同変層

数学において、基底スキームS上のスキームXへの群スキームGの作用 が与えられたとき、X上の同変層Fは、 -加群 の同型性を伴う-加群の層である。${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}$

${\displaystyle \phi :\sigma ^{*}F\xrightarrow {\simeq } p_{2}^{*}F}$  

これはコサイクル条件を満たす：^{[1] [2]} mを乗算と書き、

${\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }$。

茎レベルでは、コサイクル条件は、同型性が合成、つまり群作用の結合性と同じであることを示します。群の単位が恒等式として機能するという条件も結果です。両辺に適用して を得ると恒等式も得られます。 ${\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}}$${\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}}$${\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G}$${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi }$${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi }$

は追加データであることに注意してください。これは、 GのXへの作用を層Fに「持ち上げる」ものです。さらに、Gが連結代数群、 F が可逆層、Xが簡約されている場合、コサイクル条件は自動的に適用されます。つまり、任意の同型性は自動的にコサイクル条件を満たします (この事実は、マンフォードの「幾何学的不変理論」の第 1 章、§ 3、命題 1.5 の証明の最後に記載されています)。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \sigma^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$

Gの作用が自由である場合、同変層の概念は、トルソーに沿った下降により、商X / G上の層に単純化されます。

米田の補題によれば、 -加群Fに同変層の構造を与えることは、上の環Rに群準同型を与えることと同じである。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)}$^[3 ]

単体層の観点から同変層の定義もあります。あるいは、例えばコヒーレント層のカテゴリ内の同変オブジェクトとして同変層を定義することもできます。

可逆層または直線束上の同変層の構造は、線形化とも呼ばれます。

Xを連結な簡約群Gによって作用される代数閉体上の完全多様体とし、Lをその上の可逆層とする。Xが正規ならば、Lのテンソル冪は線型化可能である。^[4]${\displaystyle L^{n}}$

また、Lが非常に豊富で線型化されている場合、 XからへのG線型閉浸漬が存在し、が線型化され、 L上の線型化はの線型化によって誘導されます。^[5]${\displaystyle \mathbf {P} ^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$

テンソル積と線型化された可逆層の逆は、自然な方法で再び線型化されます。したがって、スキームX上の線型化された可逆層の同型類はアーベル群を形成します。線型化を忘れたXのピカール群への準同型があります。この準同型は一般に単射でも射影でもなく、その核は自明な直線束の線型化の同型類と同一視できます。

ほとんどの線束が線形化できない多様体の例としては[1]の例2.16を参照。

代数群Gと体k上のX上のG同変層Fが与えられたとき、 を大域切断空間とします。すると、G加群の構造が認められます。つまり、V は次のようにGの線型表現となります。群作用について書くと、G内の各gとV内の各vに対して、 ${\displaystyle V=\Gamma (X,F)}$${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$

${\displaystyle \pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}$

ここで、 およびは、 F上の同変層構造によって与えられる同型です。コサイクル条件により、 が群準同型 (つまり、が表現) であることが保証されます。 ${\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)}$${\displaystyle \varphi :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*} F)=k[G]\otimes _{k}V}$${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle \pi}$

例:とGの自身への作用をとります。すると、と ${\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}}$${\displaystyle \sigma =}$${\displaystyle V=k[G]}$${\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}$

${\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)}$、

意味はGの左正規表現です。 ${\displaystyle \pi }$

上記で定義された表現は有理表現である。つまり、 Vの各ベクトルvに対して、 v を含むVの有限次元Gサブモジュールが存在する。^[6]${\displaystyle \pi }$

ベクトル束（つまり、定数階数の局所自由層に対応する多様体）の定義はより単純である。代数群 G によって作用される代数多様体X上のベクトル束Eが同変であるとは、 Gがファイバーごとに作用する場合、つまり、ベクトル空間の「線型」同型である場合を言う。^[7]言い換えれば、同変ベクトル束は、ベクトル束と、その作用を に持ち上げて射影が同変になるようにしたものからなるペアである。 ${\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}}$${\displaystyle G\times X\to X}$${\displaystyle G\times E\to E}$${\displaystyle E\to X}$

非同変設定の場合と同様に、同変ベクトル束の 同変特性クラスを定義することができます。

• 多様体または滑らかな多様体の接束は同変ベクトル束です。
• 同変微分形式の層。
• G を半単純代数群とし、λ:H→ Cを最大トーラスH上の指標とする。これはボレル部分群λ:B→ Cに拡張され、 Bの1次元表現W _{λ を}与える。すると、GxW _{λ は}B が作用するG上の自明なベクトル束となる。Bの作用による商L _λ =Gx _B W _{λ は}旗多様体G/B上の直線束となる。G →G/B はB束であるため、これは付随する束の構成の一例にすぎないことに注意されたい。ボレル・ヴェイユ・ボットの定理によれば、 Gのすべての表現はそのような直線束のコホモロジーとして生じる。
• X=Spec(A)がアフィンスキームである場合、 X上のG _m作用はA上のZ次数付けと同じものである。同様に、X上のG _m同変準コヒーレント層はZ 次数付けされたAモジュールと同じものである。^{[引用が必要]}

• 同変代数K理論
• 同変バンドル
• 同変コホモロジー
• 商スタック

• J. Bernstein、V. Lunts、「同変層と関手」、Springer Lecture Notes in Math. 1578 (1994)。
• マンフォード、デイビッド、フォガティ、ジョン、カーワン、フランシス (1994)。幾何学的不変理論。ベルリン: シュプリンガー出版社。ISBN 978-3-540-56963-3MR  1304906 。
• Gaitsgory, D. (2005). 「幾何学的表現理論、数学 267y、2005 年秋」(PDF)。2015 年 1 月 22 日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• Thompson, RW (1987)。「グループ スキーム アクションの代数 K 理論」。ブラウザ、ウィリアム (編)。代数的位相幾何学と代数 K 理論: 1983 年 10 月 24 日から 28 日までプリンストン大学で開催された、ジョン C. ムーアの 60 歳の誕生日を記念した会議の議事録。第 113 巻。プリンストン、ニュージャージー: プリンストン大学出版局。p. 539-563。ISBN 9780691084268。

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