関数体（スキーム理論）

スキームXの有理関数の層 K X_は、古典的な代数幾何学における代数多様体の関数体の概念をスキーム理論に一般化したものです。代数多様体の場合、そのような層は各開集合Uにその開集合上のすべての有理関数の環を関連付けます。言い換えると、K _X ( U ) はU上の正則関数の分数の集合です。その名前にもかかわらず、K _{X は}必ずしも一般スキームXの体を与えるわけではありません。

最も単純なケースでは、 K _Xの定義は簡単です。Xが（既約な）アフィン代数多様体であり、U がXの開集合である場合、K _X ( U ) はU上の正則関数の環の分数体になります。Xはアフィンなので、 U上の正則関数の環はXのグローバルセクションの局所化になり、その結果、K _{X は}値がXのグローバルセクションの分数体である定数層になります。

Xが整的だがアフィンでない場合、空でない任意のアフィン開集合はXにおいて稠密になります。これは、 Uの外部では正則関数が何か興味深いことを行う余地が十分にないことを意味し、その結果、 U上の有理関数の挙動がX上の有理関数の挙動を決定するはずです。実際、任意のアフィン開集合上の正則関数の環の分数体は同じであるため、任意のUに対して、K _X ( U ) をXの任意の開アフィン部分集合上の任意の正則関数の環の共通分数体と定義します。あるいは、この場合の関数体を一般点の局所環と定義することもできます。

問題は、X が整数でなくなるときに発生します。その場合、正則関数の環にゼロ因子が存在する可能性があり、その結果、分数体は存在しなくなります。素朴な解決法は、分数体を全商環で置き換えること、つまり、ゼロ因子ではないすべての要素を反転することです。残念ながら、一般に、全商環は前層を生成せず、層は生成しません。参考文献に記載されている Kleiman の有名な記事に、そのような例が示されています。

正しい解決策は、次のように進めることです。

各開集合Uについて、 Γ( U , O _X ) 内の任意の茎O _X,xの零因子でないすべての要素の集合をS _Uとする。K _X ^{pre を}、 U上のセクションが局所化S _U ⁻¹ Γ( U , O _X ) であり、その制限写像が局所化の普遍的性質によってO _Xの制限写像から誘導される前層とする。このとき、K _{X は}前層K _X ^preに関連付けられた層である。

K _Xが定義されると、 K _Xのみに依存するXの特性を調べることができます。これが双有理幾何学の主題です。

X が体k上の代数多様体である場合、各開集合U上にkの体拡大K _X ( U )が存在します。Uの次元は、この体拡大の超越次数に等しくなります。k のすべての有限超越次数体拡大は、ある多様体の有理関数体に対応します。

代数曲線 C、つまり次元 1の特定のケースでは、 C上の任意の 2 つの非定数関数FとG は多項式方程式P ( F , G ) = 0 を満たします。

• Kleiman, S.、「 K _Xに関する誤解」、Enseign. Math. 25 (1979)、203–206、https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1979:25::101 で入手可能