、 k上のfppf 位相、またはGがk上で滑らかな場合はエタール位相に関して、k上の主 G バンドルと見なすこともできます。k上のGトルソルの同型類の尖った集合は、ガロアコホモロジーの言語では H ¹ ( k , G )と呼ばれます。${\displaystyle X_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

トルソーは、体k上の与えられた代数的対象Yの形式、つまりkの代数的閉包上でYと同型になるk上の対象X を分類しようとするときに必ず発生します。つまり、そのような形式は (同型性を除いて) 集合H ¹ ( k ,Aut( Y ))と 1 対 1 で対応しています。たとえば、k上の次元nの (非退化) 二次形式はH ¹ ( k , O ( n ))によって分類され、k上の次数nの中心単純代数はH ¹ ( k , PGL ( n ))によって分類されます。また、与えられた代数群Gのk形式( Gの「ツイスト」と呼ばれることもあります) はH ¹ ( k ,Aut( G ))によって分類されます。これらの問題が、特に簡約群Gに対するGトルソーの体系的な研究の動機となっています。

可能であれば、コホモロジー不変量を使用してG -トルソルを分類することが望まれます。コホモロジー不変量とは、アーベル係数群M、H ^a ( k、M )を持つガロアコホモロジーで値を取る不変量です。この方向で、スタインバーグはセールの「予想 I」を証明しました。コホモロジー次元が最大 1 の完全体上の連結線型代数群Gに対して、 H ¹ ( k、G ) = 1 です。^[34] (有限体の場合は、以前はラングの定理として知られていました。) たとえば、有限体上のすべての簡約群は準分割であることがわかります。

セールの予想IIは、コホモロジー次元が2以下の体上の単連結な半単純群Gに対して、 H ¹ ( k , G ) = 1が成り立つことを予言する。この予想は、コホモロジー次元が2である全虚数体に対して知られている。より一般的には、任意の数体kに対して、マーティン・クネザー、ギュンター・ハーダー、ウラジミール・チェルノソフ（1989）はハッセ原理を証明した。k上の単連結な半単純群Gに対して、写像

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$