かつその場合に限り

論理学や数学、哲学などの関連分野では、「if and only if」（しばしば「iff」と略される）は、2 つの命題の真偽値が等しいことを述べています。これは、命題間の論理的結合子である双条件文によって言い換えられます^{[ 1 ]}。双条件文は、両方の命題が真であるか、両方とも偽であるかの 2 つの場合に真となります。この結合子は双条件文（実質的同値性の命題）^{[ 2 ]}であり、標準的な実質的条件文（「only if」、つまり「if ... then」に等しい）とその逆（「if」）を組み合わせたものに例えることができます。そのため、この名前が付けられています。結果として、接続された命題のいずれかが真であれば、もう一方の命題も真でなければなりません（つまり、両方の命題が真であるか、両方とも偽であるかのどちらかです）。ただし、このように定義された結合子が、英語の「if and only if」という既存の意味によって適切に表現されているかどうかは議論の余地があります。例えば、「P は Q の場合に限る」とは、 Qが真であるときはいつでもP も真であり、 Pが真となるのはQも真である場合のみであることを意味します。一方、 「P は Qの場合に限る」の場合は、 Pが真でQが偽となる他のシナリオも考えられます。

文章では、P が Q の場合にのみ成り立つという表現の代替としてよく使われるフレーズには、Q はP にとって必要十分条件である、P にとって Q であることは必要十分条件である、P は Q と同等（または実質的に同等）である（実質的含意と比較）、P は Q の場合に正確に成り立つ、Pは Qの場合に正確に成り立つ、P は Q の場合にのみ成り立つ、などがあります。^{[ 3 ]}一部の著者は「iff」を正式な文章には不適切だと考えていますが、^{[ 4 ]}他の著者は「境界例」と考え、その使用を容認しています。^{[ 5 ]}論理式では、次のような論理記号が使われます。${\displaystyle \leftrightarrow }$そして${\displaystyle \Leftrightarrow }$これらのフレーズの代わりに、^{[ 6 ]}が使用されます。§表記法については 下記を参照してください。

Pの真理値表${\displaystyle \leftrightarrow }$Qは以下のとおりです。^{[ 7 ] [ 8 ]}

これはXNORゲートによって生成されるものと同等であり、XORゲートによって生成されるものとは逆である。^{[ 9 ]}

• 
  AはBの真部分集合である。ある数がAに含まれるのは、それがBに含まれる場合のみであり、ある数がBに含まれるのは、それがAに含まれる場合である。
• 
  CはBの部分集合ではあるが、真部分集合ではない。ある数がBに含まれるのは、それがCに含まれる場合のみであり、また、ある数がCに含まれるのは、それがBに含まれる場合のみである。

オイラー図は、事象、性質などの間の論理的な関係を示します。「P は Q のときのみ」、「P ならば Q」、「P→Q」はすべて、P がQ の真部分集合または偽部分集合であることを意味します。「P は Q のとき」、「Q ならば P」、「Q→P」はすべて、Q が P の真部分集合または偽部分集合であることを意味します。「P は Q のときのみ」と「Q は P のときのみ」は、集合 P と Q が互いに同一であることを意味します。

iffは論理学の分野以外でも使われます。論理学が適用される場所、特に数学的な議論においては、上記と同じ意味で使われます。つまり、「if and only if」の略で、一方の命題が他方の命題にとって必要かつ十分であることを示します。これは数学用語の一例です（ただし、前述のように、定義文ではiffよりもifの方がよく使われます）。

Xの要素はYの要素のすべてであり、かつYの要素のみである、とは、「議論領域内の任意のzについて、zがXに含まれるのは、 zがYに含まれる場合かつその場合に限る」という意味です。

ラッセルとノーヴィグは著書『人工知能：現代的アプローチ』の中で、 「データベース（または論理プログラミング）のセマンティクス」と併せてifとifを表現する方が自然な場合が多いと指摘している。彼らは英語の文「Richard has two brothers, Geoffrey and John」を例として挙げている。^{[ 18 ] : 282}

データベースや論理プログラムでは、これは単純に2つの文で表現できます。

兄弟（リチャード、ジェフリー）。

兄弟（リチャード、ジョン）。

データベース意味論は、データベース（またはプログラム）が、特定の領域における問題解決に関連する知識のすべて、かつそれらのみを含んでいると解釈します。データベース内の文が、データベースから結論を導き出す際に考慮すべき唯一の知識を表していることをメタ言語で表現している場合にのみ、データベース意味論はそれを解釈します。

標準的な意味論を用いた一階述語論理では、同じ英語の文を、対象言語で「のみ」を解釈した「if and only if」を用いて、次のような形式で表現する必要がある。

${\displaystyle \forall }$X(Brother(Richard, X) iff X = Geoffrey または X = John)。

ジェフリー ≠ ジョン。

一階述語論理の標準的な意味論と比較すると、データベースの意味論はより効率的な実装を実現している。次のような形式の文で推論する代わりに、

結論条件

それは次のような形式の文を使用します。

条件が満たされた場合の結論

条件から結論へ、あるいは結論から条件へ逆方向に推論すること。

データベースのセマンティクスは、法的な原則であるexpressio unius est exclusio alterius (ある事柄を明示的に言及すれば、他のすべての事柄は排除される) に類似している。さらに、それは論理プログラミングを法的文書や法的推論の表現に適用する際の基礎となる。^{[ 19 ]}

• 意味
• 同値関係
• 論理的双条件
• 論理的等価性
• 論理的等価性
• 論理プログラムにおいて、かつその場合に限り
• 多段論法

• 「もし～ならば、そして～に限る」の真理表。2000年5月5日にオリジナルからアーカイブされました。
• 言語ログ：「念のため」
• 南カリフォルニアの哲学大学院生向け哲学講座：「万が一に備えて」