線形代数群

数学において、線形代数群は可逆群の群の部分群 である。${\displaystyle n\times n}$行列（行列乗算に関して）は、多項式方程式によって定義されます。例としては、関係によって定義される直交群があります。${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$どこ${\displaystyle M^{T}}$は の転置です${\displaystyle M}$。

多くのリー群は、実数体または複素数体上の線形代数群と見なすことができます。（例えば、すべてのコンパクトリー群は、R上の線形代数群（必然的にR異方性かつ簡約的）と見なすことができ、単純リー群SL( n , R )のような多くの非コンパクト群も同様です。）単純リー群は、 1880 年代と 1890 年代にヴィルヘルム・キリングとエリー・カルタンによって分類されました。当時、群構造が多項式で定義できる、つまりこれらが代数群であるという事実は特に利用されませんでした。代数群の理論の創始者には、マウラー、シュヴァレー、コルチン（1948 年）などがいます。1950 年代には、アルマン・ボレルが、今日存在する代数群の理論の大部分を構築しました。 

この理論の最初の用途の一つは、シュヴァレー群を定義することであった。

正の整数の場合${\displaystyle n}$一般線形群${\displaystyle GL(n)}$野原を越えて${\displaystyle k}$すべて可逆${\displaystyle n\times n}$行列は、上の線形代数群である。${\displaystyle k}$サブグループが含まれています

${\displaystyle U\subset B\subset GL(n)}$

それぞれ、次の形式の行列から構成される。

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)}$そして${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)}$。

グループ${\displaystyle U}$は、単冪線形代数群の例である。${\displaystyle B}$は、のボレル部分群と呼ばれる可解代数群の一例である。${\displaystyle GL(n)}$リー・コルチン定理によれば、連結可解部分群は${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$に共役される${\displaystyle B}$任意の単能性サブグループは、${\displaystyle U}$。

の別の代数的部分群${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$は特別な線形群です${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$行列式が1の行列。

グループ${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$は乗法群と呼ばれ、通常は で表される。${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$. のグループ${\displaystyle k}$-ポイント${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }(k)}$乗法群$\displaystyle k^{*}}$体の非ゼロ要素${\displaystyle k}$添加グループ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$、 だれの${\displaystyle k}$-点は加法群と同型である${\displaystyle k}$は、例えば部分群として、行列群としても表現できます。${\displaystyle U}$で${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

可換線形代数群のこれら2つの基本的な例、乗法群と加法群は、線形表現（代数群として）に関して非常に異なる振る舞いをする。乗法群のすべての表現は${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$は既約表現の直和である。（その既約表現はすべて次元1であり、次の形式である。）${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$整数の場合${\displaystyle n}$対照的に、加法群の唯一の既約表現は${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$は自明な表現です。したがって、 のすべての表現は${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$（上記の2次元表現など）は、自明な表現の反復拡張であり、直接和ではありません（表現が自明でない限り）。線形代数群の構造理論は、後述するように、これら2つの基本群とその一般化であるトーラス群とユニポテント群を用いて、任意の線形代数群を分析します。

代数的に閉じた体kに対して、 k上の代数多様体Xの構造の大部分は、k 個の有理点の集合X ( k )に符号化されており、これにより線形代数群の基本的な定義が可能になります。まず、抽象群GL ( n , k )からkへの関数が、n × n行列Aの要素と 1/det( A )の多項式として書ける場合、その関数は正則であると定義します。ここで、det は行列式です。すると、代数的に閉じた体k上の線形代数群Gは、ある自然数nに対して、抽象群GL ( n , k ) の部分群G ( k ) であり、G ( k ) は、ある正則関数の集合が消滅することによって定義されます。

任意の体kに対して、 k上の代数多様体はk上のスキームの特殊な場合として定義される。この定義によれば、体k上の線形代数群G は、ある自然数nに対してk上のGL ( n ) の滑らかな閉部分群スキームである。特に、Gはk上のGL ( n ) 上の正則関数の集合が消滅することによって定義され、これらの関数は、任意の可換k代数Rに対して、G ( R ) が抽象群GL ( n , R ) の部分群となる性質を持たなければならない。（したがって、 k上の代数群Gは、抽象群G ( k ) だけではなく、可換k代数Rに対する群G ( R )の族全体を指す。これが、スキームを点の関手によって記述するという考え方である。）

どちらの言語においても、線形代数群の準同型という概念が存在する。例えば、kが代数的に閉じている場合、G ⊂ GL ( m )からH ⊂ GL ( n ) への準同型は、 G上の正則関数によって定義される抽象群の準同型G ( k ) → H ( k ) である。これにより、 k上の線形代数群は圏となる。特に、これは 2 つの線形代数群が同型であるとはどういうことかを定義する。

スキームの言語では、体k上の線形代数群Gは特にk上の群スキームであり、 k上のスキームとk点 1 ∈ G ( k ) および射を意味します。

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}$

k上の線形代数群は、群における乗法と逆写像に関する通常の公理 (結合法則、単位元、逆元) を満たします。線形代数群はk上で滑らかで有限型であり、アフィンです(スキームとして)。逆に、体k上の有限型のアフィン群スキームG は、あるnに対してk上のGL ( n )に忠実な表現を持ちます。^{[ 1 ]}例としては、前述の加法群G _aのGL (2)への埋め込みが挙げられます。結果として、線形代数群は行列群として、あるいはより抽象的に、体上の滑らかなアフィン群スキームとして考えることができます。(一部の著者は、「線形代数群」を体上の有限型のアフィン群スキームの任意の意味で使用しています。)

線形代数群を完全に理解するには、より一般的な（滑らかでない）群スキームを考慮する必要があります。例えば、k を標数p > 0の代数的に閉じた体とします。このとき、 x ↦ x ^pで定義される準同型f : G _m → G _mは、抽象群k * → k * の同型を誘導しますが、fは代数群の同型ではありません（x ^{1/ p}は正則関数ではないため）。群スキームの言葉で言えば、fが同型でない理由はより明確です。fは全射ですが、非自明な核、すなわちp乗根の群スキーム μ _pを持ちます。この問題は標数 0 では生じません。実際、標数 0 の体k上の有限型の群スキームはすべてk上で滑らかです。^{[ 2 ]}任意の体k上の有限型の群スキームがk上で滑らかであるのは、それが幾何学的に簡約されている場合、つまり基底変換が${\displaystyle G_{\overline {k}}}$減少する、${\displaystyle {\overline {k}}}$はkの代数的閉包である。^{[ 3 ]}

アフィンスキームXは正則関数の環O ( X )によって決定されるため、体k上のアフィン群スキームGは、ホップ代数の構造を持つ環O ( G ) によって決定されます ( G上の乗法と逆写像から導かれます)。これにより、k上のアフィン群スキームとk上の可換ホップ代数の間に圏の同値性(矢印の反転)が与えられます。例えば、乗法群G _m = GL (1)に対応するホップ代数は、ローラン多項式環k [ x , x ⁻¹ ] であり、余乗法は次のように与えられます。

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$代数群Gの は、いくつかの同値な方法で定義できます。単位元 1 ∈ G ( k ) における接空間T ₁ ( G ) として、または左不変微分空間として定義できます。kが代数的に閉じている場合、 Gの座標環k上の微分D : O ( G ) → O ( G )は、次の場合に左不変です。

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

G ( k )のすべてのxに対して、λ _x : O ( G ) → O ( G ) はxによる左乗算によって誘導される。任意の体kに対して、微分の左不変性は、2 つの線形写像O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ) の類似の等式として定義される。^{[ 6 ]} 2 つの微分のリー括弧は、[ D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D ₂ − D ₂ D ₁によって定義される。

Gから​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$したがって、これは微分過程である。要素x ∈ G ( k ) に対して、共役写像G → G、g ↦ xgx ^{−1の 1 ∈} G ( k )における導関数は、次の自己同型である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$随伴表現を与える：

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

標数ゼロの体上では、線形代数群Gの連結部分群Hは、そのリー代数によって一意に決定される。${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$^{[ 7 ]}しかし、すべてのリー部分代数が${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$これは、 C上のトーラスG = ( G _m ) ²の例に見られるように、Gの代数部分群に対応します。正標数では、同じリー代数を持つ群Gの連結部分群が多数存在し得ます(ここでも、トーラスG = ( G _m ) ²が例を示しています)。これらの理由から、代数群のリー代数は重要ですが、代数群の構造理論にはより包括的なツールが必要となります。

代数的に閉じた体kに対して、 GL ( n , k )の行列gは、対角化可能であれば半単純行列と呼ばれ、行列g − 1 が冪零行列であれば冪単行列と呼ばれます。言い換えれば、gのすべての固有値が1 に等しい場合、 gは冪単行列です。行列のジョルダン標準形は、 GL ( n , k )のすべての要素g が、 g _ssが半単純行列、g _uが冪単行列、g _ssとg _uが可換であるような積g = g _ss g _{uとして一意に}書けることを意味します。

任意の体kに対して、 GL ( n , k )の要素gがkの代数閉包上で対角化可能になる場合、その要素 g は半単純であると言われます。体kが完全体である場合、 gの半単純部分とユニポテント部分もGL ( n , k )に含まれます。最後に、体k上の任意の線形代数群G ⊂ GL ( n ) に対して、Gのk点がGL ( n , k )で半単純またはユニポテントである場合、その k 点は半単純またはユニポテントであると定義します。（これらの性質は、実際にはGの忠実表現の選択に依存しません。）体kが完全体である場合、 Gのk点の半単純部分とユニポテント部分は自動的にGに含まれます。つまり（ジョルダン分解）： G（k ）のすべての要素gは、 g _ssが半単純、g _uがユニポテントであり、g _ssとg _uが互いに可換であるような積g = g _ss g _uとして一意に書ける。 ^{[ 8 ]}これにより、G （ k ）の共役類を記述する問題は、半単純とユニポテントの場合に帰着する。

代数的に閉じた体 k 上のトーラスとは、ある自然数nに対して、 k上の乗法群のn 個のコピーの積である( G _m ) ⁿと同型な群を意味します。線形代数群Gの場合、Gにおける最大トーラスとは、より大きなトーラスに含まれないG内のトーラスを意味します。たとえば、k上のGL ( n )の対角行列の群は、( G _m ) ⁿと同型なGL ( n )における最大トーラスです。この理論の基本的な結果は、代数的に閉じた体k上の群G内の任意の 2 つの最大トーラスは、G ( k )の何らかの要素によって共役であるということです。^{[ 9 ]} Gのランクとは、任意の最大トーラスの次元を意味します。

任意の体kに対して、k上のトーラスTは、 k上の線形代数群であり、その基底は${\displaystyle T_{\overline {k}}}$kの代数的閉包は ( G _m ) ⁿと同型である${\displaystyle {\overline {k}}}$ある自然数nに対して、 。k上の分裂トーラスとは、あるnに対してk上の( G _m ) ⁿと同型な群を意味します。実数R上の非分裂トーラスの例は、

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

複素数x + iyの乗算式で与えられる群構造を持つ。ここでTはR上の 1 次元のトーラスである。実点群T ( R ) は円群であり、抽象群としてもG _m ( R ) = R *と同型ではないため、分割されない。

体k上のトーラスのすべての点は半単純である。逆に、Gが連結線形代数群であり、すべての要素が${\displaystyle G({\overline {k}})}$が半単純である場合、Gはトーラスである。^{[ 10 ]}

一般体k上の線形代数群Gの場合、 k上のGのすべての極大トーラスがG ( k )の要素によって共役であるとは期待できません。たとえば、上記の乗法群G _mと円群TはどちらもR上のSL (2)の極大トーラスとして現れます。しかし、 k上のGの任意の2 つの極大分割トーラス(より大きな分割トーラスに含まれないGの分割トーラスを意味します) は、常にG ( k )の何らかの要素によって共役です。^{[ 11 ]}その結果、 k上の群Gのkランクまたは分割ランクを、 k上のGの任意の極大分割トーラスの次元として定義するのは理にかなっています。

体k上の線形代数群Gの任意の極大トーラスTに対して、グロタンディークは、${\displaystyle T_{\overline {k}}}$は最大トーラスである${\displaystyle G_{\overline {k}}}$[ ^{12 ]}したがって、体k上のGにおける任意^の2つの極大トーラスは同じ次元を持つが、同型である必要はない。

体k上のGL ( n ) に属する、対角成分が 1 である上三角行列の群をU _nとする。体k上の群スキーム(例えば、線形代数群) は、あるnに対してU _nの閉部分群スキームと同型である場合、ユニポテントであると呼ばれる。群U _{n が}冪零であることは容易に確認できる。したがって、すべてのユニポテント群スキームは冪零である。

体k上の線形代数群Gは、すべての要素が である場合に限り、単冪群である。${\displaystyle G({\overline {k}})}$単能である。^{[ 13 ]}

GL ( n )における上三角行列の群Bn_は半直積である

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

ここで、T _{n は}対角トーラス ( G _m ) ⁿである。より一般的には、連結した可解線形代数群はすべて、トーラスとユニポテント群の半直積、T ⋉ Uである。^{[ 14 ]}

完全体k (例えば、代数的に閉じた体) 上の滑らかに連結した単冪群は、すべての商群が加法群G _aと同型である合成列を持つ。^{[ 15 ]}

ボレル部分群は、線形代数群の構造理論において重要である。代数的に閉じた体k上の線形代数群Gに対して、 Gのボレル部分群とは、最大滑らか連結可解部分群を意味する。例えば、GL ( n )のボレル部分群の一つは、上三角行列（対角線より下の要素がすべてゼロ）の部分群Bである。

この理論の基本的な結果は、代数的に閉じた体k上の連結群Gの任意の 2 つのボレル部分群は、G ( k )の何らかの要素によって共役であるということです。^{[ 16 ]} (標準的な証明では、ボレルの不動点定理を使用します。すなわち、代数的に閉じた体k上の適切な多様体Xに作用する連結可解群Gに対して、 Gの作用によって固定されるX内のk点が存在します。) GL ( n )におけるボレル部分群の共役性は、リー・コルチンの定理に相当します。すなわち、 GL ( n )のすべての滑らかな連結可解部分群は、 GL ( n )の上三角部分群の部分群と共役です。

任意の体kに対して、 Gのボレル部分群Bは、 k上の部分群であって、代数閉包上で、${\displaystyle {\overline {k}}}$kの、${\displaystyle B_{\overline {k}}}$はボレル部分群である${\displaystyle G_{\overline {k}}}$したがって、G はk上のボレル部分群を持つ場合もあれば持たない場合もある。

Gの閉じた部分群スキームHに対して、商空間G / Hはk上の滑らかな準射影スキームである。^{[ 17 ]}連結群Gの滑らかな部分群Pは、 G / P がk上で射影的である場合(または同等に、k上で固有である場合) に放物型と呼ばれる。ボレル部分群Bの重要な性質は、 G / B が射影多様体であり、G の旗多様体と呼ばれることである。つまり、ボレル部分群は放物型部分群である。より正確には、kが代数的に閉じている場合、ボレル部分群はGの最小放物型部分群と正確に一致する。逆に、ボレル部分群を含むすべての部分群は放物型である。^{[ 18 ]}したがって、固定されたボレル部分群を含むGのすべての線形代数部分群を列挙することにより、 Gのすべての放物型部分群 ( G ( k )による共役を除いて)を列挙することができる。例えば、上三角行列のボレル部分群Bを含むk上の部分群P ⊂ GL (3)は、 B自体、全体群GL (3)、および中間部分群です。

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$そして${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

対応する射影同次多様体GL (3)/ Pは、それぞれ次の通りです。線形部分空間のすべての鎖の旗多様体

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

次元iのV _i、点、A ³内の直線 (1 次元線形部分空間)の射影空間P ^{2 、および}A ³内の平面の双対射影空間P ^{2 を}含む。

代数的に閉じた体上の連結線形代数群Gは、 Gのすべての滑らかで連結な可解正規部分群が自明である場合、半単純群と呼ばれる。より一般的に、代数的に閉じた体上の連結線形代数群Gは、 Gのすべての滑らかで連結な単冪正規部分群が自明である場合、簡約群と呼ばれる。^{[ 19 ]} （著者によっては、簡約群が連結である必要はないとしている。）半単純群は簡約群である。任意の体k上の群Gは、以下の条件を満たす場合、半単純群または簡約群と呼ばれる。${\displaystyle G_{\overline {k}}}$半単純または簡約である。例えば、任意の体k上の行列式が 1 のn × n行列の群SL ( n ) は半単純であるが、非自明なトーラスは簡約ではあるが半単純ではない。同様に、GL ( n ) は簡約ではあるが半単純ではない (その中心G _mは非自明な滑らかに連結した可解な正規部分群であるため)。

すべてのコンパクト連結リー群は複素化を持ち、それは複素簡約代数群である。実際、この構成は、同型を除いて、コンパクト連結リー群と複素簡約群の間に1対1の対応を与える。^{[ 20 ]}

体k上の線形代数群Gは、半単純で非自明であり、k上のGのすべての滑らかに連結した正規部分群が自明であるかGと等しい場合、単純(またはk -単純) と呼ばれます。^{[ 21 ]} (この性質を「ほぼ単純」と呼ぶ著者もいます。) これは、単純代数群が非自明な中心を持つ可能性があるという点で、抽象群の用語とは少し異なります (ただし、中心は有限でなければなりません)。たとえば、2 以上の任意の整数nと任意の体kに対して、 k上の群SL ( n )は単純であり、その中心はn乗根の群スキーム μ _nです。

完全体k上の連結線形代数群Gは、（一意的な方法で）簡約群Rを、Gのユニポテント根基と呼ばれる滑らかな連結ユニポテント群Uで拡張したものである。

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}$

k の特性がゼロの場合、より正確なレヴィ分解が得られます。すなわち、k上のすべての連結線形代数群Gは半直積です。${\displaystyle R\ltimes U}$還元性基による単能性基の分解。^{[ 22 ]}

簡約群には、実際において最も重要な線形代数群、例えば古典群 GL ( n ) 、SL ( n )、直交群 SO ( n )、シンプレクティック群 Sp (2 n ) などが含まれます。一方、簡約群の定義はかなり「否定的」であり、それらについて多くを語ることができるかどうかは明らかではありません。注目すべきことに、クロード・シュヴァレーは、代数的に閉じた体上の簡約群の完全な分類を与えました。それらはルートデータによって決定されます。^{[ 23 ]}特に、代数的に閉じた体k上の単純群は、そのDynkin 図によって (有限中心部分群スキームによる商を除いて) 分類されます。この分類がkの標数に依存しないことは注目に値します。例えば、例外的なリー群G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、およびE _{8は、任意の標数で定義できます (} Z上の群スキームとしても定義できます)。有限単純群の分類によれば、ほとんどの有限単純群は、有限体k上の単純代数群のk点群として、またはその構成のマイナーな変形として生じる。

体上のすべての簡約群は、トーラスといくつかの単純群の積を有限中心部分群スキームで割った商群である。例えば、

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

任意の体kに対して、簡約群Gがk上の分割極大トーラス(すなわち、kの代数閉包上で極大性を保つG内の分割トーラス) を含む場合、その簡約群は分割されていると呼ばれる。例えば、GL ( n ) は任意の体k上の分割簡約群である。Chevalley は、分割簡約群の分類は任意の体で同じであることを示した。対照的に、任意の簡約群の分類は、基底体によっては難しい場合がある。例えば、体k上のすべての非退化二次形式qは簡約群SO ( q ) を決定し、k上のすべての中心単純代数Aは簡約群SL ₁ ( A ) (ノルムが 1 の要素からなる) を決定する。結果として、k上の簡約群を分類する問題は、本質的にk上のすべての二次形式またはk上のすべての中心単純代数を分類する問題を含む。これらの問題は、 kが代数的に閉じている場合には容易であり、数体などの他のいくつかの体についても理解されているが、任意の体については多くの未解決問題が存在する。

線形代数群は、いくつかの方向で変形を許容する。逆写像の存在を放棄する${\displaystyle i\colon G\to G}$線形代数モノイドの概念が得られる。^{[ 26 ]}

• リー型群とは、有限体上の単純代数群から構成される有限単純群のことである。
• ラングの定理
• 一般化旗多様体、ブルハット分解、BNペア、ワイル群、カルタン部分群、随伴型群、放物型誘導
• 実形式（リー理論）、佐竹図
• アデリック代数群、玉川数に関するワイル予想
• ラングランズ分類、ラングランズプログラム、幾何学的ラングランズプログラム
• トルソル、非可換コホモロジー、特殊群、コホモロジー不変量、本質的次元、クネーザー・ティッツ予想、セール予想II
• 擬似還元基
• 微分ガロア理論
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