射影束

数学において、射影束とは、繊維が射影空間である繊維束のことである。

定義により、ノイザンスキームS上のスキーム Xは、局所的に射影n空間である場合、^Pnバンドルである。つまり、遷移自己同型は線型である。滑らかな多様体などの正則スキームS上では、すべての射影バンドルは、あるベクトルバンドル（局所自由層）Eに対しての形をとる。^[1] ${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$

多様体X上のすべてのベクトル束は、ファイバーの射影空間をとることで射影束を与えますが、すべての射影束がこのように生じるわけではありません。コホモロジー群H ² ( X ,O*)には障害があります。理由を理解するには、射影束が適切な開被覆の二重交差上の遷移関数を備えていることを思い出してください。三重重なりでは、これらの遷移関数の任意の持ち上げは、可逆関数までのコサイクル条件を満たします。これらの関数のコレクションは、射影束がベクトル束の射影化である場合にのみ、 H ² ( X ,O*) で消える 2-コサイクルを形成します。特に、X がコンパクトなリーマン面の場合、H ² ( X ,O*)=0 であるため、この障害は消えます。

ベクトル束Eの射影束は、Eの 1 次元平面のグラスマン束 と同じものです。 ${\displaystyle G_{1}(E)}$

ベクトル束Eの射影束P ( E )は次のような普遍的性質によって特徴付けられる: ^[2]

射f : T → Xが与えられたとき、射影写像p : P ( E ) → Xを通してf を因数分解することは、 f ^* Eの直線部分束を指定することである。

例えば、f をpとすると、 p ^* Eの直線部分束O (-1)が得られ、これはP ( E )上のトートロジー直線束と呼ばれる。さらに、このO (-1) は、直線束L が因数分解f = p ∘ gを与えるとき、L はO (-1)のgに沿った引き戻しであるという意味において普遍束である。O ( -1)のより明示的な構成については、Cone# O (1)も参照のこと。

P ( E )上には自然な完全列（トートロジー完全列と呼ばれる）が存在する。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

ここで、Q はトートロジー商束と呼ばれます。

E ⊂ FをX上のベクトル束（有限階数の局所自由層）とし、G = F / Eとする。q : P ( F ) → X を射影とする。すると、自然写像O (-1) → q ^* F → q ^* Gは層 hom の大域切断Hom( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1)となる。さらに、この自然写像は、点がE内の直線であるときにまさにその点で消失する。つまり、この切断の零位置はP ( E ) である。

この構成の特に有用な例は、F がEと自明な直線束（つまり、構造層）の直和E ⊕ 1 である場合です。このとき、 P ( E ) はP ( E ⊕ 1)内の超平面（無限遠の超平面と呼ばれる）であり、P ( E ) の補集合はEと同一視できます。このように、P ( E ⊕ 1) はEの射影完備化（または「コンパクト化」）と呼ばれます。

射影束P ( E ) は直線束Eによるねじりに対して安定である。正確には、直線束Lが与えられたとき、自然な同型が存在する。

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

^となる（実際、右側の直線束に普遍性を適用することで gが得られる。）${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$

射影バンドルの多くの非自明な例は、レフシェッツファイバのようなファイバリングを使って見つけることができる。例えば、楕円K3曲面はファイバリングを持つK3曲面である。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

となる。すべての楕円曲線は、特定の点を持つ種数1の曲線であるため、ファイバ化の大域切断が存在する。この大域切断により、射影バンドルに射影を与えるモデルが存在する^[4]。${\displaystyle E_{p}}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

ワイエルシュトラス方程式によって定義される

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

ここで、はそれぞれの局所座標を表し、係数は${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

は 上の層の切断です。ワイエルシュトラス方程式の各項は全次数（係数の次数と単項式の次数の合計。たとえば、 ） を持つため、この方程式は明確に定義されていることに注意してください。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$

X を複素滑らかな射影多様体とし、Eをその上の階数rの複素ベクトル束とする。 p : P ( E ) → X をEの射影束とする。すると、コホモロジー環H ^* ( P ( E )) は、引き戻しp ^*を介したH ^* ( X )上の代数となる。すると、最初のチャーン類ζ = c ₁ ( O (1))は、関係式 H ^* ( P ( E )) を生成する。

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

ここで、c _i ( E ) はEのi番目のチャーン類です。この記述の興味深い特徴の 1 つは、チャーン類を関係の係数として 定義できることです。これは Grothendieck が採用したアプローチです。

複素体以外の体上では、コホモロジー環の代わりにチョウ環を使っても同じ記述が成り立つ（ Xは滑らかであると仮定）。特にチョウ群では、直和分解がある。

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X )。}$

結局のところ、この分解は、Xが滑らかでも射影的でなくても有効です。^[5]対照的に、A _k ( E ) = A _{k - r} ( X )は、ギシン準同型を介して、 Eのファイバー、つまりベクトル空間が収縮可能である ため、当然です。

• プロジェクト構築
• 円錐（代数幾何学）
• 線織面（射影束の例）
• セヴェリ・ブラウアー多様体
• ヒルツェブルッフ面

• エレンクワグ、G.ナラシンハン、MS (1983)、「複雑なトーラス上の射影バンドル」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1983 (340): 1–5、doi :10.1515/crll.1983.340.1、ISSN  0075-4102、MR  0691957 、S2CID  122557310
• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157